BU - QUELQUES INEGALITES Conditions hölderiennes Dans ce qui suit x et y désignent des nombres réels positifs. Proposition Si 0 < a ≤ 1, on a les inégalités (1) |xa − y a | ≤ |x − y|a (2) |xa − y a | ≤ a(inf(x, y))a−1 |x − y| . Donc x 7→ xa est hölderienne de puissance a sur R+ , et lipschitzienne de rapport aua−1 sur l’intervalle [ u, +∞ [ où u > 0. Si a ≥ 1, on a les inégalités (3) |xa − y a | ≥ |x − y|a (4) |xa − y a | ≤ a(sup(x, y))a−1 |x − y| . Donc x 7→ xa est lipschitzienne de rapport aua−1 sur l’intervalle [ 0, u ] où u > 0. Pour démontrer (1) et (3), on utilise sur [ 0, +∞ [ la fonction fa définie par fa (u) = (ua − 1)|u − 1|−a . Le nombre fa (u) est du signe de u − 1. On remarque aussi que fa (u−1 ) = −fa (u) , et on étudiera la fonction seulement sur [ 1, +∞ [ . Dans cet intervalle fa0 (u) = a 1 − ua−1 . (u − 1)a+1 On constate que fa0 est du signe de 1 − a sur [ 1, +∞ [ , et, par ailleurs, la fonction fa tend vers 1 à +∞. On en déduit que, pour tout réel u positif, on a |fa (u)| ≥ 1 si a > 1 , |fa (u)| ≤ 1 si 0 < a < 1 . Alors, en posant u = x/y et en multipliant les inégalités obtenues par y a , on obtient (1) et (3). BU 2 Pour (2) et (4), on utilise le théorème des accroissements finis pour la fonction x 7→ xa . Il existe c compris entre x et y tel que |xa − y a | = aca−1 |x − y| . Si a − 1 est négatif, on minore c par inf(x, y), s’il est positif, on le majore par sup(x, y). Corollaire Si f est une fonction à valeurs réelles positives définie sur un espace métrique (A, d), on a les résultats suivants : i) Si 0 < a < 1 et si f est lipschitzienne, alors f a est hölderienne de puissance a. Si de plus 1/f est bornée, alors f a est lipschitzienne. ii) Si a ≥ 1, et si f est lipschitzienne bornée, il en est de même de f a . Si 0 < a < 1, et si f est lipschitzienne de rapport k, on a |f a (x) − f a (y)| ≤ |f (x) − f (y)|a ≤ k a d(x, y)a . Si de plus 1/f est majorée par M , on obtient |f a (x) − f a (y)| ≤ aM 1−a |f (x) − f (y)| ≤ aM 1−a kd(x, y) . Si a ≥ 1, et si f est lipschitzienne de rapport k et bornée par M , on a |f a (x) − f a (y)| ≤ aM a−a |f (x) − f (y)| ≤ aM a−1 kd(x, y) . Inégalités de convexité Formule de Jensen. Soit Φ une fonction convexe sur l’intervalle fermé I, µ une mesure de probabilité sur R et f dans L1 (µ) telle que f (R) soit inclus dans I. Alors Z Z Φ f dµ ≤ Φ ◦ f dµ . Soit Z x0 = f dµ . Si l’on a u ≤ f (x) ≤ v , alors en intégrant Z u= Z u dµ ≤ Z f dµ ≤ v dµ = v , BU 3 donc x0 est aussi dans I. La fonction Φ étant convexe il existe une droite passant par le point de coordonnées (x0 , Φ(x0 )) et située sous la courbe représentative de Φ. Si l’équation de cette droite est y = ax + b , on a donc Φ(x0 ) = ax0 + b , avec, pour tout x réel, ax + b ≤ Φ(x) . On en déduit af (x) + b ≤ Φ ◦ f (x) d’où, en intégrant Z f dµ + b ≤ a et comme Z Φ ◦ f dµ , Z a f dµ + b = ax0 + b = Φ(x0 ) , on en déduit Z Φ Z ≤ f dµ Φ ◦ f dµ . Applications Comme mesure de probabilité prenons la moyenne des mesures de Dirac aux points a1 , . . . , an , n 1 X δai . µ= n i=1 1) Si Φ(x) = ex et f = ln g avec g > 0, on obtient exp ! n n 1 X 1 X ln g(ai ) ≤ g(ai ) , n n i=1 i=1 donc (5) n Y !1/n ≤ g(ai ) i=1 n 1 X g(ai ) . n i=1 En particulier, si les ai sont positifs et si g(x) = x, (6) n Y i=1 ai ≤ n −n n X i=1 !n ai . BU 4 2) Si Φ(x) = xa avec a > 0, et f (x) = x, on obtient (7) n X !a ai ≤n a−1 i=1 n X aai . i=1 En particulier en combinant (6) et (7) avec a = n, (8) n Y i=1 n 1 X n ai , ai ≤ n i=1 1/n d’où l’on déduit, en appliquant (8) aux nombres ai (9) n Y i=1 !1/n ai ≤ , n 1 X ai : n i=1 la moyenne géométrique est inférieure à la moyenne arithmétique.