Enonce corrige

Révisions
EM
TSI2_2015_2016
Exercice 1 : Identification d’un champ
Les cartes 2D ci-dessous sont celles de champs en régime stationnaire. Prévoir s’il s’agit
d’un
champ
électrostatique
ou
magnétostatique
et
identifier
sources (invariantes par translation suivant un axe ⊥ à la feuille):
Champ électrostatique
implique l’impossibilité de ligne
= 0
de champ fermé
la
nature
des
Champ magnétostatique
= 0 implique l’impossibilité d’une
convergence (ou divergence) en un point
des lignes de champ.
2 fils infinis parcourus par des courants de sens opposés
2 charges + et 2 charges -
Spire parcourue par un courant
2 charges ponctuelles positives
2 fils infinis parcourus par un courant positif
Exercice 2 : Théorème de Gauss
Soit une plaque d’épaisseur ℎ chargée en volume avec une densité supposée uniforme.
La plaque est supposée infinie suivant et et le repérage est tel que est un plan
de symétrie de la distribution de charge.
Série de charges positives
Révisions
1)
EM
Donner l’expression du champ électrostatique en tout point de l’espace en
appliquant le théorème de Gauss
2)
3)
En déduire l’expression du potentiel électrique () si ( = 0) = 0.
On fait tendre ℎ → 0 en maintenant = ℎ = . Montrer que le champ
électrique est discontinue
4)
En déduire l’expression du champ électrique dans et à l’extérieur d’un
condensateur plan dont on néglige les effets de bords (on suppose les plaques
5)
6)
placées dans un milieu assimilé à du vide et chargées avec une densité ±)
On note la surface des deux plaques du condensateur précédent et la
distance qui les sépare. Donner l’expression de la capacité du condensateur
plan. On notera > 0 la différence de potentiels appliquée aux plaques.
Montrer que l’énergie électrique ! accumulée s’exprime en fonction de et .
L’analyse des symétries et invariances conduisent à = ()"
# . On peut prendre une
surface de Gausse centrée sur Oxy
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-
0 ≤ ≤ ℎ/2 :
≥ ℎ/2 :
a:−
./;
=01
9:
9#
./*
) − ) (
≥ ℎ/2 : ' = (* - ) = 2 (* ) ) = 2) =
+
Donc ) =
-
01
+
*+
*+
.#
01
= −
Pour cette situation stationnaire : = −78
9:
9#
"#
2
56
./
)01
.#
01
donc () = −
donc () = −
./;
>01
donc =
./
)01
./;
>01
.# ;
)01
+ avec la continuité du potentiel, on
./;
soit () =
>01
=#
?1 − A
/
On obtient l’expression des champs en ≤ 0 par symétrie : ( < 0) = − ( > 0) et
( < 0) = ( > 0)
"
56 #
ℎ
=
"
256 #
=
"
56 #
ℎ
= −
"
256 #
0 ≤ ≤ ℎ/2
≥ ℎ/2
ℎ
− ≤≤0
2
ℎ
≤−
2
=
ℎ
2
() = −
)
256
ℎ)
4
D1 − F
856
ℎ
)
() = −
256
ℎ)
4
() =
D1 + F
856
ℎ
() =
ℎ
−
2
ℎ
2
Dans le cas d’une distribution sans épaisseur :
./
) − ) (
3 = 4 - ) = 2 4 ) ) = 2) =
=−
=−
)01
0 ≤ ≤ ℎ/2 : En prenant un cylindre de hauteur 2z
Donc ) =
9#
+ = −
−ℎ
2
-
9:
On a = =
électrique "! =
GH
01
01
)
=
IH
01 *
et l’énergie électrique s’obtient avec la densité d’énergie
-
) (ici uniforme) donc ! = "! = )
)
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Exercice 3 : Théorème d’Ampère
On se propose dans cet exercice de calculer le champ créé par une nappe de courant.
1
A
B
2
4
D
C
3
Donc, le théorème d’Ampère donne :
Un plan conducteur supposé infini est parcouru par un courant surfacique dirigé
= S
R
- + S
- -(T→U)
) + S
) )(U→V)
W + S
W W(V→X)
selon le vecteur unitaire .
"J L’intensité de ce courant est répartie uniformément sur le
= Z
- + Z
W = 2ℎ = µ K![\]^! .
