Probabilités - Classe de 2nde

Probabilités - Classe de 2nde
1
Document réalisé par S. Bignon
I - Expériences aléatoires
Définitions :
L’étude des probabilités consiste à étudier des expériences qui comportent plusieurs issues parfaitement connues mais dont la réalisation est déterminée par le hasard. Ces expériences sont appelées
expériences aléatoires.
L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire est appelée univers de l’expérience et est généralement noté Ω .
Un événement est constitué d’une ou plusieurs des issues possibles. Lorsqu’il n’est constitué que
d’une seule issue, un événement est appelé événement élémentaire.
Exemples : Les expériences suivantes sont des expériences aléatoires :
• le résultat d’un jet de dé est une expérience aléatoire à une épreuve dont l’univers est :
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
On peut considérer, par exemple, les évènements suivants :
- A : "obtenir un 5"
- B : "obtenir un nombre pair"
- C : "obtenir un nombre inférieur ou égal à 4"
2
Document réalisé par S. Bignon
• les résultats (pile ou face) de deux jets successifs d’une pièce de monnaie est une expérience
aléatoire à deux épreuves dont toutes les issues peuvent-être représentées par l’arbre des
possibles ci-dessous :
P
P
F
F
P
F
On peut considérer, par exemple, les évènements :
- E : "obtenir au moins un pile"
- F : "n’obtenir que des faces"
3
Document réalisé par S. Bignon
II - Probabilités
1) Vocabulaire
Définition :
La probabilité d’un événement est la proportion de réalisation de cet événement lors d’un très grand
nombre de répétitions de l’expérience aléatoire correspondante.
Exemples : Revenons sur les expériences aléatoires définies précédemment :
- la probabilité de l’événement A est :
1
p(A) =
6
- la probabilité de l’événement F est :
1
p(F ) =
4
4
Document réalisé par S. Bignon
2) Équiprobabilité et calculs de probabilités
Définition :
On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les événements ont la même probabilité.
Propriété : Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement K peut se calculer
de la manière suivante :
p(K ) =
Nombre d’issues réalisant l’événement K
Nombre total d’issues
Exemples : Lors du lancer d’un dé, trois issues correspondent à des nombres pairs donc la probabilité de l’événement B est :
3 1
p(B ) = =
6 2
Définitions :
L’événement qui ne contient aucune issue est événement impossible, on le note ; et l’événement
qui contient toutes les issues est appelé certain.
Propriétés :
• La probabilité d’un événement est toujours comprise entre 0 et 1.
• La probabilité de l’événement certain est 1 (p(Ω) = 1).
• La probabilité de l’événement impossible est 0 (p(;) = 0).
• La somme des probabilités des différentes issues est égale à 1.
5
Document réalisé par S. Bignon
III - Intersection et union
Définitions :
Soient A et B deux événements d’un univers Ω :
• on appelle intersection des événements A et B l’événement constitué des issues appartenant
à A et B . On le note A ∩ B ("A inter B " ou "A et B ").
• on appelle réunion des événements A et B l’événement constitué des issues appartenant à A
ou à B . On le not A ∪ B ("A union B " ou "A ou B ").
Exemples : Reprenons de nouveau les événements définis dans la partie I :
B ∩C = {2; 4}
A ∪ B = {2; 4; 5; 6}
Définitions :
• Deux événements A et B d’un univers Ω sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se
produire en même temps, dans ce cas, A ∩ B = ;
• Pour tout événement A, on appelle événement contraire de A (et on note A) l’événement
composé des issues de Ω qui ne sont pas dans A.
Remarque : Deux événements contraires sont incompatibles.
Exemples :
• les événements A et B sont incompatibles.
• les événements E et F sont contraires.
6
Document réalisé par S. Bignon
Propriétés : Soient A et B deux événements de Ω :
• p(A) = 1 − p(A)
• p(A ∪ B ) = p(A) + p(B ) − p(A ∩ B )
Remarque : Si A et B sont incompatibles, p(A ∪ B ) = p(A) + p(B )
Exemples :
• les événements E et F sont des événements contraires donc :
1 3
p(E ) = 1 − p(F ) = 1 − =
4 4
• si on considère les événements B et C , on a :
3 4 2 5
p(B ∪C ) = p(B ) + p(C ) − p(B ∩C ) = + − =
6 6 6 6
7
Document réalisé par S. Bignon