Révisions mathématiques - Poly

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) -
MATHEMATIQUES 5 :
ETUDE DES FONCTIONS
LOGARITHME ET EXPONENTIELLE
- COURS + ENONCE EXERCICE -
Olivier CAUDRELIER
[email protected]
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I.
Fonction logarithme népérien :
a) Domaine de définition :
La fonction : x ↦ f(x) = ln x est définie pour x > 0 ; c’est-à-dire
=]0; +∞[
Par extension, les fonctions : x ↦ f(x) = ln u sont définies pour u(x) > 0
Exemple : la fonction x ↦ ( ) =
dire
=] − ∞; 1/2[
(1 − 2 ) est définie pour 1 − 2 > 0 ⟺
< ; c’est-à-
b) Continuité, dérivabilité, dérivée, sens de variation :
La fonction : x ↦ f(x) = ln x est continue sur ]0; +∞[, et dérivable sur ]0; +∞[
La dérivée de la fonction : x ↦ f(x) = ln x est
Or,
( )= >0
( )=
]0; +∞[, donc la fonction ln est
Par extension, la dérivée de la fonction : x ↦ f(x) = ln u est
Exemple : la fonction x ↦ ( ) =
pour tout ∈] − ∞; 1/2[, ( ) =
sur ]0; +∞[
( )=
(1 − 2 ) est dérivable sur ] − ∞; 1/2[, et,
=
c) Limites :
Les limites aux bornes de l’ensemble de définition de f(x) = ln x sont :
→
→
= +∞
= −∞
D’où la représentation graphique de la fonction logarithme népérien :
31
Autres limites :
.
→
=
=
→
.
→
=
( + )
→
( ∈ ℕ∗ )
=
→
( ∈ ℕ∗ )
=
d) Propriétés algébriques :
(
=
)= .
( )−
( )
(
)=
( )
( )+
∈ℤ
=
( )
=
32
= −
√
=
( )
.
( )
e) Equations / inéquations :
Ø Pour résoudre des équations ou des inéquations avec des ln, il faut :
·
·
Spécifier avant tout le domaine de définition de l’équation/inéquation
Se ramener, grâce aux propriétés algébriques, à la configuration suivante :
lnA = ln B , afin de pouvoir écrire : A = B (même chose pour < ou >)
exemple : résoudre
( + 4) +
l’équation est définie ssi
> −1, ( ) ⟺
( + 1) =
+4>0
+1>0 ⟺
+ 10 > 0
( + 10)
> −4
> −1 ⟺
> −10
[( + 4)( + 1)] =
( + 10) ⟺
> −1, ( ) ⟺ ² + 5 + 4 =
Δ = 36
⟹
(E)
= −5 ∉
> −1 ⟺
=] − 1; +∞[,
[( ² + 5 + 4)] =
+ 10 ⟺ ² + 4 − 6 = 0
= {1}
et
( + 10)
=1∈
Ø Pour les équations du type a(lnx) + blnx + c = 0, définie sur
changement de variable suivant :
=
=]0; +∞[, on procède au
(ne pas oublier de revenir à x quand on résolu l’équation du second degré : aX² + bX + c = 0)
Remarque : la fonction logarithme népérien de x représente l’aire sous la courbe de la fonction
inverse
x1
ln x = ò1 dt
t
y = 1/t
A = ln x
0
x
1
33
II.
Fonction exponentielle :
a) Domaine de définition :
La fonction : x ↦ f(x) = exp x = e est définie pour tout
Attention : la fonction x ↦ ( ) =
=] − ∞; 1/4]
√
∈ℝ
est définie pour 1 − 4 ≥ 0 ⟺
≤ ; c’est-à-dire
b) Continuité, dérivabilité, dérivée, sens de variation :
La fonction : x ↦ f(x) = e est continue sur ℝ, et dérivable sur ℝ
La dérivée de la fonction : x ↦ f(x) = e est
( )=e
Par extension, la dérivée de la fonction : x ↦ f(x) = e est
Exemple : la fonction x ↦ ( ) =
pour tout ∈ ℝ, ( ) = 3.
Comme
( )=e >0
( ) = u .e
est dérivable sur ℝ et,
ℝ , la fonction e est
sur ℝ
c) Limites :
Les limites aux bornes de l’ensemble de définition de f(x) = ln x sont :
→
= +∞
=
→
D’où la représentation graphique de la fonction exponentielle :
34
Autres limites :
→
→
.
=
= +∞
→
.
→
= +∞
−
→
=
( ∈ ℕ∗ )
( ∈ ℕ∗ )
=
Règle des croissances comparées « à manipuler avec précaution » :
pour les produits ou les quotients indéterminés,
exponentielle l’emporte sur toute fonction puissance de x (
qui l’emporte sur logarithme
«
>
>
35
»
),
d) Propriétés algébriques :
(
=
) =
.
×
=
=
Important : ln x et exp x sont des fonctions réciproques
(
)=
∈ℝ
∈ℝ∗
=
f) Equations / inéquations :
Ø Pour résoudre des équations ou des inéquations avec des exp, il faut :
·
·
Spécifier avant tout le domaine de définition de l’équation/inéquation
Se ramener, grâce aux propriétés algébriques, à la configuration suivante :
= , afin de pouvoir écrire : A = B (même chose pour < ou >)
Ø Pour les équations du type ae + be + c = 0, on procède au changement de variable
suivant :
=
(ne pas oublier de revenir à x quand on résolu l’équation du second degré : aX² + bX + c = 0)
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Enoncé des exercices
sur les fonctions logarithme et exponentielle
exercice 1 :
Calculer les limites suivantes :
a)
→
b)
→
c)
→
d)
→
e)
→
2 −1+
( )
et
→
exercice 2 :
Résoudre les équations / inéquations suivantes :
a) (lnx) − lnx − 30 = 0
b)
c)
d)
( ² − 8) ≤ ln( ) +
−
−6
>0
+8
2
>0
exercice 3 :
Soit la fonction ( ) = .
a)
b)
c)
d)
(
) −2
Donner le domaine de définition de f
Calculer la dérivée de f et étudier les variations de f
Calculer les limites aux bornes du domaine de définition
Combien de solutions l’équation f(x) = 1 possède-t’elle ?
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exercice 4 :
( )=
38
[ ; +∞[