Pythagore - Cégep de Lévis

Pythagore 1
THRACE
E
IN
O
D
Pella
É
AC
Stagire
M
Samothrace
Cégep de Lévis-Lauzon
re
ho
p
os Lampsaque
B
Troie
Lemnos
Épire
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Skyros
GÉ
E
THESSALIE
Eu
bé
e
TIE Chalcis
Thèbes
UE
TIQ
Corinthe AT Athènes
Olympie
ÈSE
NN
PO
O
L
PÉ Sparte
Ith
BÉO
Me
Delphes
de
nti
po
Pro
MYSIE
par : André Ross
Professeur de mathématiques
Abdère
Pergame
Lesbos
Phocée Magnésie
aq
Smyrne
Chio
ue
Andros
Samos
LYDIE
PYTHAGORE DE SAMOS
Éphèse
IONIE
Milet
Paros Naxos
Cos
Ios
Cnide
Théra
Cythère
Rhodes
CRÈT
E
Pythagore qui vécut au VIe siècle avant Jésus-Christ, est
né vers 580 av. J.-C. à Samos, une île de la mer Égée
située tout près de Milet où vivait Thalès qui devait avoir
une cinquantaine d’années à la naissance de Pythagore.
On admet généralement que Pythagore fut l’élève de
Thalès et de son disciple Anaximandre avant d’entreprendre de nombreux voyages, particulièrement, en Égypte et
à Babylone. À son retour à Samos, l’île est sous la domination du tyran Polycrate et Pythagore décide de s’installer à Crotone en Italie du sud où il fonde une communauté
qui tient à la fois de la secte et de l’académie. On y étudie
la philosophie, les mathématiques et les sciences naturelles. Les membres de l’École vivent en communauté et
gardent secret les enseignements reçus et leurs découvertes, il est donc difficile de connaître les contributions de
Pythagore et celles de ses disciples.
LA DOCTRINE PYTHAGORICIENNE
L’intérêt des pythagoriciens pour les nombres et la géométrie leur vient probablement de l’astronomie. À l’époque de Thalès, les principales constellations étaient déjà
connues. Pythagore qui s’y intéressait beaucoup avait
observé que chaque constellation présente deux caracté-
Cnossos
ristiques : le nombre d’étoiles qu’elle comporte et la figure géométrique formée par ces étoiles. Cette constatation était une motivation suffisante pour s’adonner à l’étude
des nombres et des figures géométriques. Comme chaque
constellation a un nombre qui lui est associé, chaque objet
doit être associé à un nombre qui lui est propre. C’est ce
qu’exprime le pythagoricien Philolaos de Crotone en disant :
Toute chose a un nombre; c’est pourquoi il est impossible qu’une chose sans nombre puisse être conçue ou
connue.
Selon Aristote, l’arithmétique, la géométrie et la physique
étaient un même champ de connaissance pour les pythagoriciens. Un point géométrique, un grain de matière et
l’unité arithmétique constituaient un même concept. Les
nombres étaient représentables par des agencements géométriques de points et ces agencements permettaient d’en
déduire les propriétés. La doctrine pythagoricienne, telle
que nous la décrit Aristote, repose sur la conviction que
l’Univers est entièrement régi par les nombres entiers. Les
pythagoriciens auraient été convaincus qu’en découvrant
les lois numériques qui gouvernent le monde, ils pourraient prétendre au divin et à l’immortalité.
2 Pythagore
Dans leur classification des nombres, on retrouve :
• la monade ou unité, c’est le principe d’identité;
• la dyade, c’est le nombre deux qui est considéré comme
le premier nombre, il est pair et féminin, c’est le
principe de non-contradiction;
• la triade, c’est le nombre trois, premier nombre impair, il est masculin;
• la décade ou nombre dix qui est la somme des points
de la Tetraktys. La Tetraktys est un symbole ésotérique fondamental pour les pythagoriciens.
Monade Dyade
Triade
Tétraktys
NOMBRES PAIRS ET NOMBRES IMPAIRS
Les nombres pairs sont les nombres qui peuvent se diviser
en deux parties égales et les nombres impairs sont les
nombres qui ne peuvent se diviser en deux parties égales.
Les pythagoriciens pouvaient apprécier cette propriété
visuellement grâce à la représentation des nombres par
des points dans le sable ou par des regroupements de
cailloux.
GÉOMÉTRIE DES NOMBRES
Les pythagoriciens ont développé une classification des
nombres basée sur leur configuration géométrique lorsque les nombres sont représentés par des points.
