Champ magnétique

Chapitre 8
Champ magnétique
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Introduction
Champ Magnétique
Force magnétique
Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique
Force de Lorentz et applications
Cyclotron et Synchroton
Force magnétique sur un conducteur
Moment de force sur une boucle de courant
L’effet Hall
2
2. Champ Magnétique
• Symbole : 𝑩
• Le tesla : T
▫ En l’honneur de Tesla
•
N
N
B  T 

C  m/ s A m
• Autre unité : Gauss
1G  10 T
▫ Pour des mesures plus faibles
4
3
3. Étude du mouvement d’une particule chargée
• B est uniforme
• Force magnétique : 𝑭𝑩 ou 𝑭𝒎

 
FB  qv  B
▫ 𝐹𝐵𝑥 = 𝑞 𝑣𝑦 𝐵𝑧 − 𝑣𝑧 𝐵𝑦
▫ 𝐹𝐵𝑦 = 𝑞 𝑣𝑧 𝐵𝑥 − 𝑣𝑥 𝐵𝑧
▫ 𝐹𝐵𝑧 = 𝑞 𝑣𝑥 𝐵𝑦 − 𝑣𝑦 𝐵𝑥
[N]
FB  q vB sin 
𝐹𝐵 sera perpendiculaire
au plan formé par 𝑣 et 𝐵
Unité de B : 𝐵 = 𝐹 𝑞𝑣 = 𝑁 𝐶𝑚. 𝑠 −1 𝑒𝑡 𝐶. 𝑠 −1 = 𝐴
4
3. Rappels Mathématiques
• Produit vectoriel :
𝐴 = 𝐵 ⊗ 𝐶 ou
𝐴=𝐵×𝐶
𝐴=𝐵∧𝐶
ou
• Développement :
𝐴𝑥 = 𝐵𝑦 ⋅ 𝐶𝑧 − 𝐵𝑧 ⋅ 𝐶𝑦
𝐴𝑦 = 𝐵𝑧 ⋅ 𝐶𝑥 − 𝐵𝑥 ⋅ 𝐶𝑧
𝐴𝑧 = 𝐵𝑥 ⋅ 𝐶𝑦 − 𝐵𝑦 ⋅ 𝐶𝑥
• 𝑖 ⊗ 𝑗 = 𝑘 mais 𝑗 ⊗ 𝑖 = −𝑘
𝑖⊗𝑖=0
• Convention :
▫ ⊙ signifie que le vecteur est sortant de la feuille
▫ ⊗ signifie que le vecteur est entrant dans la feuille
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3. Règle de la main droite
La règle de la
main droite
fonctionne pour
les charge
positive.
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3. Exercices
• E2 : un électron se déplace dans le sens négatif de l’axe des y
à 106 𝑚/𝑠, perpendiculairement à un champ magnétique
uniforme. LA force magnétique agissant sur l’électron est de
3,2 × 10−15 𝑖 𝑁.
▫ Quels sont le module et le sens du champ magnétique ?
• E7 : une particule de charge −4𝜇𝐶 a une vitesse instantanée :
𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗 + 1𝑘 × 106 𝑚/𝑠 dans un champ magnétique
uniforme : 𝐵 = 2𝑖 + 5𝑗 − 3𝑘 × 10−2 𝑇.
▫ Quelle est la force magnétique agissant sur la charge ?
7
4. Mouvement d’une particule chargée dans B
• On a :
𝐹 = 𝑚𝑎
• Pour mouvement circulaire :
▫ Accélération centripète :
𝑎=
𝑣²
𝑟
 v est le module de la vitesse sur la trajectoire circulaire, qui est
perpendiculaire à a
 r est le rayon de la trajectoire 𝑚
▫ Rayon de la trajectoire :
𝑟=
𝑚𝑣
𝑞𝐵
Quantité de
mouvement
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4. Mouvement d’une particule chargée dans B
• Vitesse angulaire
▫ Ou appelée la fréquence angulaire
𝑣
𝑞𝐵
𝜔= =
𝑟
𝑚
[𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠 −1 ]
• T est la période du mouvement
2𝜋 2𝜋𝑚
𝑇=
=
𝜔
𝑞𝐵
[𝑠]
• F est la fréquence du mouvement
𝜔
𝑞𝐵
𝑓=
=
𝑠 −1 = [𝐻𝑧]
2𝜋 2𝜋𝑚
• Énergie : 1𝑒𝑉 = 1,602 ∙ 10−19 𝐽
9
4. Exemple
• E28 : un proton se déplace à la vitesse de module
107 𝑚
,
𝑠
3×
perpendiculairement à un champ
magnétique uniforme de module 0,05 𝑇.
▫ Quel est le rayon de la trajectoire ?
