La physique par la pratique
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La physique par la pratique Julien Barthes Agrégé de sciences physiques Ancien élève de l’École Normale Supérieure de Lyon Enseignant en classes préparatoires Baptiste Portelli Agrégé de sciences physiques Docteur ès Physique Ancien agrégé préparateur à l’École Normale Supérieure de Lyon Enseignant en classes préparatoires Avant-propos L’agrégation de sciences physiques est un concours qu’il est difficile de bien préparer, car il faut dans le même temps acquérir une masse imposante de connaissances et prendre du recul vis-à-vis de celle-ci. Il est d’abord indispensable, pour aborder sereinement les épreuves, de revoir et d’approfondir les programmes des deux premiers cycles universitaires. Sans ce socle solide, on ne peut guère espérer réussir l’agrégation. Ces révisions représentent beaucoup de travail, de sorte qu’il est tentant de s’y limiter ; mais ce serait oublier l’essentiel : les connaissances brutes ne suffisent pas. Ce que recherche le jury, ce n’est certainement pas la capacité à régurgiter des pages de manuel apprises par cœur – ou plutôt, il tient pour acquis que tous les candidats sérieux en seraient capables si on le leur demandait. Le jury cherche à évaluer la maturité scientifique des futurs enseignants, ce qui signifie posséder une vue d’ensemble du programme, savoir critiquer ses idées et résultats, et être autonome, c’est-à-dire faire preuve d’initiative. Aucun ouvrage spécifique à l’agrégation ne peut vous présenter l’ensemble des connaissances à maîtriser. Vous devez pour cela vous reporter à vos cours et, surtout, aux ouvrages de référence. On ne peut pas davantage vous enseigner directement la maturité scientifique que vous devez acquérir ; en revanche, nous pouvons vous aider efficacement à faire son apprentissage : tel est l’objectif de ce livre. Les vingt-trois thèmes d’étude que nous vous proposons dans ce recueil doivent beaucoup à la « prépa agreg » de l’École normale supérieure de Lyon, où nous avons étudié, puis enseigné. Ils ont notamment profité des suggestions et critiques de nos étudiants lorsqu’ils étaient confrontés à un devoir écrit ou à une leçon, d’oral ou de montage. Le principe directeur de chaque problème est de reproduire la démarche scientifique. Ainsi, un phénomène naturel (marées, circulation des vents, mirages, etc.) peut être d’abord observé puis modélisé, ce qui permet de distinguer les paramètres physiques pertinents, par exemple à l’aide d’une analyse dimensionnelle ; on formule alors a priori des hypothèses, qui devront permettre de rendre compte des comportements essentiels (qualitatifs et quantitatifs) du système ; enfin, on vérifie a posteriori la validité des hypothèses. Une démarche analogue peut être appliquée à des objectifs technologiques (vase Dewar, fibres optiques, piège optique, etc.). Enfin, à l’occasion de plusieurs problèmes vous devrez porter un regard critique sur les notions qui sont en apparence les plus élémentaires – mais qui révéleront des idées fondamentales. Les thèmes que nous abordons sont empruntés à la mécanique au sens large, la thermodynamique, l’optique, la physique ondulatoire et la physique non linéaire. Nous ne couvrons pas toute l’étendue des « planches » possibles : d’une part il faudrait y consacrer plus de pages que vous n’aurez le temps d’en étudier en un an, d’autre part ce serait tout à fait inutile, car le recul s’acquiert par une réflexion personnelle (même si elle est guidée) et non par la répétition ou la reproduction d’un corrigé déjà vu. 4 Avant-propos Enfin, nous vous suggérons de ne pas considérer cet ouvrage comme une somme fermée de problèmes mais comme une invitation à découvrir par vous-même une littérature riche et éclairante. Nous avons en effet pris soin d’indiquer, pour chaque problème, quelles sources ou références bibliographiques nous ont servi à concevoir les divers aspects du sujet. Afin que vous puissiez à votre tour vous reporter à ces textes fondateurs, nous nous sommes limités à des ouvrages et revues aisément accessibles en bibliothèque ou en librairie. Vous avez désormais tous les atouts en main pour préparer avec confiance le concours de l’agrégation. Bon courage, et bonne réussite ! Les auteurs Évaluation des problèmes Difficulté Mécanique Référentiel terrestre Frottement et 4 × 4 Les marées Déviation vers l’est Effet gyroscopique et vélo Mécanique des fluides Eau minérale Effet de sol Expérience de Stokes Les vents Thermodynamique Les dinosaures Le vase Dewar Refroidissement Anémomètre à fil chaud Thermodynamique du frottement Optique Principe de Fermat Les mirages Fibre à gradient d’indice Piège optique Ondes et physique non linéaire Chaînes d’oscillateurs Couche anti-reflet Dispersion dans les fibres optiques Soliton dans les fibres optiques Étude du Van Der Pol ∗ ∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗∗ Temps conseillé ∗ ∗ ∗∗∗ ∗∗ ∗∗ 2 1 2 2 1 h h h 30 min h h 30 min ∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗∗ 1 1 1 2 h h h 30 min h ∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗ 1 2 1 2 1 h 30 min h h 30 min h 30 min h ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ 2 2 1 1 h h 30 min h 30 min h ∗∗ ∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ 1 2 3 2 3 h 30 min h h 30 min h 30 min h Application directe du cours Approfondissement du cours Utilisation des acquis Entraînement au problème de physique (type C) Table des leçons et montages Nous donnons ci-dessous la liste des leçons proposées à l’oral de l’Agrégation en 2004. Les leçons varient peu d’une année à l’autre, mais nous vous encourageons à vous procurer la liste la plus récente. Vous la trouverez par exemple en ligne sur le site de la « prépa agreg » de l’École normale supérieure de Lyon : http://www.ens-lyon.fr/DSM/AGREG-Physique Codes et intitulés des leçons LP01 Utilisation des intégrales premières du mouvement en mécanique. Exemples et applications. (1er CU) LP02 Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Applications au glissement et au roulement. (PC ou 1er CU) LP03 Caractère non galiléen du référentiel terrestre. Conséquences. (PCSI ou 1er CU) LP04 Mouvement d’un solide autour d’un axe fixe. Équilibrage statique et dynamique. Exemples. (1er CU) LP05 Approximation gyroscopique. Effets dans les domaines macroscopique et microscopique. (1er CU) LP06 Utilisation des lois de conservation dans le problème à deux corps. Applications. (MPSI, PCSI ou 1er CU) LP07 Principes de la cinématique relativiste. Durée propre. Longueur propre. (1er CU) LP08 Collisions en relativité restreinte : application à l’étude des particules élémentaires. (1er CU) LP09 Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique indépendant du temps. Applications. (1er CU) LP10 Modèle de l’écoulement parfait d’un fluide ; validité. Relation de Bernoulli ; limites et applications. (PC) LP11 Notion de viscosité d’un fluide. Écoulements visqueux, nombre de Reynolds. Exemples simples. (PC) LP12 Équations de bilan en mécanique des fluides : exemples et applications. (PC) LP13 Modèle du gaz parfait. (MPSI ou PCSI) LP14 Échanges énergétiques ; bilans d’énergie et d’enthalpie. (PCSI ou 1er CU) LP15 Exemples de phénomènes irréversibles ; bilans d’entropie. (1er CU) LP16 Application des deux premiers principes de la thermodynamique au fonctionnement des machines thermiques. (MPSI, PCSI ou 1er CU) 8 Tables des leçons et montages Codes et intitulés des leçons LP17 Évolution et condition d’équilibre d’un système thermodynamique fermé : potentiels thermodynamiques. (PC) LP18 Étude thermodynamique d’un système constitué par un corps pur sous plusieurs phases. Exemples. (PCSI, PC ou 1er CU) LP19 Notion d’état microscopique. Interprétation statistique de l’entropie. Exemples. (1er CU) LP20 Facteur de Boltzmann. Applications. (1er CU) LP21 Rayonnement d’équilibre thermique. Corps noir. Applications. (MP ou 1er CU) LP22 Étude d’un phénomène de transport : conduction thermique ou diffusion de particules. Applications. (1er CU) LP23 Conversion de puissance électromécanique. Exemples et applications. (PSI ou 1er CU) LP24 Induction électromagnétique. Aspects énergétiques. Applications. (PC ou 1er CU) LP25 Systèmes bouclés. Applications. (PSI ou 1er CU) LP26 Traitement d’un signal électrique : filtrage linéaire. Étude spectrale. Exemples et applications. (PSI ou 1er CU) LP27 Utilisation des propriétés de symétrie dans l’étude des champs électromagnétiques. Exemples. (PC ou 1er CU) LP28 Exemples simples de phénomènes de propagation unidimensionnels. Ondes progressives, ondes stationnaires. Aspects énergétiques. (PCSI, PC ou 1er CU) LP29 Ondes sonores dans les fluides. (PC) LP30 Propagation dans un milieu dispersif ; vitesse de phase, vitesse de groupe ; paquets d’ondes planes et évolution. Exemples. (PC ou 1er CU) LP31 Dispersion et absorption d’une onde électromagnétique plane dans un milieu diélectrique. Modélisation microscopique. (PC) LP32 Réflexion et réfraction d’une onde électromagnétique monochromatique plane à la surface de séparation entre deux milieux diélectriques linéaires homogènes isotropes (1er CU) LP33 Réflexion des ondes électromagnétiques planes à la surface d’un milieu conducteur. Effet de peau. (1er CU) LP34 Propriétés et applications du rayonnement dipolaire électrique. (MP, PC) LP35 Notion de rayon lumineux. Principe de Fermat. Conséquences. (1er CU) LP36 Application des lois de l’optique à l’étude d’un instrument d’optique au choix (lunette astronomique, télescope, appareil photographique, microscope). (1er CU) Tables des leçons et montages Codes et intitulés des leçons LP37 Obtention d’interférences à deux ondes en optique. Notion de cohérence. (PC ou 1er CU) LP38 Interféromètres à division d’amplitude. Applications. (1er CU) LP39 Diffraction de Fraunhofer. Applications. (1er CU) LP40 Diffraction par des structures périodiques dans différents domaines spectraux. (1er CU) LP41 Le photon : la particule et ses interactions avec la matière. (1er CU) LP42 Absorption, émission spontanée ou induite du rayonnement : coefficients d’Einstein. Applications. (1er CU) LP43 Dualité onde-corpuscule : relation de Louis de Broglie ; inégalités d’Heisenberg. Applications. (1er CU) LP44 Puits de potentiel : exemples et applications en physique quantique. (1er CU) LP45 Confinement de l’électron et quantification de l’énergie dans les atomes. (1er CU) LP46 Effet tunnel. Applications. (1er CU) LP47 Le noyau : stabilité, énergie. (1er CU) LP48 Comportement dynamique des systèmes couplés : oscillateurs à deux degrés de liberté en mécanique classique, systèmes à deux niveaux d’énergie en physique quantique. Analogies et différences. (1er CU) LP49 Cohésion de la molécule et des solides ; aspects énergétiques. (1er CU) LP50 Chaîne linéaire infinie d’oscillateurs harmoniques. Modes propres. Approximation des milieux continus. Aspects énergétiques. (1er CU) LP51 Capacités thermiques : description, interprétations microscopiques. (1er CU) LP52 Paramagnétisme, ferromagnétisme (approximation du champ moyen). (1er CU) LP53 Propriétés macroscopiques des corps ferromagnétiques ; applications. (PC ou 1er CU) LP54 Mécanismes de la conduction électrique. Loi d’Ohm. Effet Hall. Applications. (1er CU) LP55 Phénomènes de résonance dans différents domaines de la physique. (1er CU) LP56 Exemples d’effets de non-linéarité sur le comportement d’un oscillateur. (1er CU) 9 10 Tables des leçons et montages Codes et intitulés des montages MP01 Dynamique newtonienne. MP02 Tension superficielle. MP03 Dynamique des fluides. MP04 Thermométrie. MP05 Transitions de phase. MP06 Phénomènes de transport. MP07 Phénomènes dissipatifs. MP08 Formation des images en optique. MP09 Interférences lumineuses ; conditions d’obtention. MP10 Diffraction des ondes lumineuses. MP11 Spectrométrie optique. MP12 Milieux optiquement actifs : biréfringence et pouvoir rotatoire. MP13 Production et analyse d’une lumière polarisée. MP14 Émission et absorption dans le domaine optique. MP15 Lasers. MP16 Photorécepteurs. MP17 Production et mesure de champs magnétiques. MP18 Milieux magnétiques. MP19 Métaux. MP20 Matériaux semi-conducteurs. MP21 Condensateurs ; effets capacitifs. MP22 Induction, auto-induction. MP23 Conversion de puissance électrique-électrique. MP24 Conversion de puissance électromécanique. MP25 Capteurs et transducteurs. MP26 Mesure des tensions et des courants. MP27 Amplification de signaux. MP28 Télécommunication : mise en forme, transport et détection de l’information. MP29 Acquisition, analyse et traitement des signaux. MP30 Mesure des fréquences temporelles (domaine de l’optique exclu). MP31 Mesure de longueurs. MP32 Asservissement d’une grandeur physique ; applications. Tables des leçons et montages Codes et intitulés des montages MP33 Instabilités et phénomènes non linéaires. MP34 Ondes et impédances. MP35 Ondes acoustiques. MP36 Résonance. MP37 Oscillateurs. MP38 Couplage des oscillateurs. MP39 Filtrage. MP40 Constantes physiques fondamentales ; unités. 