PROBABILITES CONDITIONNELLES Exercice de rappel : Un multiple de 5 est un nombre qui peut se mettre sous la forme 5 k où k est un nombre entier non nul. On considère la roue parfaitement équilibrée, donc toutes les issues sont équiprobables. E : « le numéro est multiple de 5 » donc E = { 5 ; 10 ; 15 } Donc 3 issues peuvent réaliser l'événement E est donc : 1 3 P(E) = ── = ── 5 15 P(F) = P ( E ) P(E) + P ( E ) = 1 P ( E ) = 1 - P(E) 4 12 donc P(F) = ─── = ── 5 15 1 5 P(G) = ─── = ─── 3 15 E est l'événement contraire de E E ∩ G : « le numéro est pair, multiple de 5 et inférieur à 11 » E ∩ G = { 10 } c'est ce qu'on appelle un événement élémentaire. = {1} ∪ {2} ∪ {3} ∪ ... ∪ {15} = {1 ; 2 ; ... ; 15} 1 P(E ∩ G) = ── 15 7 P(E ∪ G) = P(E) + P(G) - P(E ∩ G) = ── 15 (2) { X = 100 } = { 5 ; 8 } { X = 10 } = { 3;7;12;14 } 2 P ( X=100) = ── 15 4 P ( X=10 ) = ── 15 { X = 30 } = { 1 ; 10 } { X = 0 } = { 2;4;6;9;11;13;15 } 2 P ( X=30 ) = ── 15 7 P ( X=0 ) = ── 15 X()= { 0 ; 10 ; 30 ; 100 } ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire. Loi de probabilité (donné par ce tableau) xi 0 10 30 100 P(X=x ) i 7/15 4/15 2/15 2/15 x2 = 30 x0 = 0 x1 = 10 x3 = 100 donc ici, i varie de 1 à 4. i est un nombre entier, qui joue le rôle de « compteur ». On note P (X=x ) = p i i E(X) = représente le « signe somme ». 4 7 2 2 Ici, E(X) = 0 ── + 10 ── + 30 ── + 100 ── 15 15 15 15 Après calcul, E(X) = 20 (3) Soient les événements suivants : J = { 2 ; 4 ; 6 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 } V = { 3 ; 7 ; 12 ; 14 } R = { 1 ; 10 } B={5;8} événement impossible • P( R ∩ {15} ) = 0 car R ∩ {15} = Ø 1 • P( V ∩ {3} ) = ── 4 car V ∩ {3} = { 3 ; 7 ; 12 ; 14 } ∩ {3} = {3} 1 • P( B ∩ {8} ) = ── 2 • P = 1 car on est certain de gagner : il n'y a pas de secteur jaune avec le numéro 14. (1) Probabilités conditionnelles Activité 2 0,63 C H (1) 0,4 0,6 0,37 O 0,48 C F 0,52 O (2) Il y a 0,6 1500 = 900 femmes. Parmi ces femmes, il y a 0,48 900 = 432 femmes cadres. (3) 900 3 • P( F ) = ──── = ── = 0,6 1500 5 432 • P ( F ∩ C ) = ──── = 0,288 1500 On remarque que P ( F ∩ C ) = 0,48 0,6 c'est 48% de 60% (4) • P (C) = probabilité que l'employé soit un cadre sachant F que c'est une femme. 432 PF(C) = ───── = 0,48 900 Parmi les femmes, 48% sont cadres. d'une part P( F ∩ C ) = 0,288 d'autre part PF(C) P(F) = 0,48 0,6 = 0,288 On remarque après calcul que P( F ∩ C ) = P F(C) P(F) P( F ∩ C ) PF (C) = ───────── P(F) Activité 3 : (1.a) 6 • P(R) = ── = 0,6 10 4 • P(V) = ── = 0,4 10 3 • P(1) = ── = 0,3 10 (1.b) 3 • P ( R ∩ 1 ) = ─── 10 • P ( R ∪ 1 ) = P(R) + P(1) - P(R ∩ 1) probabilité d'obtenir 1 sachant que le jeton est vert. (2.a) P (1) = 0 (2.b) 3 1 P (1) = ── = ── R 6 2 V 2 1 P (2) = ── = ── R 6 3 1 P (4) = ── R 6 2 1 P (4) = ── = ── V 4 2 2 1 P (2) = ── = ── V 4 2 PR(1) + PR(2) + PR(4) = 1 PV(1) + PV(2) + PV(4) = 1 (2.c) d'une part 1 PR(1) = ── 2 d'autre part 3/10 P(R∩1) 1 ───── = ───── = ── P(R) 2 6/10 P(R∩1) Conclusion : PR(1) = ───── P(R) (3) 2 1 P2 (R) = ── = ── 4 2 On fait ce calcul parmi les jetons qui portent le numéro 2 : deux jetons rouges portent ce numéro. d'une part 1 P (R) = ── 2 2 P(R∩2) Conclusion : P 2(R) = ───── P(2) d'autre part 1 P(2∩R) 2/10 ───── = ───── = ── 2 P(2) 4/10 Attention ! P(2∩R) = P(R∩2) est la probabilité d'obtenir un jeton rouge (et) portant le numéro deux parmi tous les jetons disponibles (il y en a 10). Définition 1 : probabilité conditionnelle