Produit scalaire

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Produit scalaire
Définition
Soit ABC un triangle quelconque dont les côtés mesurent respectivement a, b, c. Par le théorème
de Pythagore généralisé, on a
b
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
(1)
−→
−→
Supposons que le vecteur AB a pour coordonnées (xAB , yAB , zAB ) et que le vecteur AC a pour
coordonnées (xAC , yAC , zAC ).
Par la décomposition vectorielle, on peut écrire :
−−→ −→ −→
BC = BA + AC
−→ −→
= −AB + AC
−→ −→
= AC − AB
−−→
D’où le vecteur BC a pour coordonnées (xAC − xAB , yAC − yAB , zAC − zAB ).
Par (1), on a
−−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
\
||BC||2 = ||AB||2 + ||AC||2 − 2 · ||AB|| · ||AC|| · cos(AB, AC)
En utilisant la formule de calcul du carré de la norme d’un vecteur en fonction de ses composantes (voir document norme-vecteur.pdf ), on peut écrire
(xAC − xAB )2 + (yAC − yAB )2 + (zAC − zAB )2 =
−→
−→
−→
−→
\
2
2
2
2
+ zAC
− 2 · ||AB|| · ||AC|| · cos(AB, AC)
+ zAB
+ x2AC + yAC
x2AB + yAB
En développant les carrés du membre de gauche, on a
2
2
2
2
− 2 · yAC · yAB + yAB
) + (zAC
− 2 · zAC · zAB + zAB
)=
(x2AC − 2 · xAC · xAB + x2AB ) + (yAC
−→
−→
−→
−→
\
2
2
2
2
x2AB + yAB
+ zAB
+ x2AC + yAC
+ zAC
− 2 · ||AB|| · ||AC|| · cos(AB, AC)
c JM Desbonnez
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Après une première simplification, il reste
−→
−→
−→
−→
\
−2 · xAC · xAB − 2 · yAC · yAB − 2 · zAC · zAB = −2 · ||AB|| · ||AC|| · cos(AB, AC)
−→
−→
−→
−→
\
−2 · (xAC · xAB + yAC · yAB + zAC · zAB ) = −2 · ||AB|| · ||AC|| · cos(AB, AC)
Puis enfin
−→
−→
−→
−→
\
xAC · xAB + yAC · yAB + zAC · zAB = ||AB|| · ||AC|| · cos(AB, AC)
−→ −→
On appelle produit scalaire des 2 vecteurs AB et AC chacune des 2 expressions ci-dessus.
−→ −→
Le produit scalaire est noté AB • AC
En écriture simplifiée, si on a 2 vecteurs ~v (xv , yv , zv ) et w(x
~ w , yw , zw ), alors
~v • w
~ = xv · xw + yv · yw + zv · zw (somme des produits des composantes)
(2)
~v • w
~ = ||~v || · ||w||
~ · cos(~vd
, w)
~ (produit des normes par le cosinus de l’angle qu’ils déterminent)
Propriété immédiate
Si on connaît les coordonnées de 2 vecteurs, leur produit scalaire permet de calculer l’angle
qu’ils déterminent : de (2) on tire aisément
cos(~vd
, w)
~ =
~v • w
~
xv · xw + yv · yw + zv · zw
=
||~v || · ||w||
~
||~v || · ||w||
~
Exemple
Soit ~v (1, 2, 3) et w(−2,
~
3, −4)
||~v || =
||w||
~ =
√
12 + 22 + 32 =
√
14
p
√
(−2)2 + 32 + (−4)2 = 29
~v • w
~ = (1)(−2) + (2)(3) + (3)(−4) = −8
−8
√
cos(~vd
, w)
~ =√
14 · 29
⇒
~vd
,w
~ = 113˚, 392 . . .
c JM Desbonnez
(3)
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Propriétés
Produit scalaire et norme
Soit un vecteur ~v (x, y, z)
~v • ~v = x · x + y · y + z · z
= x2 + y 2 + z 2
= ||~v ||2
⇒ ||~v || =
√
~v • ~v
~v • ~v est appelé carré scalaire de ~v .
Produit scalaire et orthogonalité
π
π
~v ⊥w
~ ⇔ ~vd
,w
~=
⇒ ~v • w
~ = ||~v || · ||w||
~ · cos = 0
2
2
On définit donc
~v ⊥w
~
⇔
~v • w
~ =0
Produit scalaire et parallélisme
– Soit ~v //w,
~ même sens ⇔ ~vd
,w
~ = 0 ⇒ ~v • w
~ = ||~v || · ||w||
~ · 1 = ||~v || · ||w||
~
Le produit scalaire de 2 vecteurs parallèles de même sens est égal au produit de leurs normes.
– Soit ~v //w,
~ de sens contraires ⇔ ~vd
,w
~ = π ⇒ ~v • w
~ = ||~v || · ||w||
~ · (−1) = −||~v || · ||w||
~
Le produit scalaire de 2 vecteurs parallèles de sens contraires est égal à l’opposé du produit
de leurs normes.
Le calcul d’un produit scalaire est une opération simple
lorsque les vecteurs sont parallèles ou orthogonaux !
Produit scalaire, commutativité et distributivité
Le produit scalaire est commutatif :
~v • w
~ =w
~ • ~v
Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition des vecteurs :
(~u + ~v ) • w
~ = ~u • w
~ + ~v • w
~
c JM Desbonnez
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Produit scalaire et projection orthogonale
– Soit 2 vecteurs ~v et w
~ tels que ~vd
,w
~ = angle aigu.
Soit p~ le projeté orthogonal de ~v sur w
~
w
~ • ~v = ||w||
~ · ||~v || · cos(~vd
, w)
~
|
{z
}
où w//~
~ p de même sens
||~
p||
=w
~ • p~
– Soit 2 vecteurs ~v et w
~ tels que ~vd
,w
~ = angle obtu.
Soit p~ le projeté orthogonal de ~v sur w
~
w
~ • ~v = ||w||
~ · ||~v || · cos(~vd
, w)
~
|
{z
}
où w//~
~ p de sens contraires
−||~
p||
=w
~ • p~
c JM Desbonnez