Nombres triangulaires
Un nombre triangulaire est un nombre dont les points
peuvent se disposer de façon à former un triangle. Les
cinq premiers nombres triangulaires sont représentés dans
l’illustration suivante.
1
3
6
10
15
On remarque que chaque nombre correspond à une somme
d’entiers. L’ajout d’une ligne extérieure signifie l’ajout
d’un nombre entier de points. Le nombre triangulaire de
rang n est la somme
1 + 2 + 3 + ... + n.
Nombres oblongs
Un nombre oblong est un nombre dont les points peuvent
se disposer de façon à former un rectangle ayant une
colonne de plus que de lignes. Les quatre premiers nombres oblongs sont représentés dans l’illustration suivante.
2
6
12
20
Les nombres oblongs sont des nombres rectangulaires
dont un des côtés comporte un point de plus que l’autre
côté. On obtient donc une formulation générale des nombres oblongs qui, en écriture moderne, donne :
On = n (n + 1).
où On représente le nombre oblong de rang n. Rappelons
que pour les pythagoriciens, 0 n’existe pas.
On constate assez facilement que les points d’un nombre
oblong peuvent être divisés en deux nombres triangulaires
égaux.
2
6
On a donc :
2Tn = On
= n (n + 1).
On obtient alors :
12
20
Pythagore 3
Le nombre triangulaire de rang n est :
Tn =
Définition
n(n + 1) .
2
Gnomon
Cela signifie que l’on peut trouver directement le nombre
triangulaire de rang 6. En effet,
T6 =
6 (6 + 1)
= 21.
2
L’illustration précédente permet d’énoncer la conjecture
suivante :
Nombres carrés
Un nombre carré est un nombre dont les points peuvent se
disposer de façon à former un carré. Les cinq premiers
nombres carrés sont représentés dans l’illustration suivante.
1
4
9
16
Un gnomon est la chose qui ajoutée à quelque chose
d’autre, figure ou nombre, forme un tout semblable
à la chose à laquelle elle a été ajoutée.
25
Cette illustration nous suggère l’énoncé suivant :
Le nombre carré de rang n est la somme des n premiers
nombres impairs. Soit :
Cn = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n – 1) = n2.
Nombres pentagonaux
Un nombre pentagonal est un nombre dont les points
peuvent se disposer de façon à former un pentagone. Les
cinq premiers nombres pentagonaux sont représentés dans
l’illustration suivante.
1
5
12
22
35
Le nombre carré de rang n est :
Cn = n2.
On peut construire le nombre carré de rang n en ajoutant
des bandes comme dans l’illustration suivante. Ces bandes forment le gnomon du nombre.
1
4
9
16
25
Nombres tridimensionnels
On peut facilement poursuivre cette représentation des
nombres avec les nombres hexagonaux, heptagonaux, octogonaux, ainsi de suite. On peut également considérer les
structures tridimensionnelles. Ainsi, les trois premiers
nombres cubiques sont :
1
En astronomie, le gnomon désigne l’assemblage formé
d’une tige fixée perpendiculairement à un plan et servant
de cadran solaire. En géométrie, le gnomon désigne une
équerre. Dans l’illustration précédente, les points ajoutés
forment une équerre qui est le gnomon de la figure ou du
nombre. Héron d’Alexandrie (vers 75 à 150 ap. J.C.) en
donne la définition suivante :
8
27
Les trois premiers nombres pyramidaux à base triangulaire sont :
4 Pythagore
1
10
4
Les pythagoriciens sont devenus assez rapidement familiers avec les nombres premiers. Philolaos faisait la distinction entre les nombres premiers qui sont
indécomposables et le nombres secondaires qui sont composés.
NOMBRES PARFAIT, DÉFICIENT, ABONDANT
Définition
DIVISIBILITÉ DES NOMBRES
Nombre parfait
En représentant les nombres par des points on visualise
une autre caractéristique des nombres, la divisibilité en
parties entières.
Un nombre parfait est un nombre qui est la somme de
ses diviseurs propres. Les diviseurs propres d’un
nombre étant les diviseurs entiers positifs différents
du nombre.
ιβ = 12
ιβ = 12
L’appellation diviseurs propres est une appellation moderne. Dans l’arithmétique ancienne, on appelait partie
aliquote d’un nombre tout diviseur différent du nombre
lui-même.
ιβ = 12
ιβ = 12
Le nombre 12 est divisible par 2 puisque l’on peut regrouper les cailloux en 2 paquets de 6. Il est également divisible par 4 puisque l’on peut former 4 paquets de 3 cailloux.
De la même façon, il est divisible par 3 et par 6.
NOMBRES PREMIERS
Dans une telle représentation, un nombre premier est un
nombre dont les points ne peuvent se regrouper que d’une
seule manière.