11 Table des matières Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Évaluation des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tables des leçons et montages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 7 Mécanique du point et des solides Thème n◦ 1 Thème n◦ 2 Thème n◦ 3 Thème n◦ 4 Thème n◦ 5 Caractère non galiléen du référentiel terrestre . . . . . . . . I. Dynamique dans le référentiel terrestre II. Ordres de grandeur Déviation vers l’est vue dans le référentiel géocentrique . . . Les marées océaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Théorie statique de Newton – Description et limites II. Vers une théorie dynamique des marées Le frottement et les 4×4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vélo et effets gyroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Aspect intuitif II. Effet réel sur un vélo . 17 . 29 . 37 . 55 . 61 Mécanique des fluides ◦ Thème n 6 Thème n◦ 7 Thème n◦ 8 Thème n◦ 9 Écoulement de Poiseuille et eau minérale . . . . . . Effet de sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expérience de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Diffusion de particules II. Diffusion de quantité de mouvement Les vents géostrophiques . . . . . . . . . . . . . . I. Équation de Navier-Stokes II. L’approximation géostrophique III. Cyclones et anticyclones IV. Déstabilisation de l’écoulement en cyclones . . . . . . 69 . . . . . . 76 . . . . . . 81 . . . . . . 89 Thermodynamique ◦ Thème n 10 Diffusion thermique chez les gros dinosaures . . . . . . . . . . 107 Thème n◦ 11 Le vase Dewar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 I. Diffusion thermique dans les gaz II. Pertes par diffusion thermique III. Pertes par rayonnement Thème n◦ 12 Refroidissement par désaimantation . . . . . . . . . . . . . . 125 I. Modèle microscopique II. Refroidissement 13 14 Table des matières Thème n◦ 13 Transferts d’énergie dans les fluides . . . . . . . . . . . . . . . 134 I. Bilans d’entropie dans un fluide II. Transferts thermiques dans les fluides III. Application : l’anémomètre à fil chaud Thème n◦ 14 Thermodynamique du contact entre deux solides . . . . . . . 148 Optique Thème n◦ 15 Analogies entre optique géométrique et mécanique du point Thème n◦ 16 Les mirages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Étude qualitative II. Mirages inférieurs. Convection de l’atmosphère III. Mirages latéraux Thème n◦ 17 Marche d’un rayon dans une fibre à gradient d’indice . . . . Thème n◦ 18 Un piège optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 . 163 . 179 . 185 Ondes et physique non linéaire ◦ Thème n 19 Propagation des vibrations dans une chaîne d’oscillateurs Thème n◦ 20 La couche anti-reflet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Coefficients de Fresnel II. Traitement anti-reflet Thème n◦ 21 Effets de la dispersion sur un paquet d’ondes . . . . . . . I. Paquet d’ondes dans un milieu non dispersif II. Introduction au concept de dispersion III. Milieux faiblement dispersifs – Déformation IV. Lien dispersion/dissipation Thème n◦ 22 Propagation des solitons dans les fibres . . . . . . . . . . I. Approche qualitative des effets non linéaires II. Instabilité modulationnelle de Benjamin-Feir III. Enveloppe du soliton – Analogies mécaniques Thème n◦ 23 Oscillateur de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Montage à résistance négative II. Diagramme de bifurcation III. Déformation du cycle, oscillations de relaxation IV. Régime fortement non linéaire . . 191 . . 199 . . 210 . . 233 . . 243 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Thème d’étude n◦ 1 Caractère non galiléen du référentiel terrestre Le but de ce problème est d’établir pas à pas l’équation de la dynamique d’un point matériel dans le référentiel terrestre. Les manifestations du caractère non galiléen de ce référentiel seront approfondies dans les thèmes d’étude n◦ 3 (sur les marées) et n◦ 9 (sur les vents). La leçon la plus directement concernée par ce problème est LP03. É NONCÉ I. DYNAMIQUE DANS LE RÉFÉRENTIEL TERRESTRE Dans un premier temps, on s’intéresse à la dynamique du référentiel géocentrique dans le référentiel de Copernic. 1. Définir le référentiel de Copernic, noté Rc , ainsi que le référentiel géocentrique, noté Rg . 2. Déterminer l’échelle de temps sur laquelle ces deux référentiels peuvent être considérés comme galiléens. 3. Préciser la nature du mouvement de Rg par rapport à Rc . 4. Écrire l’équation décrivant la dynamique du référentiel géocentrique dans le référentiel Rc et montrer que a(T)Rc ' G(T) , (1.1) où • a(T)Rc est l’accélération du centre de la Terre T dans Rc ; • G(T) est la résultante du champ gravitationnel exercé par l’ensemble des astres du système solaire au centre de la Terre. On justifiera très soigneusement l’approximation qui a été faite pour aboutir à la formule (1.1). 5. Identifier l’accélération d’entraînement de Rg par rapport à Rc . À présent, on s’intéresse à la dynamique d’un point matériel, noté M, de masse m, dans le référentiel géocentrique Rg . On note : • G 0 (M) le champ gravitationnel exercé seulement par la Terre au point M ; 18 Mécanique du point et des solides Partie I • G(M) la résultante du champ gravitationnel exercé au point M par tous les astres autres que la Terre (Soleil, Lune, Jupiter...) ; • f la résultante de toutes les forces extérieures s’appliquant en M autres que les forces d’origine gravitationnelle. 6. Écrire l’expression du principe fondamental de la dynamique dans le référentiel géocentrique Rg . 7. Définir le référentiel terrestre, noté Rt . On notera ωT le vecteur rotation du référentiel terrestre par rapport au référentiel de Copernic. Que dire de ω Rt /Rg ? 8. Définir la notion de jour sidéral et de jour solaire moyen. Quelle est l’origine physique de la différence entre ces deux notions ? Préciser le sens de l’adjectif moyen dans « jour solaire moyen ». 9. |ωT | est-il défini à partir du jour sidéral ou bien à partir du jour solaire moyen ? 10. Dans la suite, nous supposerons que ωT est un vecteur constant dans le temps. Présenter quelques sources de variation du vecteur rotation ωT . Donner l’échelle de variation de l’évolution de ωT associée à chacune de ces causes. 11. De l’étude précédente, déduire que l’expression du principe fondamental de la dynamique dans le référentiel terrestre s’écrit m a(M)Rt = f + m(G 0 (M) − ae ) − 2m ωT ∧ v(M)Rt + m(G(M) − G(T)) , (1.2) où ae est l’accélération d’entraînement du référentiel terrestre par rapport au référentiel géocentrique. II. O RDRES DE GRANDEUR 1. Commenter physiquement chaque terme du membre de droite de l’équation (1.2) (à l’exception de f , dont la signification est précisée dans l’énoncé). 2. Force centrifuge f ent = −mae . (a) Préciser l’évolution de cette force avec la latitude λ. (b) Donner l’ordre de grandeur de la correction apportée par l’accélération d’entraîdef nement. Évaluer le rapport f ent /f 0 , où f 0 = mG 0 . 3. Force de Coriolis À partir de quelle vitesse typique la correction de Coriolis devient-elle du même ordre que la correction précédente, due à l’accélération d’entraînement ? M RT A T Astre Terre d Thème n◦ 1 Caractère non galiléen du référentiel terrestre 19 4. Force de marée (a) Estimer simplement l’ordre de grandeur de def δmarée = |G(M) − G(T)| en fonction de la constante de gravitation G, de la masse de l’astre M a situé à la distance dTA du centre de la Terre, et du rayon de la Terre RT . (b) Déterminer l’ordre de grandeur de δmarée dans le cas de la Lune, du Soleil et de Jupiter. On rappelle ci-dessous les données d’astronomie nécessaires à l’estimation des ordres de grandeur. On rappelle que RT ' 6400 km et MT ' 6.1024 kg. (c) Justifier que les planètes du système solaire ont une influence négligeable sur la force de marée. dTA (en unité de rayon RT ) Ma (en unité de masse de la Terre) Soleil ∼ 23400 3, 3.105 Lune ∼ 60.1 1, 23.10−2 Jupiter ∼ 93750 318 Tab. 1.1 – Données d’astronomie nécessaires à l’estimation des ordres de grandeur. Corrigé Pour une approche plus généraliste, nous recommandons la lecture des ouvrages de H. Gié et al. [GS95b] d’une part et de P. Brasselet [Bra00] d’autre part pour ce qui concerne la mécanique du point. Les ouvrages de H. Gié et al. [GS96] et de J.-P. Pérez [Pér97] pourront s’avérer précieux lorsqu’il s’agira d’approfondir la mécanique du solide. I. Dynamique dans le référentiel terrestre 1. Définition du référentiel de Copernic Rc et du référentiel géocentrique Rg L’origine du référentiel de Copernic coïncide avec le centre du système solaire (approximativement, le centre du soleil, noté S), et ses axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines et fixes au sein de la galaxie. Le référentiel géocentrique Rg a pour origine le centre de la Terre, noté T, et ses axes sont constamment parallèles à ceux du référentiel de Copernic Rc . 2. Caractère galiléen du référentiel de Copernic et du référentiel géocentrique On rappelle que le principe d’inertie de Galilée (première loi de Newton) postule l’existence de référentiels privilégiés en mécanique vis-à-vis desquels un point matériel isolé effectue un mouvement de translation rectiligne uniforme. De tels référentiels sont dits galiléens. 20 Mécanique du point et des solides Partie I Le référentiel Rc peut être supposé galiléen tant qu’on néglige la dynamique du soleil au sein de sa galaxie, la Voie Lactée, analysée dans le référentiel galactocentrique RVL , ayant pour origine le centre de la galaxie. L’ordre de grandeur de la période de révolution du Soleil au sein de la Voie Lactée est de T ∼ 200 millions d’années. Ainsi, dans une très bonne approximation, on peut supposer que Rc est un référentiel galiléen tant que l’échelle de temps τ des phénomènes étudiés est très inférieure à T. La dynamique de Rg par rapport à Rc s’effectue sur la période de révolution Trev d’une année. En première approximation, Rg peut être supposé galiléen si τ Trev . On verra néanmoins que ce critère s’avère insuffisant dans l’interprétation du phénomène de marées. 