Y
6
-(T→U) W(V→X) W
1)
Avec K![\]^! = K6 alors () =
plan. On trouve ainsi un courant K6 > 0 sur un segment de longueur ℎ selon .
Définir le vecteur densité de courant surfacique en fonction des données du
problème.
2)
= µ1 O1 = − µ1 O1 . Donc :
Q pour z>0 et Q pour z<0.
)/
)/
On trouve donc une discontinuité du champ au passage de cette nappe donnée par
= µ6 ∆
LM ∧ .
"#
Tracer la fonction () et apprécier la discontinuité du champ magnétostatique pour
Si on rajoute un deuxième plan parcouru par un courant le traversant en sens inverse par
cette distribution idéalisée.
4)
)/
=
= Déterminer l’intensité champ magnétostatique en un point quelconque de l’espace à
l’aide du théorème d’Ampère.
3)
µ1 O1
=(X→T)
Un second plan parallèle au premier se trouve à la cote selon . Il est parcouru
par un courant de même intensité mais circulant dans l’autre sens. Exprimer le
champ magnétostatique engendré par la distribution.
L’uniformité du courant permet alors d’écrire : K = ( L
"
J = ( L
"
J
M
Et sur une longueur ℎ : K6 = NM ℎ donc LM =
O1
/
"J
On a le plan zOy qui est un plan de symétrie de la distribution de courant. Donc le champ
= (, , )Q
magnétostatique est tel que : Le caractère infini de la distribution entraîne une invariance de la distribution par
= ().
translation suivant Oy et Ox, donc Q
On peut proposer un contour rectangulaire tel que AB = h
rapport au 1e alors les champs vont s’additionner et on va avoir un champ total donné par
µ1 O1
/
Q entre les deux plans
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Exercice 4 : Théorème de Gauss et champ gravitationnel
1)
2)
3)
4)
5)
Exercice 5 : Champs créé par une spire
Rappeler l’expression du champ électrostatique () créé en un point par
une charge ponctuelle bc située en un point d et placée dans du vide
En déduire alors, en mesurant le flux e de à travers une sphère centrée sur
d et de rayon , que e =
fg
01
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.
Rappeler l’expression du champ gravitationnel h() créé en un point par une
masse ponctuelle ij située en un point d
Mesurer le flux e de h à travers une sphère de rayon et centrée sur d.
Proposer une écriture inétgrale, analogue au théorème de Gauss, relative au
Soit une spire, de rayon ‚, d’axe et chargée uniformément avec une densité linéique
ƒ:
1)
2)
Exprimer et représenter soigneusement le champ électrostatique
() créé sur l’axe de cette spire
7
Une autre charge, supposée ponctuelle et notée b coulisse sans
frottement suivant . Donner l’expression de la masse maximale de
la charge b pour que cette dernière puisse léviter au dessus de la
spire
flux du champ gravitationnel.
6)
Proposer une écriture locale, analogue à l’équation de Maxwell-Gauss, relative
On peut proposer une infinité de plans de symétrie de la distribution contenant alors
au flux du champ gravitationnel.
l’axe Oz et le point M : le champ électrostatique en M est sur l’axe Oz
Théorie électrostatique : () =
fk
=l01 m ;
"m donc e =
fk
La projection du champ élémentaire suivant la direction Oz donne :
=
01
nop
Théorie gravitationnelle : h() = ; g "m donc e = −4qric
)l
m
Donc
-
01
→ −4qr et bj → ic soit e = −4qris[t et h = −4qr avec ρ masse volumique.
Rq : Ce résultat est tout à fait généralisable à une distribution plus complexe de u
charges bjs et une surface de Gauss de géométrie quelconque. D’après le principe de
superposition : e = ' ∑{
s|ds
fkw
=l01 mw;
.
"mx z = ∑{
s|- '
Distribution
z
fkw
=l01 mw;
"mx z
= S
6
ƒ‚
‹
ƒ‚ˆ
ƒ‚ˆ
‰}Š
# =
=
4q56 d)
256 dW # 256 (‚ ) + ˆ ) )W/) #
On peut étudier la dérivée de la fonction à tracer pour z>0 :
() ƒ‚(‚ ) + ) )-/) )
(‚ − 2 ) )
=
256 (‚) + ) )W
Cette fonction s’annule pour 6 =
†
√)
et est donc positive pour || <
s
La quantité z. "
"mx et donc à s) }z~s ~s s :
mx correspond à la projection de suivant -
pour des charges dans alors pour décrire toute la surface :e = ∑{
s|f
fkw
=l
Pour des charges extérieures ' kw ; "mx z = 0 à cause du flux rentrant et
=l0 m
1 w
sortant intégrés sous le même angle solide mais au signe près. Donc e =
Iw€
01
Donc la masse maximale est i =
f…
01 WŽ/;†
†
√)
…†9‡
=l01 jˆ;
‰}Š.