β=2
ς=7
ιγ = 13
ις = 17
γ=3
ν=5
ια = 11
Le nombre 6 est un nombre parfait car il est la somme de
ses diviseurs propres, en effet 1 + 2 + 3 = 6. Les diviseurs
propres de 28 sont 1, 2, 4, 7, 14. Or,
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Le nombre 28 est la somme de ses diviseurs propres. C’est
donc un nombre parfait.
Définition
Nombre déficient
Un nombre est déficient s’il est plus grand que la
somme de ses diviseurs propres. Il est abondant s’il
est plus petit que la somme de ses diviseurs propres.
Les diviseurs propres de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6. Or,
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16
Le nombre 12 est donc abondant car il est plus petit que la
somme de ses diviseurs propres.
Les diviseurs propres de 15 sont 1, 3, 5. Or,
1+3+5=9
Le nombre 15 est donc déficient car il est plus grand que
la somme de ses diviseurs propres.
Pythagore 5
Le néopythagoriciens Nicomaque de Gerasa qui vécut
probablement au deuxième siècle de notre ère donne les
quatre nombres parfaits 6, 28, 496 et 8 128. Il fournit de
plus la règle suivante :
Quand la somme
1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n = p
est un nombre premier, alors 2np est un nombre parfait.
Ainsi,
1+2=3
est un nombre premier et 2 ¥ 3 = 6 est un nombre parfait.
1 + 2 + 22 = 7
est un nombre premier et 22 ¥ 7 = 28 est un nombre parfait.
suisse Leonhard Euler dévoila en 1747 une liste de 30
paires de nombres amicaux, liste qu’il étendit par la suite
à 60 paires. Un italien de 16 ans Nicolo Paganini découvrit en 1866 une paire de nombres amicaux qui avait
échappée à tous les mathématiciens qui s’étaient intéressés à ces nombres, ce sont les nombres 1 184 et 1 210. La
venue des ordinateurs a permis d’allonger la liste des
nombres amicaux à plus de 1 000 paires, ce qui diminue
beaucoup le caractère magique de ces nombres.
TRIPLETS PYTHAGORICIENS
Durant ses voyages, Pythagore avait appris la propriété
suivante :
Les triangles dont les mesures des côtés sont proportionnelles aux nombres 3, 4 et 5 sont rectangles.
Il est possible que cette formule ait été connue de Pythagore.
NOMBRES AMIABLES (OU AMICAUX)
Deux nombres sont amiables (ou amicaux) si chacun est
la somme des diviseurs propres de l’autre. On attribue à
Pythagore la découverte des nombres amiables 284 et
220. On peut facilement vérifier que la somme des diviseurs propres de 284, soit 1, 2, 4, 71, 142 donne 220 et que
la somme des diviseurs propres de 220, soit 1, 2, 4, 5, 10,
11, 20, 22, 44, 55, 110 donne 284. Il va sans dire que ces
nombres ont joué un rôle important dans la magie, la
sorcellerie, l’astrologie et le calcul des horoscopes.
Au XIe siècle, la mathématicien et astronome Thabit Ibn
Querra De Harrah, originaire de Bagdad, a énoncé que :
Si a = 3¥2n – 1, b = 3¥2n–1 – 1 et b = 9¥22n–1 – 1 sont
premiers, alors 2nab et 2nc sont amiables.
En 1636, Pierre de Fermat a utilisé cette règle pour obtenir
deux autres nombres amicaux. En effet, pour n = 4, la
règle donne :
a = 3¥24 – 1 = 47; b = 3¥23 – 1 = 23; b = 9¥27 – 1 = 1 151.
Ces trois nombres sont premiers et
2nab = 24 ¥ 47 ¥ 23 = 17 296 et 2nc = 24 ¥ 1 151 = 18 416
sont des nombres amiables. À l’aide de cette même règle,
Descartes a obtenu un autre couple de nombres amiables
pour n = 7. À la suite d’une recherche systématique, le
3
Il semble que les scribes égyptiens savaient que
l’on peut former un angle droit à l’aide d’une
corde sur laquelle des nœuds marquent les longueurs 3, 4 et 5. Il suffit de disposer la corde
pour former un triangle dont les noeuds seront
les sommets. Cette propriété était connue également des babyloniens comme en témoigne la
tablette d’argile appelée Plimpton 322.
4
Les pythagoriciens, habitués à la représentation
ponctuelle des nombres,
pouvaient facilement dé5
tecter une relation intéres5
4
sante du carré de ces
nombres. En effet, le carré
du plus petit de ces nom3
bres est le gnomon du
carré du second pour donner le carré du plus grand des
trois.