3. Mouvement de Rg par rapport à Rc Le référentiel géocentrique Rg exécute un mouvement de translation elliptique par rapport à Rc , ses axes étant constamment parallèles à ceux de Rc . Compte tenu de la faible excentricité de l’orbite elliptique, e = 0, 017, le mouvement de révolution de Rg par rapport à Rc est, dans une première approximation, bien décrit par une translation circulaire. zg = zc Étoile 3 zc (Rg ) (Rc ) yc xc Étoile 1 xg c =x Soleil yg = yc Terre Étoile 2 Orbite de révolution (elliptique, quasi-circulaire) de (Rg ) par rapport à (Rc) 4. Dynamique de Rg dans Rc On établit l’équation du mouvement de la Terre dans Rc en appliquant le théorème de la résultante dynamique dans Rc supposé galiléen. Celui-ci stipule que dpRc (t) = Rext , dt (1.3) où • Rext constitue la résultante des forces extérieures s’exerçant sur le solide Terre ; • pRc (t) la quantité de mouvement de l’ensemble de la Terre. Explicitons le membre de gauche de (1.3) en exploitant la définition du centre de masse et la loi de composition des vitesses, Z dpRc (t) d = v(M, t)Rc dm dt dt Terre Z Z d d = v(T, t)Rc dm + v(T, t)Rg dm. dt Terre dt Terre Thème n◦ 1 21 Caractère non galiléen du référentiel terrestre Compte tenu que Rg est le référentiel barycentrique de la Terre, Z d v(T, t)Rg dm = 0 , dt Terre dpRc (t) = mT a(T)Rc . dt À présent, étudions le membre de droite de l’équation (1.3). Notons Ga (M) le champ gravitationnel exercé par l’astre Aa en un point M de la Terre. Notons G(M) la résultante du champ gravitationnel exercé par tous les astres au point M. Ce champ G(M) est simplement défini par de sorte que G(M) = P (a) Ga (M). La résultante des forces gravitationnelles exercées sur la Terre se calcule comme Z Z Rext = dm G(M) = d3 r ρ(r) G(r) Terre Terre où ρ(r) est la densité volumique de masse. À ce stade, on effectue un développement limité de G(M) au voisinage du centre de la Terre T. En ne conservant que le terme du premier ordre, ce développement prend la forme simplifiée suivante : Rext ' Z Terre dm G(T) + Z Terre dm (MT · ∇)G(M)T + termes d’ordre supérieur . On peut montrer rigoureusement (nous ne le ferons pas ici) que dans le cadre de l’hypothèse d’une Terre parfaitement sphérique, tous les termes du développement limité sont nuls à l’exception du premier. Nous renvoyons pour cela à la correction de A. Boussié de l’épreuve A de l’Agrégation de physique de 1999 [Bou00]. Des éléments concernant le développement multipolaire du champ gravitationnel figurent dans l’ouvrage de mécanique de J.P. Pérez [Pér97], chapitre 6, p. 74–76. Ainsi, dans le cas où la Terre est supposée sphérique, Z Rext ' dm G(T) ' mT G(T) , Terre de sorte que le théorème de la résultante dynamique conduit à a(T)Rc ' G(T) (1.4) Remarque Il nous semble important d’insister sur ce qui, dans l’équation (1.4), relève • de l’application d’un théorème ; le théorème de la résultante cinétique impose que Z P(t) = v(M, t) dm = Mv(G, t) en notant G le centre de gravité d’un solide ; 22 Mécanique du point et des solides Partie I • d’une approximation : c’est parce qu’on suppose que la Terre est à répartition sphérique de masse qu’on peut réduire la résultante des forces gravitationnelles à celle s’exerçant seulement au centre de gravité du solide. 5. Accélération d’entraînement de Rg par rapport à Rc Le référentiel géocentrique Rg étant en translation par rapport à Rc , l’accélération d’entraînement ae est l’accélération du centre de masse de la Terre dans Rc 1 . En effet, ae = a(T)Rc + = a(T)Rc dω Rg /Rc ∧ TM + ωRg /Rc ∧ ω Rg /Rc ∧ TM dt car ω Rg /Rc = 0, les référentiels Rg et Rc étant en translation l’un par rapport à l’autre. (1.5) ae = G(T) 6. Expression du principe fondamental dans Rg Le référentiel géocentrique Rg , effectuant un mouvement de translation quasi-circulaire par rapport à Rc , n’est donc pas galiléen. La loi de composition des accélérations permet d’écrire la dynamique, dans Rg , d’un point M de masse m : ma(M)Rg = ma(M)Rc − mae − ma(M)cor , où a(M)cor est l’accélération de Coriolis de Rg par rapport à Rc . Notons que a(M)cor = 0 compte tenu du fait que Rg n’a aucun mouvement de rotation par rapport à Rc . En reprenant les notations de l’énoncé, le théorème de la résultante dynamique appliqué dans Rc s’écrit : ma(M)Rc = m G 0 (M) + G(M) + f . Compte tenu de l’expression de ae établie en (1.5), le principe fondamental de la dynamique dans Rg conduit à ma(M)Rg = mG 0 (M) + f + m G(M) − G(T) Remarque En toute rigueur, l’équation (1.6) doit s’écrire 1 La ma(M)Rg = m(G 0 (M) − G 0 (T)) + f + m G(M) − G(T) . Terre étant supposée sphérique, l’approximation devient exacte (1.6) Thème n◦ 1 Caractère non galiléen du référentiel terrestre 23 On montre facilement, en appliquant le théorème de Gauss, que le champ gravitationnel G 0 (M) créé par la Terre identifiée à une distribution sphérique homogène de masse vaut G 0 (M) = − GmT r RT 3 à l’intérieur de la Terre (pour r 6 R), où RT est le rayon terrestre et G la constante de gravitation universelle. Par suite, G 0 (T) = 0, ce qui justifie l’expression (1.6). 7. Définition du référentiel terrestre L’origine de Rt est confondue avec le centre de la Terre T. Le référentiel Rt est en rotation par rapport au référentiel de Copernic Rc à la pulsation ωT . La loi de composition du vecteur rotation impose que ω Rt /Rg = ω Rt /Rc + ω Rc /Rg . De plus, ω Rc /Rg = 0 et donc ωT = ω Rt /Rg . 8. Définition du jour solaire moyen et du jour sidéral (a) Jour sidéral : on le définit comme la période de rotation, notée Tsid , du référentiel terrestre Rt par rapport au référentiel géocentrique Rg . Tsid = 23 h 56 min = 86 164 s (b) Jour solaire moyen : on définit, en revanche, le jour solaire moyen comme la période moyenne, notée Tjsm entre deux pasages du soleil au zénith (point le plus haut dans le ciel). C’est elle qui fixe la durée temporelle d’une journée : Tjsm = 24 h = 86400 s. Cette période est légèrement supérieure à celle du jour sidéral car il faut tenir compte du mouvement de révolution de la Terre autour du soleil, en plus du seul mouvement de rotation propre (fixant, quant à elle, la période sidérale). On pourra se reporter ici à l’ouvrage de P. Brasselet [Bra00], chapitre 6, p. 176. L’adjectif moyen de l’expression jour solaire moyen implique que l’on moyenne l’expression du jour solaire (le surplus de temps par rapport au jour sidéral dû au mouvement de révolution) sur l’orbite légèrement elliptique de la Terre autour du Soleil. Si la trajectoire avait été rigoureusement circulaire, l’opération de moyenne eût été inutile. 9. Définition de |ωT | On définit ω T à partir du jour sidéral ωT = 2π = 7, 29.10−5 rad.s−1 Tsid 10. Causes de variation de ω T Si dans la suite du problème nous supposerons que le vecteur rotation ω T est constant, il est néanmoins important de garder à l’esprit qu’il s’agit là d’une approximation. Cette approximation est, nous allons le montrer, tout à fait légitime. Citons quelques sources de variation de ω T . 24 Mécanique du point et des solides Partie I (a) Variation de la direction de ω T – Effet gyroscopique et précession des équinoxes La Terre est un solide en rotation dont l’hypothèse d’une répartition sphérique de masse est généralement suffisante pour décrire le mouvement d’ensemble. Rigoureusement, la Terre n’est pas sphérique et possède un degré d’aplatissement def η = (re − rp )/re ' 1/300, où re et rp sont respectivement les rayons terrestres à l’équateur et aux pôles. Une conséquence directe de l’asphéricité du globe terrestre est l’existence d’un moment résultant non nul des forces gravitationnelles de marée2 exercées, essentiellement par le Soleil et la Lune, sur la Terre. La Terre se comporte ainsi comme un gyroscope déséquilibré. La théorie des solides en rotation nous permet d’affiner la description du mouvement de la Terre dans le système solaire, et de comprendre l’existence d’un troisième mouvement de la Terre, en plus de ceux de révolution et de rotation propre : le mouvement de précession de l’axe de rotation ω T autour de la normale au plan de l’écliptique3 comme réponse à l’existence du moment non nul des forces gravitationnelles. Cet effet gyroscopique modifie la direction du vecteur rotation ω T , sans toucher toutefois à son module, sur une échelle de temps de l’ordre de 256 siècles. Cette échelle de temps montre, en particulier, qu’il est tout à fait légitime de se placer dans l’approximation gyroscopique : en effet Trotation /Tprecession ∼ 10−7 1. Pour une étude à la fois simple et profonde des effets gyroscopiques dans le domaine macroscopique, nous renvoyons le lecteur au chaptitre VII de l’ouvrage de mécanique de D. Sivoukhine [Siv82a], chapitre 7, p. 246–266 ainsi qu’à l’ouvrage de H. Gié et al. [GS96], chapitre 9, p. 16–172 pour une présentation introductive. Dans un souci d’approfondir la compréhension du phénomène de précession des équinoxes, entrevu dans cette question, nous conseillons la lecture de l’ouvrage de J.P. Pérez [Pér97], chapitre 26, p. 388-389 ainsi que celle de l’ouvrage de référence de H. Goldstein [Gol80], chapitre 5, p. 225-232. (b) Variation du module de ω T – Effets dissipatifs associés au phénomène de marée Des processus de frottement visqueux sont mis en jeu lors du mouvement de marée des océans. On peut montrer que l’existence de ces effets dissipatifs a pour conséquence l’augmentation de la valeur du jour sidéral au cours du temps. Nous n’entrerons pas dans les détails de ce processus qui mériterait une étude analytique à part entière et préférons renvoyer le lecteur à l’épreuve A de l’Agrégation de Physique 1999 [Bou00] qui aborde ce problème de façon très pertinente et qui montre comment cet effet conduit au fil des siècles à la synchronisation de la période de rotation propre de la Terre sur celle de révolution de la Lune autour de la Terre4 . On pourra également consulter l’exercice Évolution à long terme du système TerreLune proposé par P. Brasselet [Bra00], p. 219–220 dans son ouvrage de mécanique. (c) Mouvements d’« avalanches de manteau » La durée du jour terrestre peut également être modifiée par des mouvements du manteau terrestre appelés « avalanches de manteau » . Lorsque des roches denses plongent vers le centre de la Terre, son moment d’inertie diminue et la durée du 2 Nous renvoyons le lecteur au problème 1.8 consacré à l’étude des marées, proposé dans cet ouvrage. 3 On rappelle que le plan de l’écliptique est le plan dans lequel s’effectue le mouvement de révolution de la Terre autour du Soleil. 4 Ceci explique aussi la synchronisation des satellites de Jupiter, dont la période de rotation propre est calée non seulement sur celle du mouvement de révolution autour de Jupiter, mais encore sur celle du mouvement de rotation propre de Jupiter dans le référentiel jupiterocentrique. Thème n◦ 1 25 Caractère non galiléen du référentiel terrestre jour rapetisse. Ces événements se sont produits au cours du Cénozoïque il y a 65 millions d’années. Pour approfondir le phénomène d’avalanche, nous renvoyons à l’article [MT02] ou le site de P. Machetel : http://www.dstu.univ-montp2.fr/PERSO/machetel/avalanches-dynamique.html 11. Principe fondamental de la dynamique dans le référentiel terrestre R t Le référentiel terrestre n’étant pas en translation rectiligne uniforme par rapport à Rc , il n’est pas galiléen. Aussi, dans le référentiel terrestre Rt , la dynamique d’un point matériel M, de masse m, animé d’une vitesse v(M, t)Rt et d’une accélération a(M, t)Rt s’écrit-elle ma(M, t)Rt = ma(M)Rg − ma(M, t)e − ma(M, t)cor , où a(M, t)e et a(M, t)cor sont respectivement les accélérations d’entraînement et de Coriolis de Rt par rapport à Rg , exprimées localement au point M, à l’instant t. Explicitons chacune des forces d’inertie : • Force d’inertie d’entraînement : fent dωT = −ma(M, t)e = − mωT ∧ (ωT ∧ TM) + m ∧ TM . dt Rg En négligeant les variations séculaires de ωT , la force d’inertie d’entraînement se réduit à la simple force centrifuge fent = −m ωT ∧ (ωT ∧ TM). • Force d’inertie de Coriolis : fcor = −2m ωT ∧ v(M, t)Rt . Compte tenu de l’expression (1.6) du principe fondamental de la dynamique dans le référentiel géocentrique, on en déduit que ` ´ ` ´ ma(M, t)Rt = f + m G 0 (M) − ae (M, t) − 2m ωT ∧ v(M, t)Rt + m G(M) − G(T) (1.7) On insistera sur le fait que • le terme m (G(M) − G(T)) trouve son origine dans le passage de Rc à Rg ; • les termes mae (M, t) et 2m ωT ∧ v(M, t)Rt sont issus du passage de Rg à Rc . 