#
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Exercice 6 : champ créé par un solénoïde
Exercice 7 : Induction
Soit un solénoïde de longueur ℎ, de rayon ‚, constitué de u
u spires. Chaque spire est
Soient deux tiges “- et “) identiques (même masse i et
quasi stationnaire et tel que ℎ  ‚ ce qui permettra de négliger les effets de bords
bords. Le
deux rails distants de 8.. Un champ magnétique uniforme,
traversée par un courant d’intensité ().. On travaillera dans l’approximation des régimes
milieu est assimilé dans lequel est placé le solénoïde
noïde est assimilé à du vide.
1)
En postulant la nullité du champ pour une distance radiale infini, déterminer :
-
Le champ magnétique en dehors de la structure
-
Le champ magnétique dans la structure
même résistance ‚/2 au courant) parallèles et posées sur
stationnaire et vertical est imposé. A l’instant initial, “-
est animée d’une vitesse .
6 On néglige tout frottement et
l’inductance propre du circuit. Le parallélisme des “- et “)
est conservé.
2)
Calculer le flux propre e du champ magnétique à travers le bobinage et en
3)
Retrouver ce résultat en exprimant l’énergie magnétique p emmagasinée par
déduire l’expression de son inductance ‘
“) est maintenue fixe,, le centre de masse de “- est en translation
A)
1)
Donner l’équation différentielle d’ordre 1 vérifiée par la vitesse instantanée
- de la tige “-.
Résoudre cette équation différentielle et donner l’expression de - en
2)
la structure.
introduisant un temps de réponse caractéristique de la tige.
1)
Nous sommes dans le cas d’un champ uniforme car les lignes de champ sont
. Avec un champ nul à l’extérieur (ce que
= 0 et 0
parallèles et que l’on peut justifier car les lignes de champ ne peuvent se fermer si le solénoïde
est infini), le théorème d’Ampère donne alors 2)
3)
eu
p ’1 {
/
-
)’1
q‚ donc ‘ ?
)
’1 {
/
)
A q‚ ) ’ 1 {;
/
- ’1 { ;
)
/
q‚
)
q‚ ) ) donc ‘ ’1 { ;
/
’1 {
/
q‚ )
“) et “-ont leur centre de masse en translation
B)
1)
Etablir la loi de variation des vitesses de chacune des tiges au cours du temps.
2)
Faire un bilan de puissance et montrer que l’énergie mécanique
mécan
du système
diminue.
L’équation électrique est : ‚ ,8- Et l’équation mécanique est :i
Soit :
9”+ t
9t
<
”+t
•
9”+ t
9t
8
0 Donc - 6 nt/•
) ‚
Si les deux tiges sont mobiles :,8- < 8
Et : i
,6 9”+t
9t
nt/•–
9”; t
8 avec aussi i
avec — Soit - –
”1
)
,8Donc
Donc - < ) 6 Et : ) , - 9t
•
)

1 < n˜ ™ et ) 9Hš+
D’un point de vue énergétique :
9t
”1
)
<

1 , n˜ ™
9Hš;
9t
9H›
9t
,‚ )
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Exercice 8 : Théorème d’Ampère et énergie électromagnétique
Exercice 9 : Chauffage par induction :
Soit un câble coaxial de longueur infinie composé d’un câble cylindrique de rayon R1 et
On considère un solénoïde supposé infini d’axe , de rayon 8 traversé par un courant
6 }z¢
sinusoïdal et générant ainsi un champ
p magnétique variable # (seul champ
d’un tube d’épaisseur comprise entre R2 et R3 avec R1 < R2 < R3. Le câble et le tube sont
coaxiaux. Le courant d’intensité I parcourt le câble dans un sens et le tube dans l’autre.
magnétique à prendre en considération ici).. On encastre un disque épais évidé dans ce
Les densités de courant sont supposées uniformes. On néglige les effets de bords.
solénoïde de conductivité γ.
