Mécanique des fluides

$1(& 14* & 4"6%3"*4
.ÏDBOJRVF EFT ýVJEFT
3FMBUJPO EF #FSOPVMMJ
L’axe Oz est pris selon la verticale ascendante.
** ‰ %ZOBNJRVF EFT ýVJEFT QBSGBJUT
²DPVMFNFOU TUBUJPOOBJSF JODPNQSFTTJCMF FU JSSPUBUJPOOFM EVO ýVJEF IPNPHÒOF
Fluide parfait : on néglige la viscosité et la tension superficielle.
P v2
+
+gz =C ;
µ
2
²RVBUJPO E&VMFS
On considère un fluide parfait, dans le champ de pesanteur #»
g considéré comme uniforme, étudié dans
un référentiel R galiléen.
Le principe fondamental appliqué à une particule de fluide conduit à l’équation d’Euler :
²DPVMFNFOU TUBUJPOOBJSF JODPNQSFTTJCMF FU UPVSCJMMPOOBJSF
P v2
+
+ g z = C (L ) ;
µ
2
D #»
v
# »
µ
= −grad P + µ #»
g
Dt
En développant la dérivée particulaire, on peut l’écrire sous deux formes :
! #»
"
∂v
# »
# »
µ
+ ( #»
v · grad ) #»
v = −grad P + µ #»
g
∂t
ou
La relation de Bernoulli peut s’écrire :
P
#$%&
s’exerçant sur une particule de fluide de volume dτ est d F p = −grad P dτ.
énergie potentielle
volumique
des forces de pression
#»
#» #»
! Si la particule de fluide est soumise à d’autres forces de résultante d F = f v dτ, où f v est la force
#»
volumique correspondante, il faut ajouter le terme f v à l’équation d’Euler :
# »
d2OO #
#»
a e = #»
a O # /R =
2
dt
Cte
énergie potentielle
volumique de pesanteur
au cours de son mouvement, mais sa valeur varie d’une ligne de courant à une autre.
# »
µv 2
est appelé pression dynamique.
2
µv 2
! Le terme P +
est appelé pression de stagnation.
2
! Le terme
²DSJUVSF FO UFSNF EF DIBSHF
#» #» # »
#»
#»
a ie (M ) = Ω ∧( Ω ∧ OM ) et #»
a iC (M ) = 2 Ω ∧ #»
v M /R#
La relation de Bernoulli s’écrit
! Dans le cas d’un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe Oz, l’accélération d’entraînement s’écrit en coordonnées cylindriques #»
a (M ) = −Ω2 r #»
e
ie
r
# »
0 = −grad P + µ #»
g − µ #»
a ie (M )
+FU MJCSF
Dans un jet de liquide à l’air libre, en l’absence de toute paroi, la pression est égale à la pression ambiante P 0 .
14* +BDBN ‰ & 4BVESBJT
#»
Le fluide étant au repos dans le référentiel R# , on a #»
v M /R# , d’où #»
a iC = 0 , et
P
v2
+
+z =C
µg 2g
où la constante C , homogène à une hauteur, est appelée charge totale de l’écoulement.
P
! Le terme
+ z est appelé hauteur piezométrique.
µg
4UBUJRVF EFT ýVJEFT FO SÏGÏSFOUJFM OPO HBMJMÏFO
#»
=
! Le terme P + µg z est appelé pression motrice.
= −grad P + µ #»
g − µ #»
a e (M ) − µ #»
a C (M )
#»
#»
a C (M ) = 0
énergie cinétique
volumique
µg z
#$%&
dans tout le volume du fluide ; un tel écoulement est dit à énergie constante.
Référentiel en rotation uniforme autour d’un axe
fixe :
et
+
! Dans le cas d’un écoulement tourbillonnaire, l’énergie d’une particule de fluide reste constante
Il faut prendre en compte les les accélération d’entraînement #»
a e (M ) et de Coriolis #»
a C (M ) :
Référentiel en translation :
v2
µ
2
#$%&
! Dans le cas d’un écoulement irrotationnel, l’énergie volumique d’une fluide a la même valeur
²RVBUJPO E&VMFS FO SÏGÏSFOUJFM OPO HBMJMÏFO
Dt
+
Elle traduit la conservation de l’énergie : l’énergie d’une particule de fluide reste constante au cours
de son mouvement.
D #»
v
#»
# »
µ
= −grad P + µ #»
g+fv
Dt
µ
constante le long d’une ligne de courant
*OUFSQSÏUBUJPO ÏOFSHÏUJRVF
! #»
"
∂ v # » v2
# »
#»
µ
+ grad
+ (rot #»
v ) ∧ #»
v = −grad P + µ #»
g
∂t
2
# »
! L’équivalent volumique des forces de pression est −grad P : la résultante des forces de pression
# »
#»
D #»
v
constante dans tout le fluide
"QQMJDBUJPOT EF MB SFMBUJPO EF #FSOPVMMJ
&GGFU 7FOUVSJ
On observe une baisse de pression lorsqu’un fluide s’écoule par un étranglement où sa vitesse
augmente.
2
! Lorsque la pression devient inférieure à la pression de vapeur saturante, on observe l’apparition
de bulles de vapeur au sein du liquide qui implosent ensuite rapidement, créant des dommages
aux structures (conduites, hélices, etc.). C’est le phénomène de cavitation.
'PSNVMF EF 5PSSJDFMMJ
On considère un récipient à l’air libre empli d’un liquide. La vitesse du liquide sortant d’un trou percé
à une distance h sous la surface libre du liquide est donnée, si la section du trou est petite devant celle
du récipient, par
'
v = 2g h
! C’est la vitesse d’un corps après une chute libre de la même hauteur h.
²DPVMFNFOU OPO TUBUJPOOBJSF JODPNQSFTTJCMF FU UPVSCJMMPOOBJSF
On considère une ligne de courant Γ reliant deux points A et B . En intégrant l’équation d’Euler le long
de cette ligne de courant, on obtient
ˆ B
( 2
)B
∂v
v
P
dl +
+ + g z = 0.
2
µ
A ∂t
A
! Il faut que la ligne de courant ne se déforme pas dans le temps pour que l’on puisse écrire
∂ #»
v #» ∂v
· dl =
dl
∂t
∂t
! Si l’écoulement a lieu dans un conduite de section s constante, on a v(t ) = cte = v A (t ) = v B (t ) en
tout point d’une ligne de courant à l’instant t , et la relation précédente s’écrit
(
)B
dv
P
L+
+gz =0
dt
µ
A
où L est la longueur de la ligne de courant entre A et B .
14* +BDBN ‰ & 4BVESBJT
.BJT RVJ ÏUBJUJM
Daniel Bernoulli (1700-1782).
Mathématicien et physique suisse-allemand, issu d’une famille
de grands mathématiciens. Il collabore avec son ami Euler en
mathématiques comme en physique. Dans son traité Hydrodynamica, publié en 1738, il analyse l’écoulement d’un liquide par
le trou d’un récipient et discute les principes de fonctionnement
des pompes et autres techniques d’élévation de l’eau, à partir du
principe de conservation de l’énergie (l’équation d’Euler a été
établie postérieurement, en 1755). Il y énonce le théorème qui
porte son nom.
Il étudie le problème des cordes vibrantes, avec d’Alembert.
3