26 Mécanique du point et des solides II. Partie I Ordres de grandeur 1. Différents termes de l’équation (1.7) • Le terme ae (M, t) traduit l’effet d’entraînement de rotation de Rt par rapport à Rg (ou par rapport à Rc ). Notons dès à présent que l’effet de ce terme est de corriger la valeur du champ gravitationnel G 0 (M) créé par la Terre en M. Indépendant de la vitesse v(M, t)Rt du point matériel M dans Rt , le terme ae (M, t) contribue à corriger l’étude statique de M dans Rt et entre dans la construction du poids P du point matériel dans Rt . • Le terme −2m ωT ∧ v(M, t)Rt , exprimant la force de Coriolis s’exerçant sur M dans Rt , ne modifie, quant à lui, que la dynamique de M. • Le terme m G(M) − G(T) est une force effective qui constitue la signature du caractère non galiléen du référentiel géocentrique à travers l’accélération d’entraînement G(T) de Rg dans Rc . On retrouve a fortiori cette composante dans le principe fondamental exprimé dans Rt . Cette force différentielle définit la force de marée. Elle est la conséquence du caractère non homogène du champ gravitationnel exercé dans le voisinage de la Terre. En effet, si G(M) était parfaitement homogène à l’échelle de la Terre, alors G(M) serait égal à G(T), ce qui annulerait la force de marée. On notera également que ce terme de marée entre aussi dans la construction du poids P. À présent, nous nous proposons de classer ces différents termes correctifs par ordre d’importance en les comparant au terme prépondérant |G 0 (M)| ∼ 10 m.s−2 . Pour simplifier, nous nous placerons dans le cas d’une chute libre, de sorte que f = 0. 2. Force d’inertie d’entraînement : f ent = −mae (a) Évaluation de ae en fonction de la latitude λ |ae (M, t)| = |ωT ∧ (ωT ∧ TM)| = RT |ωT |2 cos λ où λ est la latitude du point M. On vérifie que ae est d’autant plus forte qu’on se rapproche de l’équateur (λ → 0), ce qui explique que les fusées soient lancées à partir de centres situés dans des régions équatoriales (Kourou en Guyane par exemple). ez ωT e2 e3 e1 λ ex ey Thème n◦ 1 Caractère non galiléen du référentiel terrestre 27 (b) Ordre de grandeur de |ae (M, t)| Compte tenu que RT ∼ 6400 km et que |ωT | ∼ 7.10−5 rad.s−1 , on déduit que |ae (M, t)| ∼ 10−2 m.s−2 |G 0 | ∼ 103 . |ae (M, t)| de sorte que 3. Force de Coriolis |ωT ∧ v(M, t)Rt | ∼ 7.10−5 |v(M, t)Rt | m.s−2 . Ceci montre que les corrections de Coriolis et d’entraînement sont du même ordre de grandeur pour |v(M, t)Rt | ∼ 100 m.s−1 . Dans le cas où |v(M, t)Rt | ∼ 10 m.s−1 , il apparaît que |acor (M, t)| ∼ 10−4 . |G 0 | 4. Force de marée (a) Estimation de δmarée Pour estimer simplement l’ordre de grandeur de l’amplitude du champ différentiel de marée |G(M) − G(T)|, on considère un point M aligné avec T et A, centre de l’astre générateur du champ de marée (typiquement la Lune ou le Soleil). On note def dTA = TA. Dans ce cas, |G(M) − G(T)| = GMa 1 1 − MA2 TA2 = GMa GMa |G(M) − G(T)| ∼ dTA 2 1 1 − (dTA − RT )2 dTA 2 ! ! 1 −1 . (1 − RT /dTA )2 Comme RT dTA , il est légitime de faire un développement limité au premier ordre de l’expression précédente. Celui-ci conduit à def δmarée = |G(M) − G(T)| ∼ 2 GMa RT dTA 3 (1.8) (b) Ordre de grandeur de δmarée Le tableau 1.2 estime l’ordre de grandeur du champ de marée créé par la Lune, le Soleil, et Jupiter (planète la plus massive du système solaire), ainsi que la comparaison par rapport au champ de marée créé par la Lune. Astre δmarée (en 10−6 m.s−2 ) Lune δmarée/δmarée Lune 1, 1 1, 0 Soleil 0, 50 0, 45 Jupiter 7, 5.10−6 6, 86.10−6 Tab. 1.2 – Ordre de grandeur de l’amplitude du champ de marée pour différents astres. 28 Mécanique du point et des solides Partie I On retiendra que le champ de marée s’exerçant au voisinage de la Terre est principalement dû à la contribution de la Lune et du Soleil. Le tableau 1.2 permet d’entrevoir que les autres planètes du système solaire n’ont qu’une contribution mineure qu’il est légitime de négliger. On retiendra également que la contribution de la Lune est environ deux fois plus importante que celle du Soleil, bien que MLune MSoleil . Dans la formule (1.8), la masse intervient au numérateur à la puissance 1 tandis que la distance intervient au dénominateur à la puissance 3. La proximité de l’astre est donc cruciale dans l’estimation de l’amplitude du champ de marée. Notons que Vénus, planète la plus proche de la Terre située à une distance d’environ 6500 RT, de masse MVénus = 0, 82 MT , exerce un champ de marée d’amplitude 9.10−11 m.s−2 , donc non pertinent. Thème d’étude n◦ 2 Déviation vers l’est vue dans le référentiel géocentrique L’analyse de la déviation vers l’est habituellement abordée en premier cycle universitaire consiste à étudier la dynamique dans le référentiel terrestre non galiléen et de montrer comment la force de Coriolis est responsable de la déviation vers l’est. À ce stade, deux techniques existent. • La première, la moins intéressante de notre point de vue, consiste à dérouler pas à pas le calcul à partir du principe fondamental exprimé dans Rt . • La seconde méthode, plus fine, consiste à aborder ce problème sous l’angle d’une technique perturbative, méthode la plus adaptée compte tenu du rôle correctif joué par le force de Coriolis. Ici, nous renvoyons le lecteur au premier tome de mécanique de l’ouvrage de H. Gié et al. [GS95b], chapitre 9, p. 103–104 ou encore au tome de mécanique de D. Sivoukhine [Siv82a]1 . Ici, nous étudierons le problème de la déviation vers l’est du point de vue du référentiel géocentrique supposé galiléen sur l’échelle de temps de l’expérience. Nous montrerons ainsi qu’il est possible d’interpréter la déviation vers l’est sans invoquer la force de Coriolis, mais simplement en exploitant les propriétés du mouvement à force centrale de la chute libre dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Les leçons concernées par ce problème sont LP01 et LP03. É NONCÉ Dès 1791, les expériences de chute libre que Guglielmini réalisa du sommet des tours de Bologne ont été mises à profit pour tester le caractère non galiléen du référentiel terrestre. À cette date, la notion de force de Coriolis n’existait pas2 . Ces expériences, reprises ultérieurement par Reich dès 1831 à Freiberg en Allemagne consistaient à lâcher une balle au dessus d’une mine de profondeur h0 = 158, 5 m et de relever le point d’impact au sol. Suivant l’hypothèse du caractère galiléen du référentiel terrestre Rt , la direction de la trajectoire de la balle aurait dû être confondue avec la verticale au sol passant par le point de lâcher. Au contraire, Reich observa une déviation vers l’est de 2.8 cm. Des expériences similaires ont été reproduites par Hall, à Harvard, en 1902 et par Flammarion en 1903, à Paris sous la coupole du Panthéon. Sur le tableau 2.1, nous avons reproduit les données relatives aux différentes campagnes d’expériences. 1 On pourra lire l’étude remarquable du pendule de Foucault. Gustave Coriolis (1792 – 1843). 2 Gaspard Thème d’étude n◦ 3 Les marées océaniques Dans ce problème, nous étudierons, dans un premier temps, le modèle statique que Newton proposa pour interpréter le phénomène de marée. Nous montrerons comment un tel modèle se trouve dans l’incapacité d’expliquer l’existence de marées de forte amplitude, telles que celles existant dans la baie de Fundy au Canada, ou au Mont Saint-Michel, en France. Une interprétation plus satisfaisante est à rechercher dans une théorie dynamique, ce que nous aborderons dans une deuxième partie. Les leçons concernées par ce problème sont LP03, LP30 et LP55. É NONCÉ Avertissement : Cette étude constitue un prolongement naturel du problème 1 (page 17) présenté au début de cette partie de l’ouvrage. I. T HÉORIE STATIQUE DE N EWTON – D ESCRIPTION ET LIMITES On note ϕA (M) le champ gravitationnel exercé par l’astre A, de centre A et de masse m A , au voisinage d’un point M situé à la surface de la Terre. On repère ce point M à l’aide du jeu def de coordonnées polaires (r = TM, θ). On suppose que la Terre est une sphère de centre T, de masse mT et de rayon RT . On supposera que la répartition de masse est homogène. On se reportera à la figure 3.1 pour les notations. er eθ M θ T A astre d Fig. 3.1 – Repérage du point M par rapport à T et A. 1. Définir le champ de marée C A (M) exercé par l’astre A au voisinage du point M. 2. Sur la base d’approximations à proposer et à justifier, montrer que le champ de marée C A (M) exercé par l’astre A s’écrit : C A (M) ' G mA TA def 3 2 (TA · TM) − TM où d = TA . 3 d d Thème d’étude n◦ 4 Le frottement et les 4×4 La leçon la plus directement concernée par ce problème est LP02. É NONCÉ Le but de cet exercice est de comprendre l’influence du frottement sur la pente maximale que peut gravir un véhicule. Nous allons ici commencer par modéliser une voiture possédant deux roues motrices en la découpant en deux. D’une part, l’essieu avant supporte le poids du moteur et d’autre part, l’essieu arrière supporte le reste du poids du véhicule. Afin de faciliter la visualisation du lieu d’action des forces, ces deux parties sont reliées entre elles par une barre. Nous assimilerons les coefficients de frottement statique et solide1 . La répartition des masses sur une voiture de masse m est la suivante : m1 = 2/3 m à l’avant et m2 = 1/3 m à l’arrière. Dans la suite, nous considérerons que la route fait un angle α avec l’horizontale. PSfrag replacements α Fig. 4.1 – Modélisation du véhicule. 1. Équation du mouvement (a) Faire un bilan des forces s’exerçant sur la voiture au moment du démarrage. (b) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à chaque partie du véhicule. On obtiendra alors un système de quatre équations. 2. Simplification du système (a) Rappeler les lois d’Amontons sur le frottement ainsi que la loi de Coulomb dans le cas d’un frottement statique. Quelle est la condition donnée par la loi de Coulomb entre les différentes composantes de la réaction de la route ? (b) Rappeler la notion de liaison parfaite en mécanique du solide. Déterminer la condition sur l’angle de la route pour que la voiture puisse démarrer en supposant que la liaison roue arrière–bitume est parfaite. 1 La différence entre ces deux coefficients est souvent faible. Thème d’étude n◦ 5 Vélo et effets gyroscopiques La leçon la plus directement concernée par ce problème est LP05. É NONCÉ I. A SPECT INTUITIF Modélisons une roue de vélo par un cercle sur lequel toute la masse est concentrée. Nous allons tout d’abord, par un raisonnement simple, essayer de comprendre les mouvements quelque peu déroutants d’un gyroscope. Dans cet exercice, nous nous placerons dans le cadre de l’approximation gyroscopique : toutes les vitesses considérées seront faibles par rapport à la vitesse de rotation de la roue suivant son axe principal d’inertie (Ox). z y PSfrag replacements ω x Fig. 5.1 – Notations. 1. On se place dans le référentiel R du laboratoire, supposé galiléen et muni du repère (Oxyz). La roue de centre O tourne à la vitesse angulaire ω = ωex . Considérer à l’instant t un petit élément de la roue dans le plan (Oxy). Dessiner alors son vecteur vitesse. On décide de faire tourner la roue suivant l’axe (Oz) à la vitesse angulaire θ̇ez . Déterminer alors le nouveau vecteur vitesse de l’élément considéré à t + dt. En supposant que le cercle suive cette nouvelle direction, déterminer autour de quel axe a réellement tourné la roue. 2. Notons I = mR2 le moment d’inertie de la roue suivant son axe de rotation (confondu à t = 0 avec (Ox)). On impose un couple Γ suivant (Oz) : Γ = Γez . Appliquer le théorème du moment cinétique dans le référentiel R du laboratoire. 