1.
2.
3.
4.
1)
2)
-
.
Etudier les symétries et invariances et en déduire le sens et la direction de en tout point de l’espace. Tracer B=f(r).
Calculer le champ solénoïde
En régime variable, les courants se répartissent uniquement en surface des
conducteurs. On considère alors que les courants sont en surface (en
.
‚- et ‚) ). Donner l’expression du champ Calculer l’énergie magnétique présente dans ce câble supposé de longueur et
en déduire l’expression de l’inductance linéique ‘\ .
Donc ‡
B ‚- alors µ1 Om
)l†+ ;
‚- B B ‚) alors ‚) B B ‚W alors ‚W alors 0
1)
Exprimer le champ électromoteur créé par le solénoïde dans le conducteur.
2)
Ce champ électromoteur est responsable d’un courant dans le disque
3)
Exprimer la puissance moyenne donnée au conducteur d’épaisseur ?
caractérisé par son vecteur densité de courant L. Donner l’expression de
µ1 O
)lm
µ1 O
)lm
,
µ1 O
)lm
?
m ; n†;;
†Ž; n†;;
A
m ; n†;
µ1 O
µ O
Ž
3)
Dans le cas d’une distribution surfacique alors ;
Ž
;
Le champ électromoteur possède donc les symétries et invariances de la distribution de
courant du solénoïde : , ,
‡ en choisissant un contour circulaire, on obtient
µ1 O
)lm
On
n peut trouver l’expression de l’inductance par calcul du flux :e soit une inductance par unité de longueur
U;
µ1
1
†
µ1 /O
)l
†;
z †+
z ; .. On peut aussi partir de la
)l
†+
µ1 O ) )l/
†;
densité volumique d’énergie ž ? A
)µ
)l
la même inductance linéique
vecteur
†; nm ;
1
? Ž; ; A
œ1 , ?†; n†;; AŸ )lm
)lm
† n†
-
4)
) µ1
z
†+
? 1 A z
µ
=l
†;
†+
et on obtient
]
p ,
;
9U
)m 9t
‡ et donc un vecteur densité de courant L ,¡
courant et donc d’un effet joule.
)
]; 9U
)m 9t
)
‡ responsable d’un
8) 8) £
d ¡ ) ¡ œ
Ÿ ~
¡ œ
Ÿ 2qz 8
2 2 Bd
¡q8= ¢
) 6)
£
ln D F
8
4
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Exercice 10 : Bilan énergétique d’une bobine
EM
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1)
On a avec la loi des mailles et la convention récepteur :
()
=0
‚ + ‘
nt
Donc :() = 6 ¦ ? A avec § = L/R
Soit un solénoïde de longueur  (et supposé comme équivalent à un solénoïde infini), de
•
section circulaire de rayon a, comprend n spires par unité de longueur, chacune étant
parcourue par un courant d’intensité constante K6 . A 0, on ferme l’interrupteur
2)
On a, d’après Maxwell Faraday:
Ce champ électromoteur possède les symétries et invariances de la distribution
de courant qui l’engendre. Donc = ().
‡ On calcule alors la circulation de ce
= −
représenté ci-dessous et on éteint la générateur. On se placera en ARQS et on rappelle
le champ rayonné dans la structure = µ6 z() (pas de champ à l’extérieur)
champ sur un contour centré sur l’axe de révolution du solénoïde :
≤ 8: Y  = ()2q = −µ6 z
-
≥ 8: Y  = ()2q = −µ6 z
1)
Donner l’équation électrique régissant l’évolution du courant traversant la
2)
Donner l’expression du champ électromoteur en calculant sa circulation sur un
bobine d’inductance ‘ et la résistance ‚.
contour judicieusement choisi.
3)
Avec
En déduire alors l’expression du vecteur de Poynting ‚ et de la puissance
électromagnétique d perdue par le composant au cours de sa décharge. En
déduire alors la variation d’énergie électromagnétique ∆!p (perdue) de la
bobine.