9
16
25
6 Pythagore
Ce qui en écriture moderne donne :
5 2 = 42 + 32
C’est-à-dire que 9 est le gnomon de 16 et, en lui ajoutant
ce gnomon, on obtient le nombre carré 25. Les pythagoriciens ont tout naturellement cherché à connaître tous les
nombres carrés décomposables en une somme de deux
carrés. Comme ils avaient déjà montré avec la notion de
gnomon que tout nombre carré n2 est la somme du nombre
carré (n – 1)2 et du nombre impair (2n – 1), soit :
n2 = (n – 1)2 + (2n – 1),
il suffisait donc de déterminer les nombres impairs qui
étaient des carrés. C’est-à-dire les nombres m tels que :
m2 = (2n – 1).
Il est alors facile de trouver les trois nombres. Par exemple, 49 est un nombre impair carré. En posant :
m2 = (2n – 1) = 49,
on trouve m = 7, n = 25 et n – 1 = 24. Ces trois nombres
satisfont la relation
252 = 242 +72.
De façon générale, si m2 est un nombre impair, alors
m2 = (2n – 1) et on a ;
2
n = m +1
2
m2 + 1
En posant (2n – 1) = m2 et n =
dans l’expression
2
n2 = (n – 1)2 + (2n – 1),
2
2
on obtient :
Ê m 2 + 1ˆ
Ê m2 + 1 ˆ
2
=
Ë 2 ¯
Ë 2 – 1¯ + m ,
d’où :
Ê m 2 + 1ˆ
Ê m 2 – 1ˆ
2
=
Ë 2 ¯
Ë 2 ¯ +m
2
2
La démarche suivie pour obtenir cette formule permettant
de trouver rapidement des triplets pythagoriciens est très
intéressante. C’est une démarche de généralisation. En
utilisant les caractéristiques d’un triplet pythagoriciens,
on a déterminé une procédure pour trouver d’autres triplets du même genre.
THÉORÈME DE PYTHAGORE
Pour les pythagoriciens, les produits de nombres représentaient des aires de rectangles et les nombres carrés
représentaient des aires de carrés. La relation entre les
carrés des nombres était donc la manifestation d’une relation entre les aires des carrés construits sur les côtés d’un
triangle rectangle. Cette propriété nous est connue sous
l’appellation Théorème de Pythagore.
Théorème de Pythagore
L’aire du carré construit sur
l’hypoténuse est égale à la
somme des aires des carrés
construits sur les côtés de l’angle droit.
Si les pythagoriciens disposaient d’une démonstration
générale de ce théorème, elle était probablement basée sur
le fait que l’aire d’un parallélogramme est égal à l’aire du
rectangle ayant même base et même hauteur. Dans les
deux cas, l’aire est le produit de la base par la hauteur
comme l’illustre la figure suivante.
h
Cette expression, qui aurait été connue de Pythagore,
permet de trouver des triplets pythagoriciens en donnant à
m des valeurs impaires plus grandes ou égales à 3. Ainsi,
en posant m = 3, on obtient :
h
b
52 = 42 +32.
En posant m = 5, on obtient :
132 = 122 +52.
Voyons comment on peut utiliser cette propriété pour
démontrer le théorème de Pythagore. Considérons un triangle ABC, rectangle en A, et les carrés construits sur les
côtés du triangle.
Pythagore 7
Du sommet A du triangle, abaissons une perpendiculaire à l’hypoténuse et prolongeons cette
perpendiculaire jusqu’à sa rencontre avec le côté opposé du carré
construit sur l’hypoténuse. La perpendiculaire abaissée divise le carré
construit sur l’hypoténuse en deux
rectangles.
A
C
B
COMMENSURABILITÉ
Chacun de ces parallélogramme a
un côté de l’angle droit comme base.
La hauteur de chaque parallélogramme est, celle du carré construit
sur le même côté. L’aire de chaque
parallélogrammes est donc égale à
l’aire d’un carré construit sur les
côtés de l’angle droit.
La somme des aires des parallélogrammes est donc égale à la somme
des aires des carrés construits sur
les côtés de l’angle droit. De plus,
par construction, la somme des aires
des parallélogrammes est égale à
l’aire du carré construit sur l’hypoténuse. Puisque deux quantités égales à une même troisième sont égales
entre elles, on peut conclure que :
Pour comprendre ce qu’est la commensurabilité, illustrons le concept par un exemple. Considérons un segment
de droite AB de longueur quelconque.