3. Décomposer l’équation précédente dans le référentiel ∆ associé à la roue. En déduire l’orientation du vecteur de rotation de l’axe de la roue : ω ∆/R et comparer le résultat à celui de la question 1. Thème d’étude n◦ 6 Écoulement de Poiseuille et eau minérale La leçon la plus directement concernée par ce problème est LP11. É NONCÉ Le but ici est de comprendre pourquoi certains producteurs d’eaux minérales des Alpes aimeraient changer la législation au sujet de la salinité de l’eau. En effet, le distributeur se doit de garantir au consommateur la vente d’une eau n’ayant subi aucun traitement. Or, depuis l’explosion du tourisme des sports d’hiver, les routes ont été déneigées en utilisant du sel, qui passe progressivement dans la nappe phréatique. Cette eau peut alors devenir impropre à la consommation et nécessiter un traitement avant sa commercialisation. Éliminer le sel de la nappe phréatique contraindrait alors les fabricants à retirer l’appellation « eau minérale ». À l’aide d’un modèle simple d’écoulement, nous allons déterminer le temps que met ce sel pour passer dans la nappe phréatique située 1000 m sous la route. On supposera qu’il existe une communication entre la nappe phréatique et l’extérieur, de sorte que les pressions à l’intérieur et à l’extérieur sont identiques. Ruissellement h = 1000 m PSfrag replacements Ruissellement Eau minérale Nappe phréatique Fig. 6.1 – De la route à la nappe phréatique. Dans un premier temps, commençons par modéliser le milieu granulaire, composé de roches calcaires, par des capillaires de longueur h = 1000 m et d’un diamètre de 1 µm. L’eau sera ici considérée comme un fluide newtonien incompressible, de viscosité dynamique η. 1. Rappeler en quoi consiste les hypothèses de fluide newtonien et d’écoulement incompressible. 2. Ecrire l’équation de Navier-Stokes et l’équation de conservation de la masse pour l’eau située dans le capillaire. Thème d’étude n◦ 7 Effet de sol Les leçons concernées par ce problème sont LP10 et LP12. É NONCÉ L’effet de sol se présente lorsqu’un aéroplane se rapproche du sol. S’il est suffisamment proche, sa portance augmente et l’empêche d’atterrir. Sur des modèles réduits, on assiste même fréquemment à des rebonds de l’appareil lors de l’atterrissage. Pour comprendre ce phénomène, dans un premier temps, nous allons étudier le deltaplane, un exemple particulièrement simple d’aéroplane. Il s’agit d’une toile triangulaire tendue sur une armature métallique qui a pour but de dévier l’air vers le bas et ainsi de pouvoir faire voler un homme. Fig. 7.1 – Principe d’une aile delta. Pour comprendre le phénomène d’effet de sol, nous allons faire un bilan de quantité de mouvement sur la surface de contrôle délimitée en pointillés dessine sur la figure 7.2. La hauteur h de fluide sera un paramètre à déterminer. L’air sera considéré comme un fluide parfait en écoulement incompressible. 1. Quelles sont les hypothèses du fluide parfait ? Dans quelle mesure ces hypothèses vous semblent justifiées ? 2. Rappeler la loi de la résultante cinétique dans le cadre des systèmes ouverts. 3. On supposera que l’aile est rectangulaire de longueur L = 15 m. Faire un bilan de quantité de mouvement et trouver l’expression de la force exercée par le deltaplane sur l’air. 4. Décomposer la force exercée par l’air sur le deltaplane en deux parties, l’une appelée traînée qui freine l’aile et l’autre appelée portance qui permet la sustentation. Exprimer ces deux composantes en fonction des données du problème. Thème d’étude n◦ 8 Expérience de Stokes Les leçons et montages concernés par ce problème sont LP11, LP22 et MP03 (hydrodynamique). É NONCÉ I. D IFFUSION DE PARTICULES On place dans du glycérol quelques gouttes d’encre faites de glycérol coloré, de même densité. Afin de trouver l’ordre de grandeur du temps de diffusion de l’encre, nous réduirons le problème à une seule dimension (Ox). En injectant à t = 0 du glycérol coloré en x = 0, nous étudierons l’évolution de la concentration locale c(x, t) en glycérol coloré. O x PSfrag replacements Fig. 8.1 – Diffusion à une dimension. 1. Rappeler la loi de Fick et le cadre d’application de cette loi. On se limitera à une géométrie unidimensionnelle. 2. Faire un bilan de matière en notant j(x, t) le courant de glycérol coloré. Montrer alors que la concentration satisfait à l’équation de diffusion : D ∂c(x, t) ∂ 2 c(x, t) = . 2 ∂x ∂t 3. Résoudre cette équation différentielle et montrer que la concentration suit la loi d’évolution : 2 C c(x, t) = √ e−x /4Dt . 4πDt où C est une constante déterminée par la condition initiale : c(x, 0) = δ(x). Indication : On pourra tout d’abord résoudre cette équation dans l’espace de Fourier. Thème d’étude n◦ 9 Les vents géostrophiques Avertissement : Pour traiter cet exercice dans les meilleurs conditions, il est préférable d’avoir abordé le problème 1 étudiant le caractère non galiléen du référentiel terrestre. Les leçons concernées par ce problème sont LP03 et LP12. É NONCÉ Le but de ce problème est de montrer comment la force de Coriolis est au cœur même de l’étude du comportement de la dynamique des vents. Dans un premier temps, une analyse d’ordre de grandeur permettra de justifier l’approximation géostrophique qui constitue l’approximation linéaire de la dynamique des vents. Dans un second temps, nous montrerons comment le cadre simpliste de l’approximation géostrophique permet d’interpréter les situations cycloniques et anticycloniques. On étudie une masse d’air dans le référentiel terrestre Rt . On note • v(r, t) la vitesse d’une particule fluide dans Rt localisée en r à l’instant t ; • ρ(r, t) la densité ; • p(r, t) la pression ; • η la viscosité dynamique et ν la viscosité cinématique ; • ωT le vecteur rotation du référentiel terrestre par rapport au référentiel de Copernic. On supposera que la masse d’air considérée possède les caractéristiques typiques suivantes : • une longueur L ∼ 1000 km et une vitesse v// ∼ 10 m.s−1 dans le plan parallèle au sol ; • une hauteur h ∼ 10 km et une vitesse v// ∼ 0.01 m.s−1 dans le plan orthogonal au sol. I. É QUATION DE NAVIER -S TOKES 1. Soit D(t) le volume d’une particule fluide à l’instant t que l’on suit dans son mouvement. Soit P(t) l’impulsion du centre de masse de la particule fluide. Montrer que dP(t) = dt Z ρ D(t) dv dτ . dt 2. Généraliser ce résultat au calcul de la dérivée temporelle de n’importe quelle grandeur extensive G(t), scalaire ou vectorielle, caractérisée par une densité massique notée g(r, t). La généralisation obtenue constitue une des formes possibles donnée au théorème de Reynolds en mécanique des milieux continus. Thème d’étude n◦ 10 Diffusion thermique chez les gros dinosaures Les leçons concernées par ce problème sont LP21 et LP22. É NONCÉ On pense que les dinosaures devaient garder une température corporelle à peu près constante comme les mammifères mais n’avaient pas la possibilité d’augmenter leur énergie interne comme nous le faisons grâce à l’ATP. Par ailleurs, on suppose que les dinosaures avaient un métabolisme proche de celui des reptiles. Ils devaient alors, comme les reptiles, se contenter de l’unique source de chaleur qu’est le soleil. On pense ainsi que l’inertie thermique leur permettait de maintenir leur température corporelle. Il s’agit d’un des facteurs pouvant expliquer la taille exceptionnelle des dinosaures1. Fig. 10.1 – Modélisation du dinosaure. Le but n’étant que d’estimer des ordres de grandeurs, nous opterons pour une modélisation particulièrement grossière du dinosaure : « l’approximation du dinosaure sphérique ». Le dinosaure sera donc représenté par une sphère de rayon R. Dans la suite, on note T(r, t) la température locale et u(r, t) la densité volumique d’énergie interne. Nous supposons pour cela qu’un équilibre thermodynamique local est réalisé. 1. Caractériser l’équilibre thermodynamique local. 2. Après avoir rappelé l’expression de la loi de Fourier, faire un bilan local d’énergie interne. On négligera tout d’abord le transport d’énergie par rayonnement et on notera j(r, t) la densité de flux d’énergie sous forme thermique passant de la coquille de rayon r à la coquille de rayon r + dr par unité de temps. 3. Déterminer l’équation de diffusion de la température en supposant que l’énergie interne ne dépend que de la température. Les êtres vivants étant essentiellement composés de 80% d’eau, on prendra pour capacité thermique celle de l’eau. 1 Le sujet du concours Mines-Ponts 2000 propose d’étudier l’extinction des dinosaures due à un astéroïde. Thème d’étude n◦ 11 Le vase Dewar Un vase Dewar est en général constitué d’une double paroi entre lesquelles le vide a été fait (cf. figure 11.1). De plus, les parois du vase ont été à été argentées afin de minimiser les pertes par rayonnement. Dans ce problème, nous proposons d’étudier le fonctionnement d’un vase Dewar en utilisant tout d’abord l’aspect microscopique de la diffusion thermique afin de déterminer la qualité du vide à obtenir pour que l’écran thermique soit efficace. Dans une deuxième partie, nous aborderons l’ordre de grandeur des pertes par rayonnement en utilisant la théorie du rayonnement du corps noir. Vide entre les parois Parois argentées Fig. 11.1 – Modèle d’un vase Dewar. Les leçons concernés par ce problème sont LP13, LP21 et LP22. É NONCÉ I. D IFFUSION THERMIQUE DANS LES GAZ 1. Soit n le nombre de molécules par unité de volume et σ la section efficace de choc. Définir et déterminer le libre parcours moyen `∗ en fonction de ces deux paramètres. Calculer `∗ pour l’air ambiant. On considérera qu’une molécule de dioxygène ou de diazote a un rayon de r = 0, 2 nm . Thème d’étude n◦ 12 Refroidissement par désaimantation Les leçons concernées par ce problème sont LP20, LP51 et LP52. É NONCÉ I. M ODÈLE MICROSCOPIQUE Étudions un cristal paramagnétique de cérium. On décrit un solide paramagnétique de volume V par un ensemble de N spins identiques indépendants les uns des autres. Chaque spin possède un moment magnétique noté m et le solide est immergé dans un champ magnétique constant B0 = B0 ez . La projection du moment magnétique de chaque spin est quantifiée et peut prendre deux valeurs suivant l’axe (Oz) : m = + − µB où µB = e~/2me est le magnéton de Bohr. Dans cette partie, on se propose de retrouver la loi de Curie : χ= C T où χ est la susceptibilité magnétique du matériau et C la constante de Curie ; nous calculerons ensuite la capacité calorifique des spins dans ce réseau. 1. Déterminer l’énergie d’un moment magnétique dans un champ extérieur B0 . On suppose que l’ensembles de spins est au contact d’un thermostat à la température T, montrer que le moment magnétique de l’échantillon s’écrit : µ B B 0 M = NµB tanh . kB T 2. Calculer la valeur du champ BM à partir de laquelle l’énergie par spin est négligeable devant l’énergie d’agitation thermique pour T = 300 K. Cette valeur vous semble-telle accessible expérimentalement ? 3. Dans ces conditions, déduire la loi de Curie. Exprimer et calculer la susceptibilité en fonction des paramètres microscopiques du problème pour une mole de spins. On rappelle que la loi de Curie est : J= M C = H0 V T où J est l’aimantation et H0 = B0 /µ0 . 4. Déterminer l’énergie de ce système de spins. Calculer alors la capacité calorifique molaire due aux spins en présence d’un champ magnétique de 1 T dans un thermostat à la température T = 300 K. Montrer que cette valeur est faible devant la capacité calorifique molaire d’un solide, donnée à haute température par la loi de Dulong et Petit : CV = 3R. Thème d’étude n◦ 13 Transferts d’énergie dans les fluides et applications à l’anémomètre à fil chaud Ce thème d’étude a pour objet de familiariser le candidat à l’agrégation avec les différents types de bilan rencontrés en physique des milieux continus, qu’il s’agisse de bilans eulériens ou lagrangiens. L’accent est principalement mis sur l’étude des bilans d’entropie où nous relierons explicitement certaines sources d’irréversibilité (diffusion thermique, frottements visqueux) à la création d’entropie. En fin de problème, nous mettrons à profit cette étude pour comprendre quelques aspects du fonctionnement d’un anémomètre à fil chaud, capteur de vitesse utilisé en hydrodynamique. Ce problème peut servir d’approfondissement pour les leçons suivantes1 : LP12, LP15 et LP22 ainsi que pour les montages de physique MP03 (hydrodynamique) et MP25 (capteurs). É NONCÉ I. B ILANS D ’ ENTROPIE DANS UN FLUIDE 1. Présenter la notion d’équilibre thermodynamique local (ETL). On précisera en particulier l’échelle typique sur laquelle est formulée l’hypothèse d’ETL. 2. Le but étant d’étudier les bilans d’entropie dans les fluides, on note • ρs la densité volumique d’entropie où ρ(r, t) désigne la masse volumique et s(r, t) définit l’entropie massique ; • Js la densité de flux d’entropie par unité de surface et de temps à travers une surface de contrôle fixée dans le référentiel du laboratoire ; • σs le taux de production volumique d’entropie à l’intérieur du volume de contrôle Vc . Rappeler succinctement les deux descriptions possibles d’un écoulement. 