Soit A un événement de probabilité non nulle : P(A) > 0. Pour tout événement B, la probabillité conditionnelle de B sachant A, notée PA(B) est définie par : P(A∩B) PA(B) = ────── P(A) P(A∩B) est la probabilité pour que A et B soient réalisés. PA (B) est la probabilité pour que B soit réalisé sachant que A l'est. Dans le 1er cas, la probabilité est calculée parmi tous les éléments de l'univers, alors que dans le 2d cas, la probabilité est calculée parmi les éléments qui appartiennent au sous-ensemble formé par A. P(B) A B : P(A∩B) = P(A)PA(B) ─ P(B) A ─ ─ ─ B : P(A∩B) = P(A)PA(B) A P(A) ─ P(A) ─ A P─ (B) A ─ P─ (B) A ─ ─ B : P(A∩B) = P(A)PA─(B) ─ ─ ─ ─ ─ : P(A∩B) = P(A)PA─(B) B Activité 4 : (1) 213 P(F∩T) = ──── ≈ 0,173 1234 (2) 654 P(F) = ──── ≈ 0,530 1234 (3) 405 P(T) = ──── ≈ 0,328 1234 (4) L'élève choisi est un garçon : il y en a 580. On calcule cette probabilité parmi cet échantillon d'élève. P(G∩S) P (S) = ────── G P(G) 203 P (S) = ──── = 0,35 G 580 C'est une probabilité conditionnelle. (5) P(F∩T) P (T) = ────── F P(F) 213 P (T) = ─── ≈ 0,326 F 654 c'est la probabilité que l'élève soit en terminale, sachant que c'est une fille. (6) 213 P (F) = ─── ≈ 0,526 T 405 P(F∩T) P (T) = ────── F P(F) Or P(F∩T) = P(T∩F) et avec : P(T∩F) P (F) = ────── T P(T) P(F∩T) = PF(T)P(F) P(T∩F) = PT(F)P(T) donc : P (T)P(F) = P (F)P(T) T F PT (F)P(T) et P (T) = ─────────── P(F) F (7) S 437 234 53,5% 203 46,5% 35,4% F 234 F G 654 F 1234 392 31,8% 405 P 207 52,8% 185 47,2% 32,8% G G 185 192 G 47,4% Exercice 5 : 203 580 213 52,6% 192 213 P T 1234 F T 207 S C : A∩C D : A∩D C : B∩C D : B∩D A B S P T • P(B) = 0,7 P(A∩C) • P(C) = ─────── = 0,9 A P(A) (pas besoin de la formule). •P(A∩C) = P(A) P(C) = 0,3 0,9 = 0,27 A •P(C) = P(A∩C) + P(B∩C) = 0,3 0,9 + 0,7 0,2 P(C) = 0,41 •P(D) = P(A∩D) + P(B∩D) = 0,3 0,1 + 0,7 0,8 P(D) = 0,59 P(A∩C) P(C∩A) • P(A) = ─────── = ─────── avec P(A∩C)=0,27 et P(C)=0,41 C P(C) P(C) P(A) ≈ 0,66 C (2) Probabilités composées Proposition : Si A et B sont deux événements d'un même univers ayant des probabilités non nulles, alors : P(A∩B) = P(A) P(B) = P(B) P(A) A B Remarques : ‣ cette égalité est vraie car ‣ A∩B = B∩A le corollaire (la conséquence) de cette proposition est le théorème dit « de BAYES » : P(A) P(A) = ───── P(B) B P(B) A Exercice 6 : ‣ ‣ ‣ ‣ ‣ ‣ ‣ D'après la formule des probabilités composées, on a : (3) Formules des probabilités totales Définition : partition de l'univers Soit une expérience aléatoire d'univers . ‣ dire que deux événements A et B sont disjoints signifie que A∩B=Ø ‣ dire qu'un ensemble de n événements {A 1,A 2,...,A n} forment une partition de l'univers signifie que ces événements sont disjoints deux à deux, et leurs réunions forment l'univers de l'expérience aléatoire. Illustration : On partage l'univers en n parties disjointes (intersections vides) : En plus de cette partition, considérons un événement B quelconque de cet univers. Proposition : formules des probabilités totales Soit {A1 ,A2,...,An} une partition de l'univers . Pour tout événement B du même univers, on a : P(B)=P(A1∩B)+P(A ∩B)+...+P(A n∩B) 2 ou encore P(B)=P(A )PA (B) + P(A )PA 2(B) + ... + P(A )PA(B) n 1 1 2 n Loi des noeuds : la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même noeud est égale à 1. Loi des chemins : la probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités de chaque branche de ce chemin. Exercice 7 : Exercice 8 : p208