9s(t)
9t
9s(t)
9t
9s(t)
µ [m 9s(t)
q ) . Soit : = − 1
‡
9t
q8). oit : = −
)
9t
)m
9t
µ1 []; 9s(t)
‡
< 0 on retrouve on retrouve un champ orthoradial (+) qui s’oppose à
une diminution du courant
µ [
H∧U
En = 8: ‚(8) =
=− 1
3)
Avec
µ1
9s ;(t)
9t
=
;]
9s ; (t)
9t
m
< 0 on retrouve le vecteur densité de puissance sortant du solénoïde. Donc le
flux sortant du vecteur de Poynting à travers la surface fermée délimitée par le
solénoïde est donné par :
3 ‚(8). = − 3 µ6
µ z) q8) ) ()
z) 8) ) ()
‹
= − 6
4
2
Donc l’énergie perdue est donnée par :
t→∞
∆!p = S
t|6
D− 3 ‚(8). F = ¨µ6
(z)) q8) )
‘6)
()© = −
2
2
6
∞
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1)
Exercice 11 : OEM
On dispose dans le vide deux plans parfaitement
conducteurs, parallèles, d’équations respectives 0 et
= 8.
On
se
électromagnétique
propose
plane
d’étudier
entre
ces
une
onde
deux
plans
représentée par le champ électrique suivant : (, ) =
6 ()cos (¢)"
Q
1)
2)
3)
4)
5)
Obtenir l’équation de propagation de ce champ entre les deux conducteurs.
Définir un conducteur parfait. Qu’implique ce modèle sur les champs
électromagnétiques ?
En déduire alors l’expression de 6 () en tenant compte des conditions aux
limites imposées par les conducteurs. Interpréter la solution obtenue.
On suppose maintenant qu’une source d’OEM est située en 0­ . En ce point le
champ électrique est (, ) = 6 cos (¢)"
Q . Montrer que la cavité résonne si la
source stimule certaine fréquence de rayonnement.
Dans le cas d’un laser Hélium-Néon, les photons émis sont associés à une
largeur ∆® ≈ 1r° et la cavité est ‘ = 50‰i. Combien de modes pourrons nous
observer ?
A partir des équations de Maxwell dans le vide, on obtient l’équation de
propagation est ∆ − µ6 56
²; H
²t ;
=0
Et si on injecte la solution proposée alors :
³
2)
) 6 ()
¢)
+ œ ) Ÿ 6 ()´ cos (¢) = 0
)
‰
Un conducteur parfait est associé à une conductivité infinie. Il présente alors
une réponse inductive parfaite permettant la réflexion totale des champs
électrique et magnétique.
3)
Donc 6 () est de la forme 6 () = µ‰}(¶) + }z(¶)
Avec 6 (0) = 6 (8) = 0 soit µ = 0 et ¶p 8 = iq avec i ∈ ℕ∗ et donc des
solutions possibles de type ondes stationnaires avec la sélections de certaine
pl
longueur d’onde telles que : = 6 }z ? A cos (¢)"
.
Q Cette quantification des
]
longueurs d’onde possibles se retrouve aisément en remarquant que la présence
…
des deux conducteurs impose aux ondes stationnaires : 8 = i .
)
Toutes ces fréquences possibles sont appelées modes propres de vibration de
la cavité
On observe exactement la même situation lorsque l’on étudie une onde sur une
corde : la solution générale est une somme d’ondes stationnaires. C’est ce qui
4)
donne le timbre de l’instrument (fondamental + harmoniques)
(, ) = µ}z(¶ + )cos (¢ + º)"
Q
Cherchons donc une solution du type
vérifiant les conditions aux limites :
(0­ , ) = µ}z cos(¢ + º) = 6 cos (¢)
Soit º=0 et µ =
H1
Ms[»
et (0­ , ) = µ}z(¶8 + ) cos(¢) = 0 qui implique  = −¶8
H
soit une solution donnée par : (, ) = − 1 sinÁ¶( − 8) cos(¢) .
"Q On a
¼½¾ (¿])
donc, avec ce modèle d’une réflexion totale, un champ divergent si ¶p 8 = iq.
Stimuler les modes propres de vibration à l’aide d’un excitateur permet
d’atteindre une résonance (comme en mécanique où stimuler la fréquence de
résonance d’un oscillateur harmonique entraîne une résonance).
5)
La résonance implique ‘ = zƒ/2 soit ƒ =
∆®[­-→[ =
^
)Ã
)Ã
[
et ® =
= 300° soit à peu près 3 modes.
[^
)Ã
Donc entre deux modes :
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