3. Déterminer l’équation traduisant le bilan local d’entropie dans le cas d’une description eulérienne (système ouvert). Commenter en particulier la nature de J s . On note Rlab le référentiel du laboratoire, dans lequel le volume de contrôle choisi est fixe. On montrera que ∂ρs = −div Js + σs . ∂t 1 Avertissement : d’une façon générale, nous déconseillons au candidat de choisir une approche trop formelle lors de la présentation des leçons. Ce thème d’étude doit être uniquement pris comme une source d’approfondissement relative. Il ne s’agira pas à l’oral d’imiter cette approche. Thème d’étude n◦ 14 Thermodynamique du contact entre deux solides Les leçons concernées par ce problème sont LP02 et LP15. É NONCÉ Dans cet exercice, on se propose d’étudier la production d’entropie δ i S associée à la présence de frottements entre deux solides indéformables S1 et S2 , en contact. On supposera, dans toute cette partie, que les deux solides sont en contact avec une source de chaleur, l’atmosphère, imposant la température T de chacun des solides. On note S le système formé par la réunion de S1 et S2 . On suppose que S échange avec l’extérieur un travail δWext et une quantité de chaleur δQext (échangée de manière réversible). Lors du processus de frottement, les transferts d’énergie réalisés sous forme thermique et mécanique sont répartis entre les deux solides S1 et S2 comme suit : on note • δWf1 et δQf1 les quantités algébriques infinitésimales d’énergie reçue par S1 respectivement sous forme mécanique et thermique • δWf2 et δQf2 les quantités algébriques infinitésimales d’énergie reçue par S2 respectivement sous forme mécanique et thermique S1 δWext δWf1 δQext δWf2 δQf1 δQf2 S2 Fig. 14.1 – Thermodynamique du contact. 1. Justifier que, dans le cas général, la somme des travaux des forces de contact δWcontact = δWf2 + δWf1 n’est pas nulle. Thème d’étude n◦ 15 Analogies entre optique géométrique et mécanique du point Dans la théorie électromagnétique, la lumière est décrite comme une onde dont l’équation de propagation se déduit d’un ensemble de quatre équations – les équations de Maxwell – qui constituent le fondement de l’électromagnétisme classique. Que se passe-t-il dès lors que l’on quitte la formulation ondulatoire en se plaçant dans le cadre de l’optique géométrique ? La question de la définition d’un objet pertinent susceptible de décrire la lumière nous amènera au concept de rayon lumineux. Cette étape n’est, bien entendu, pas suffisante : il faut encore dégager un principe qui régisse l’évolution du rayon lumineux dans un milieu matériel tout comme les équations de Maxwell étaient en mesure de décrire le processus de propagation de la lumière dans la théorie électromagnétique. Ce principe, permettant de construire l’optique géométrique, est dû à Fermat. Le but de ce thème d’étude est de dégager les profondes similitudes entre la description géométrique de l’optique des rayons lumineux et la description du mouvement d’un point matériel en mécanique newtonienne. La leçon la plus directement concernée par ce problème est LP35. É NONCÉ 1. Chemin optique et principe de Fermat (a) On considère une onde électromagnétique se propageant dans un milieu d’indice n(r) caractérisé par une composante électrique de la forme E(r, t) = E0 e j(k0 L(r)−ωt) où ω et k0 sont reliés par ω = k0 c et L(r) est une fonction scalaire, appelée fonction eïkonale, homogène à une longueur, décrivant la phase de l’onde électromagnétique. Comment sont reliées L(r) et n(r) dans l’approximation de l’optique géométrique1 ? On précisera soigneusement la notion d’approximation d’optique géométrique. (b) Rappeler la définition du chemin optique L et dégager sa signification physique. (c) Énoncer le principe de Fermat. Expliquer la signification de l’adjectif stationnaire. 1 On ne demande pas de démontrer explicitement cette équation à partir des équations de Maxwell décrivant le champ électromagnétique. Nous renvoyons ici le lecteur à l’ouvrage de M. Born et al. [BW99], ou à celui de L. Dettwiller [Det90] pour approfondir le passage de la description ondulatoire à la description géométrique du rayon lumineux. Thème d’étude n◦ 16 Les mirages Dans la première partie de ce problème, on se propose d’étudier qualitativement l’origine des mirages inférieurs, supérieurs mais aussi latéraux, moins connus, formés près d’un mur chauffé. Dans la seconde partie, nous nous interrogerons sur le problème de l’équilibre hydrostatique de la masse d’air située au voisinage d’un sol chauffé. Nous montrerons qu’un tel équilibre n’est pas réalisé et qu’à l’existence d’un mirage inférieur est associée une instabilité de convection. Avertissement : pour aborder ce problème dans les meilleures conditions, nous vous recommandons vivement de commencer par le problème n◦ 15 page 155. La leçon la plus directement concernée par ce problème est LP35. É NONCÉ I. É TUDE QUALITATIVE 1. Justifier que la loi de Gladstone (ou encore de Langevin-Debye) n−1 ∼ Cte ρ (16.1) constitue une approximation de la formule de Clausius-Mossotti dans la limite des milieux dilués. Dans (16.1), n désigne l’indice de réfraction et ρ la densité du milieu. 2. Expliquer la formation des mirages inférieurs et supérieurs respectivement produits dans les déserts chauds (tels que le Sahara) et les régions froides de la planète (typiquement dans l’Arctique ou le Groenland). Présenter ces deux types de mirage en précisant dans chaque cas le sens du gradient de densité de l’air ainsi que celui de l’indice de réfraction, la trajectoire des rayons lumineux. Sur la figure 16.1, nous avons reporté un cliché de mirage supérieur photographié par Jack Stephens. Le 26 avril 1977, les habitants de Grand Haven dans le Michigan, regardant la nuit par dessus les eaux froides du Lac Michigan ont observé distinctement, dans le ciel, les lumières d’une ville ainsi que celle d’un phare. Milwaukee, la ville la plus proche dans la direction dans laquelle ces habitants regardaient est pourtant à plus de 120 km. Proposer une explication à cette impression d’hallucination. 3. Expliquer le phénomène physique mis en jeu lorsque, sous l’effet du gradient d’indice, le rayon lumineux provenant de l’objet se met à changer de direction pour parvenir à l’œil. Pour cela, on s’appuiera sur les lois de Descartes de la réfraction. Thème d’étude n◦ 17 Marche d’un rayon dans une fibre à gradient d’indice Avertissement : Pour aborder ce problème dans les meilleures conditions, nous vous recommandons vivement de commencer par le problème n◦ 15 page 155. Les leçons et montages concernés par ce problème sont LP35 et MP28 (télécommunications). É NONCÉ Une fibre optique est constituée d’un milieu diélectrique intérieur, le cœur de rayon typique a (verre ou silice), dans lequel est confinée la plus grande partie de l’énergie véhiculée. Il est entouré d’un second milieu d’indice de réfraction plus faible : la gaine. Cet ensemble est, à son tour, entouré de couches concentriques de matériaux généralement plastiques assurant une protection et une résistance mécanique. Une fibre optique constitue un guide d’ondes électromagnétiques permettant la propagation d’un nombre fini de modes électromagnétiques. Dans les les fibres multimodes, a λ de sorte que l’on peut remplacer la propagation de l’onde électromagnétique par l’étude mécanique de la trajectoire du rayon lumineux dans l’approximation de l’optique géométrique. Parmi les fibres multimodes, citons les fibres à saut d’indice et les fibres à gradient d’indice dont les profils d’indice typiques en fonction de la distance à l’axe optique sont représentés figure 17.1. Le point de départ est l’équation des rayons lumineux d (nu) = grad n , ds dr où u = est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire et s est l’abscisse curviligne le long ds de la trajectoire du rayon lumineux. On choisira la base de coordonées cylindriques adaptée à la géométrie de la fibre. La marche du rayon est repérée par r = r ur + z uz . 1. La fibre ayant la symétrie de révolution, le vecteur grad n est radial et s’écrit grad n = dn ur . dr Montrer alors que les quantités nr2 dψ ds et n dz ds sont constantes le long de la trajectoire du rayon lumineux. Thème d’étude n◦ 18 Un piège optique Dans cet exercice, nous allons déterminer comment fonctionne un piège optique pour cellule biologique appelé aussi optical stretcher (cf. article de J. Guck [Guc00]). Grâce à deux lasers contrapropagatifs, il est possible de piéger des objets transparents dont l’indice est supérieur à l’indice du milieu (cf. figure 18.1). La leçon la plus directement concernée par ce problème est LP41. É NONCÉ On considère une cellule biologique cubique de coté a = 10 µm. Cette cellule est transparente d’indice n2 = 1, 45 et baigne dans de l’eau d’indice n1 = 1, 33. Le coefficient de réflexion entre la cellule et l’eau est de R = 0, 2%. Cette cellule est éclairée par deux lasers de puissance P = 500 mW et de longueur d’onde λ = 0, 8 µm. Laser Laser a = 10 µm Ox O Fig. 18.1 – Schéma du piège optique. E 1. Justifier que l’impulsion d’un photon dans un milieu matériel est de la forme p = n , c où E est l’énergie du photon, n l’indice du milieu et c la vitesse de la lumière. 2. Tout d’abord, on considère que seul le laser de gauche est allumé. Il éclaire le cube avec une section plus faible que la surface présentée par le cube. Déterminer, par un bilan de quantité de mouvement sur les photons, la force exercée par le laser sur la première paroi. Montrer que la paroi est aspirée par le laser. Vérifier que cette force est nulle pour R = 0. 3. Déterminer de même la force exercée sur la paroi arrière. Montrer alors que la force exercée par le laser sur le cube entier est donnée par : Ftot = n1 (3 − R) + n2 (1 − R) 4. Calculer F1 , F2 et Ftot . RP c ex . Thème d’étude n◦ 19 Propagation des vibrations dans une chaîne d’oscillateurs La leçon la plus directement concernée par ce problème est LP50. É NONCÉ Le but de ce problème est d’illustrer la propagation des vibrations dans les solides. Dans un premier temps, nous étudierons une chaîne de pendules couplés par des ressorts. Dans un second temps, nous décrirons les vibrations des solides à l’aide d’une chaîne d’oscillateurs couplés et relierons les grandeurs accessibles expérimentalement (module d’Young, célérité du son) aux paramètres microscopiques du modèle. Les pendules utilisés sont des masses de m = 200 g suspendues par des fils de longueur ` = 0, 5 m. Ces masses sont reliées entre elles par des ressorts de longueur L au repos et de constante de raideur k = 10 N.m−1 (cf. figure 19.1). ` k Fig. 19.1 – Représentation de la chaîne d’oscillateurs. 1. Écrire les équations du mouvement pour chaque pendule. 2. On admettra que l’on peut rechercher des solutions de la forme 1 rn = Aei(qna−ωt) . Déterminer et tracer la relation de dispersion pour ce système : qa 2 ω 2 = ωc 2 + ω0 2 sin . 2 3. Expliquer pourquoi la relation de dispersion est périodique en dessinant une onde à un instant donné et la position des atomes par rapport à celle-ci . Déterminer la forme de la solution suivant la position de ω par rapport à ωc . 