▫ Quelle est la période du mouvement ?
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4. Mouvement hélicoïdale
Composante parallèle à B
Composante perpendiculaire à B
• Nommée : 𝑣∥
• Nommée : 𝑣⊥
• 𝐹∥ = 0
• 𝐹⊥ = 𝑞 𝑣⊥ 𝐵
▫ Trajectoire rectiligne
▫ Mouvement circulaire
Mouvement Hélicoïdale =
Mouvement circulaire + Trajectoire rectiligne
Pas de l’hélice : d [m]
2𝜋𝑚
𝑑 = 𝑣∥ 𝑇 = 𝑣∥
𝑞𝐵
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5. Combinaison de E et B
• Force résultante : Force de Lorentz
• Combinaison d’un champ électrique et d’un champ
magnétique
𝐹 = 𝐹𝐸 + 𝐹𝐵
𝐹 = 𝑞𝐸 + 𝑞𝑣 ⊗ 𝐵
𝐹 =𝑞 𝐸+𝑣⊗𝐵
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5. Application
Sélecteur de vitesse
• Trie un faisceau de particules
chargées selon leur vitesse
• Fonctionnement :
▫ 2 plaques parallèles  E uniforme
 FE
▫ B uniforme → FB
• La force de Lorentz est nulle
𝐹𝐸 = −𝐹𝐵
E
v
B
Spectromètre de masse
• Mesure masse des atomes et des
molécules
▫ Sépare les ions atomiques et
moléculaires selon m/q
•
𝑚
𝑞
=
𝑟𝐵2
avec
𝑣
𝓋=
𝐸
𝐵1
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5. Exemple
• Un électron pénètre dans une région de
l’espace où 𝐸 = 9,5 × 103 𝑉/𝑚 et
B= 4,0 × 10−3 T. Leur directions sont
perpendiculaires comme le montre le
schéma.
 Dessiner les vecteurs de la force électrique et
de la force magnétique pour que l’électron
ne soit pas dévié.
 Quelles doivent être la direction et la vitesse
de l’électron pour qu’il ne soit pas dévié ?
 Quel serait le rayon du mouvement
circulaire si on supprime le champ électrique
en gardant v?
𝐵
𝐸
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6. Cyclotron et synchroton
cyclotron
Synchrotron
1.
Deux plaques chargées en
forme de demi cylindre.
2.
Particules entrent dans l’un des
deux cylindres :
Champ magnétique
3.
Particules sortent du cylindre et
se retrouvent entre les 2
cylindres
qB
f 
2m
• http://home.cern/fr/about/accelerators
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6. Exemple
• Calculer l’énergie cinétique maximale des protons
accélérés dans un cyclotron de 0,50m de rayon sous
l’action d’un champ magnétique de 0,35 T.
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7. Force magnétique sur conducteur parcouru par un courant
FB  NI  B
Règle de la main droite s’applique :
• Index : ℓ (donc I)
• Majeur : 𝐵
• Pouce : 𝐹𝐵
dFB  NId  B
𝐵
ℓ
I
𝐹𝐵
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8. Moment de la force
▫ Boucle de courant est
soumise à un moment
de force net qui tend à
lui imprimer un
mouvement de rotation
1
Bras de levier : r  a sin 
2
  NIABsin 
• Boucle de courant = Dipôle
Magnétique
• Moment magnétique
dipolaire : μ


  NIAun
▫ Unité SI : A.m²
▫ Moment de force



 B
▫ Énergie potentielle
 
U B    B