1 Il s’agit d’une solution de « Bloch » compatible avec les conditions de périodicité du problème. Nous renvoyons le lecteur à l’ouvrage de Cohen-Tanoudji [CT96] pour approfondir le sujet. Thème d’étude n◦ 20 La couche anti-reflet Les leçons concernées par ce problème sont LP28 et LP32. É NONCÉ Les couches anti-reflet sont souvent employées dans les instruments d’optique (jumelles, lunette astronomique), les lunettes de vue et même récemment les pare-brise de voiture. On peut remarquer leur présence grâce aux reflets colorés que nous renvoient ces instruments. Nous nous proposons de déterminer l’intérêt et la réalisation d’un traitement anti-reflet. Les deux parties sont indépendantes. I. C OEFFICIENTS DE F RESNEL y x Ei z ki Er Et kt kr nair = 1 nverre = 1, 9 Fig. 20.1 – Dioptre air/verre. Nous étudions ici la transmission au travers d’un dioptre d’une onde électromagnétique plane et monochromatique. L’indice de l’air sera pris égal à nair = 1 et l’indice du verre sera noté nverre = 1, 9 . Nous noterons Ei l’amplitude de l’onde incidente, Er celle de l’onde réfléchie et Et celle de l’onde transmise. Une onde électromagnétique (E, B) sera alors notée sous la forme complexe suivante : E = E eiωt−kx uy B = B eiωt−kx uz 1. À partir du modèle de l’électron élastiquement lié, justifier sans calcul que les ondes incidentes, transmises et réfléchies ont la même pulsation ω. Thème d’étude n◦ 21 Effets de la dispersion sur un paquet d’ondes Avertissement : pour aborder la deuxième partie de ce problème, il est conseillé d’avoir étudié la partie consacrée à l’étude des ondes de surface, dans le problème 3 (page 37) de la première partie de cet ouvrage. Néanmoins, toutes les données nécessaires sont rappelées dans l’énoncé. Les leçons et montages concernés par ce problème sont LP15, LP30, LP31, MP02 (tension superficielle) et MP28 (télécommunications). É NONCÉ Ce problème a pour objet d’étudier la déformation d’un paquet d’ondes se propageant dans une le cœur d’une fibre optique, traité comme un milieu dispersif d’indice n(ω). Au terme d’une partie introductive consacrée à la construction du « paquet d’ondes » susceptible de décrire un signal physique, nous montrerons comment le caractère dispersif d’un milieu diélectrique limite la propagation de signaux sur de longues distances. En raison de la complexité inhérente à la physique des milieux dispersifs, il a nous semblé préférable de privilégier une approche progressive et pédagogique. I. PAQUET D ’ ONDES DANS UN MILIEU NON DISPERSIF On notera E(r, t) le champ électrique associé au paquet d’ondes. Dans cette partie, on négligera l’effet des pertes par absorption. Nous discuterons cette hypothèse a posteriori, en fin de problème. 1. Construction d’un paquet d’ondes électromagnétiques (a) Montrer que l’évolution du champ électrique E(r, ω) est décrite par l’équation 1 ∂2 ∂2P E = grad div E + µ , 0 c2 ∂t2 ∂t2 où P(r, t) est le vecteur polarisation. Nous supposerons que le milieu diélectrique est isotrope, homogène1 et dépourvu de propriétés conductrices et magnétiques. ∆− (b) En déduire, en régime harmonique, l’équation de Helmholtz satisfaite par le e champ E(r, ω). On introduira l’indice optique n(ω). On supposera que le milieu diélectrique est linéaire. 1 Ceci n’est pas le cas dans une fibre optique. Le but est seulement de dégager les idées fortes du problème du transport dans une fibre, la théorie complète restant, bien entendu, très complexe. Thème d’étude n◦ 22 Propagation des solitons dans les fibres Avertissement : afin d’aborder ce sujet dans les meilleures conditions, nous conseillons au lecteur de préparer, dans un premier temps, la partie III du problème 21 concernant l’étalement d’un paquet d’ondes dans un milieu diélectrique dispersif. Les leçons et montages concernés par ce problème sont LP30, MP28 (télécommunications) et MP33 (instabilités et phénomènes non linéaires). É NONCÉ Dans le problème 21, nous avons mis en évidence la déformation d’un signal comme conséquence du caractère dispersif du milieu de propagation. Cette déformation limite considérablement le transport d’informations sur de longues distances. Il est néanmoins possible, comme nous allons le montrer à présent, de compenser l’élargissement du paquet d’ondes par des effets non linéaires. Il ressortira de cette étude que la conjugaison des caractères dispersif et non linéaire du milieu de propagation permettra la propagation de paquets d’ondes sans déformation sur de très longues distances. De tels signaux localisés sont appelés solitons. Dans ce problème, on suppose que l’intensité du faisceau est suffisamment forte pour induire un effet Kerr optique, c’est-à-dire une dépendance entre l’indice de réfraction n et l’intensité def I = |Ee |2 de la forme n = n0 +nNL |Ee |2 , de sorte que k = k(ω, |Ee |2 ) où Ee est l’amplitude du champ électrique de l’onde électromagnétique. On supposera que l’onde est polarisée rectilignement suivant uy et qu’elle se propage suivant l’axe optique ux de la fibre optique. La composante électrique du champ électromagnétique s’écrit, en notation complexe : E(x, t) = Ee (X, T)ei(kx−ωt) uy , où X = εx et T = εt avec ε 1 indépendant de x et de t rappelle que l’évolution de l’enveloppe du paquet d’ondes se fait sur des échelles de distance et de temps beaucoup plus longues que celle de la phase. I. A PPROCHE QUALITATIVE DES EFFETS NON LINÉAIRES 1. Relation de dispersion en présence des effets non linéaires En traitant la non-linéarité comme une perturbation par rapport à la théorie linéaire étudiée dans la partie III. du problème 21, écrire la relation de dispersion en fonction de def K = k − k0 P= 1 ∂2ω 2 ∂k 2 k0 et Q=− ∂ω . ∂|Ee |2 Ee →0 Thème d’étude n◦ 23 Oscillateur de Van der Pol Les leçons et montages concernés par ce problème sont LP56, MP33 (instabilités et phénomènes non linéaires) et MP37 (oscillateurs). É NONCÉ Dans ce problème, on introduit l’oscillateur de Van der Pol sur l’exemple simple d’un circuit RLC série couplé à un montage à résistance négative. Une fois l’équation de Van der Pol introduite, le but sera de comprendre la nature des attracteurs en fonction de l’amplitude de la non-linéarité introduite dans le système du fait de la présence de l’amplificateur opérationnel, qui constitue le composant non linéaire. Nous étudierons le lien entre la non-linéarité et • la déformation de l’attracteur ; • l’évolution de la période des oscillations. Dans le régime fortement non linéaire, nous montrerons qu’il est légitime de calculer exactement la période T d’oscillation du système. I. M ONTAGE À RÉSISTANCE NÉGATIVE – O SCILLATIONS P OL replacements DE VAN DERPSfrag Le schéma de montage à résistance négative estRprésenté sur la figure 23.1. On supposera que R1 = R2 . vs R1 PSfrag replacements L,r − E E+ E− - i E+ v R R i ∞ + R2 vs R R1 R2 R0 ∞ C v D R R0 Fig. 23.1 – Montage de la « résistance négative ». Couplage d’un circuit RLC à une résistance négative (D représente le dipole à résistance négative). Index Accélération d’entraînement. . . . . . . . . . . . . . . .22 de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Adhérence à la paroi . . . . . . . . . . . . . . 73 D’Alembert (équation de) . . . . . . . . 196 Amontons (loi d’) . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Analogies entre mécanique et optique géométrique . . . . . . . . . . . . . 161 Analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 50 qualitative de la déformation d’un paquet d’ondes . . . . . 224, 227 Anémomètre à fil chaud . . . . . . . . . . 146 Anticyclone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99, 101 Approximation de l’optique géométrique . . . . . 157 des milieux continus . . . . . . . . . 195 géostrophique . . . . . . . . . . . . . 96, 98 gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . 61, 64 Archimède (poussée d’). . . . . . . . . . .172 Atténuation dans les fibres optiques215 Attracteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Avalanches de manteau . . . . . . . . . . . . 24 de marée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 43 magnétique intense . . . . . . . . . . 132 Chemin optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Clapeyron (relation de) . . . . . . . . . . 131 Clausius-Mossotti (loi de) . . . . . . . . 168 Coefficient de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 de réflexion en amplitude . . . . . . . . . . . . . . 203 en intensité. . . . . . . . . . . . . . . .203 de transmission en amplitude . . . . . . . . . . . . . . 203 en intensité. . . . . . . . . . . . . . . .203 Composition des vitesses (loi de) . . 31 Conductivité thermique . . . . . . . . . . 119 Conservation de la masse. . . . . . . . . . .71, 94, 140 du moment cinétique . . . . . . . . . 32 Copernic (référentiel de) . . . . . . . . . . . 19 Coriolis force d’inertie de . . . . . . 25, 29, 94 paramètre de . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Couche anti-reflet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 limite thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 visqueuse . . . . . . . . . . . . . . 78, 145 Coulomb (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Curie (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Cyclone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Base de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Beer-Lambert (loi de) . . . . . . . . . . . . 231 Benjamin-Feir (instabilité de) . . . . 238 Bertrand (théorème de) . . . . . . . . . . 182 Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Bilan d’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 d’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 d’une grandeur conservative . 141 de quantité de mouvement 78, 93 particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Boltzmann facteur de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 loi de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Borda (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Bourrelet océanique . . . . . . . . . . . . . . . 44 D’Alembert (équation de) . . . . . . . . 196 Darcy (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Débit volumique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 Décalage en fréquence . . . . . . . . . . . . 255 Décomposition en série de Fourier 255 Déformation d’un paquet d’ondes.210 Dépression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Boura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Dérivation dans un repère mobile . . 63 Désaimantation adiabatique . 125, 132 Description eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 lagrangienne . . . . . . . . . . . . . 71, 138 Carte météorologique. . . . . . . . . . . . .102 Champ 268 Index Deuxième principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151, 231 Déviation vers l’est . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Dewar (vase) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Diffusion de matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 de quantité de mouvement . . . . 86 thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Dinosaures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Dispersif . . . . . . . . . voir Milieu dispersif Dispersion anormale . . . . . . . . . . . . . . . 221, 228 normale. . . . . . . . . . . . . . . . .221, 228 Dissipation dans les milieux dispersifs 229 Dynamique en système ouvert . . . . . 78 Écoulement barotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 incompressible . . . . . . . . . . . . 71, 95 laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Effet de peau thermique . . . . . . . . . . . 113 de sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 dissipatif de marée . . . . . . . . . . . . 24 gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . 24, 61 Kerr optique . . . . . . . . . . . . . . . . .233 Eïkonale (équation) . . . . . . . . . . . . . . 157 Énergie cinétique bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 taux de dissipation . . . . . . . . 143 théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 interne (bilan) . . . . . . . . . . . . . . . 141 totale (bilan) . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Entropie bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 voir aussi Production d’entropie Enveloppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220 Équation de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . .196 de la chaleur . . . . . . . . . . . . 142, 178 de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . 84, 87 d’enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . 216 de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 de Navier-Stokes . . 71, 86, 93, 94, 142 269 des rayons lumineux . . . . . . . . . 159 de Schrödinger linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 236 de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . 251 eïkonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Équilibre géostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 hydrostatique . . . . . . . . 45, 46, 171 thermodynamique local . 110, 138 Eulérienne (description) . . . . . . . . . . 138 Expérience de chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Facteur de Boltzmann . . . . . . . . . . . . 127 Fata morgana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Fermat (principe de) . . . . . . . . . . . . . 157 Fibre optique . . . . . . . . . . . 179, 210, 233 atténuation dans les fibres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 guidage dans les fibres optiques 183 Fick (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Fluide newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Flux thermique convectif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 diffusif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 radiatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Force centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 182 d’inertie d’entraînement. . . . . . . . . .25, 65 de Coriolis . . . . . . . . . . 25, 29, 94 de marée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Formules de Rayleigh . . . . . . . . 221, 228 Fourier décomposition en série de . . . . 255 loi de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110, 119 transformée de . . . . . . . . . . . 83, 217 Frenet (base de) . . . . . . . . . . . . . . . . . .160 Frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55, 148 Gladstone (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Guidage dans les fibres optiques . . 183 Heisenberg (inégalités de) . . . . . . . . 218 Helmholtz (équation de) . . . . . . . . . .216 270 Index Hooke (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Indice optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Inégalités de Heisenberg . . . . . . . . . . 218 Instabilité de Benjamin-Feir . . . . . . . . . . . . 238 de convection . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Interférences multiples . . . . . . . . . . . 204 Isostère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Jour sidéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 solaire moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Kerr (effet optique) . . . . . . . . . . . . . . 233 King (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Kolmogorov (théorie de) . . . . . . . . . . . 96 Lagrange (équation de) . . . . . . . . . . . 159 Lagrangien optique . . . . . . . . . . . . . . . 159 Lagrangienne (description) . . . 71, 138 Laplace (loi de la capillarité de) . . . 51 Législation sur les eaux minérales . .75 Liaison parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Libre parcours moyen . . . . . . . . . . . . 118 Loi d’Amontons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 de Beer-Lambert . . . . . . . . . . . . 231 de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . 127 de Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 de Clausius-Mossotti . . . . . . . . .168 de composition des vitesses . . . 31 de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 de Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 110, 119 de Gladstone . . . . . . . . . . . . . . . . 168 de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 de King . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 de Laplace de la capillarité . . . .51 de Stefan . . . . . . . . . . . . . . . 114, 122 Longueur capillaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 d’onde de marée . . . . . . . . . . . . . . 52 Lunaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Météorologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Malus (théorème de) . . . . . . . . . . . . . 158 Marées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 champ de marée. . . . . . . . . . .27, 43 effet dissipatif. . . . . . . . . . . . . . . . .24 force de marée . . . . . . . . . . . . . . . . 26 longueur d’onde de marée . . . . . 52 modèle dynamique . . . . . . . . . . . . . .45, 49 statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ondes de marée . . . . . . . . . . . . . . . 45 potentiel de marée . . . . . . . . . . . . 43 résonance de marée . . . . . . . 45, 53 Marnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 48 Mayer (relation de). . . . . . . . . . . . . . .131 Milieu dispersif . . . . . . . . . . . . . . . . 219, 229 faiblement dispersif . . . . . . . . . . 228 non dispersif . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Mirages inférieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 latéraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Mode électromagnétique. . . . . . . . . .218 Modèle dynamique des marées . . . . 45, 49 statique des marées . . . . . . . . . . . 37 Moment cinétique conservation du moment cinétique 32 théorème du moment cinétique63 Mouvement à force centrale . . . . . . . . . . 32, 182 hélicoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Mythe du lavabo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Nappe phréatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Navier-Stokes (équation de)71, 86, 93, 94, 142 Newtonien (fluide) . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Nombre de Péclet thermique . . . . . . . . . 145 de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 de Reynolds . . . . . . . 72, 79, 87, 95 de Rossby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Ondes de capillarité . . . . . . . . . . . . . 50, 223 de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . 50, 222 de marée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Oscillateurs couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . 243 Oscillations de relaxation . . . . . . . . . 252 Index Ouragan Isabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 analyse qualitative de la déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224, 227 déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 raidissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 réversibilité de l’étalement . . . 225 Paramagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Paramètre de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . 254 de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Péclet (nombre de) . . . . . . . . . . . . . . . 145 Pertes thermiques par diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 par rayonnement . . . . . . . . . . . . 122 Piège optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Poiseuille (écoulement de) . . . . . . . . . 69 Portance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 79 Porteuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Portrait de phase. . . . . . . . . . . . . . . . .246 Potentiel de marée . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Poussée d’Archimède . . . . . . . . . . . . . 172 Poynting (vecteur de) . . . . . . . . . . . . 203 Prandtl (nombre de) . . . . . . . . . . . . . 145 Précession des équinoxes . . . . . . . . . . 24 Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Principe de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 de moindre action . . . . . . . . . . . 159 deuxième principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . 231 fondamental de la dynamique 22, 57 premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Production d’entropie associée aux frottements solides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 processus d’absorption dans les diélectriques dispersifs . . . . 231 transferts thermiques . . . . . . . . 141 Propagation du son dans les solides196 Puissance des efforts de contact . . 149 Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 271 Raidissement d’un paquet d’ondes 238 Rayleigh (formules de). . . . . . .221, 228 Rayon de courbure . . . . . . . . . . . . . 160, 176 lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Rayonnement du corps noir . . . . . . 114 Référentiel barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 de Copernic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 géocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 non galiléen . . . . . . . . . . . 22, 25, 29 terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Réflexion totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Réfrigérateur à dilution . . . . . . . . . . 132 Relation de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . 131 de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . 218 de Mayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 de structure de l’onde plane . 206 Résistance négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Résonance de marée . . . . . . . . . . . 45, 53 Réversibilité de l’étalement d’un paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . 225 Reynolds nombre de . . . . . . . . . 72, 79, 87, 95 théorème de . . . . . . . . . . . . . . . 77, 94 Rossby (nombre de) . . . . . . . . . . . . . . . 96 Saturation par effet non linéaire . . 250 Schrödinger équation linéaire . . . . . . . . . . . . . 237 équation non linéaire . . . . . . . . 236 Sens de rotation des vents . . . . . . . . 100 Soliton optique . . . . . . . . . . . . . . 233, 240 Stationnarité du chemin optique . . 158 Stefan (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . 114, 122 Stokes (expérience de) . . . . . . . . . . . . . 81 Susceptibilité magnétique . . . . . . . . 128 Système ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Syzygie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 Taux de dissipation d’énergie cinétique 143 Théorème de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 de l’énergie cinétique . . . . . . . . 150 de Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 du moment cinétique . . . . . . . . . 63 272 de la résultante dynamique . . . 20 de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . 77, 94 Théorie de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . 96 Thermodynamique deuxième principe . . . . . . . . . . . 151 équilibre local . . . . . . . . . . . 110, 138 premier principe . . . . . . . . . . . . . 150 Traînée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 Traitement anti-reflet . . . . . . . . . . . . 209 Transformée de Fourier . . . . . . . 83, 217 Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Van der Pol équation de . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 oscillateur de . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Variations du jour sidéral . . . . . . . . . .23 Vase Dewar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Vecteur de Poynting . . . . . . . . . . . . . .203 Vent géostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 sens de rotation . . . . . . . . . . . . . 100 Viscosité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78, 86 Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . 220, 228 de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 loi de composition . . . . . . . . . . . . 31 Voie Lactée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Index