A
C
B
Ceux-ci ont même aire que les parallélogrammes dont les côtés sont
parallèles aux côtés de l’angle droit
du triangle rectangle. On peut déplacer ces parallélogrammes par
translation pour faire coïncider leur
côté avec ceux du triangle, l’aire
demeure constante.
A
C
E
A
C
B
A
B
C
B
Commune mesure
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
D
F
On peut, en reportant ce segment un nombre fini de fois,
construire un deuxième segment dont la longueur est un
multiple de celle du segment AB. Par exemple, la longueur du segment CD de la figure est sept fois celle du
segment AB. De même, la longueur du segment EF est
quatre fois celle du segment AB. On peut dire que le
segment AB est une commune mesure des segments CD et
EF, car on peut reporter un nombre entier de fois la
longueur AB dans chacun de ces deux segments.
Les segments CD et EF sont commensurables, car ils ont
une commune mesure. En effet, on peut reporter la mesure
AB un nombre entier de fois sur chacun de ces segments.
Dans cet exemple, le rapport des longueurs est
CD 7
= .
EF 4
A
B
C
Inversons le problème. Si deux segments quelconques GH
et IJ sont donnés, peut-on toujours trouver un segment qui
soit commune mesure de GH et IJ ?
G
I
A
L’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des
aires des carrés construits sur les
côtés de l’angle droit.
Il existe plusieurs autres démonstrations du théorème de
Pythagore utilisant des écritures plus modernes. Le lecteur aura à refaire certaines de ces démonstrations en
exercice.
B
C
H
J
C’est à-dire, peut-on trouver un segment KL de telle sorte
qu’il soit possible de reporter un nombre entier de fois la
longueur de KL sur les segments GH et IJ ? C’est loin
d’être évident.
8 Pythagore
Les pythagoriciens croyaient à la commensurabilité. Pour
eux, les segments de droites sont formés de parties indivisibles, les points, dont le nombre peut être indéterminé
mais le rapport des segments, qui est le reflet du nombre
de ces points, peut être connu. Il faut signaler que ce
rapport n’est pas considéré comme un nombre. Cette
conviction les a encouragés à poursuivre leurs recherches
pour expliciter le rapport des segments de figures géométriques sous forme de proportions.
Rapports et proportions
Citons quelques-uns des résultats
C
obtenus par l’étude des rapports entre grandeurs physiques. Les figures
A
B
C'
semblables dont les lignes homologues sont proportionnelles constitue
B'
une facette importante des rapports A'
et proportions. Ainsi, dans les triangles semblables ABC et A'B'C' ci-contre, le rapport de la
longueur des bases est :
Lignes homologues et proportionnalité
Dans les figures semblables, les lignes
homologues sont proportionnelles.
D
B
C
A
D'
AB = AC = BC = DB
A' B' A' C' B' C' D' B'
B'
A'
Tous les cercles étant semblables, on a :
C1
C1 r1
=
C2 r2
r1
C2
Par les propriétés des proportions, on obtient :
r2
C1 C2
=
r1
r2
Ce qui permet de conclure que le rapport de la circonférence d’un cercle à son rayon est constant. Ce rapport est
le nombre 2p, mais ce n’est qu’en 1768 que le mathématicien Johann Lambert a démontré que p est un nombre
irrationnel.
AB
A' B'
Ce qui est assez intéressant, c’est l’égalité des trois rapports
AB = AC = BC
A' B' A' C' B' C'
qui constitue une proportion et qui caractérise ces triangles semblables.
Il est à remarquer que ces rapports n’étaient pas utilisés
pour effectuer des calculs mais seulement dans le but de
découvrir les lois cachées et accéder à la vraie connaissance.
Définition
Proportion
Une proportion est une égalité de deux rapports.
Surfaces et proportionnalité
Dans les figures semblables, les aires
sont proportionnelles au carré des lignes homologues.
A1 b12 h12
=
=
A2 b2 2 h2 2
h1
A1
b1
A2
h2
b2
A1
r1
A1 r12
=
A2 r2 2
A2
Par les propriétés des proportions, on
peut transformer cette proportion pour
obtenir:
r2
A1 A2
=
r12 r2 2
Ce qui permet de conclure que le rapport de l’aire du
cercle au carré de son rayon est constant. Ce rapport est p.
Pythagore 9
Volumes et proportionnalité
Dans les solides semblables, les volumes sont proportionnels au cube
des lignes homologues.
V2
V1
c1
V1 c13
=
V2 c2 3
ment une caractéristique intéressante, la somme des n
premiers termes, appelée somme partielle, de cette progression donne le nombre carré de rang n. En effet,
C1 = 1 = 12
C2 = 1 + 3 = 4 = 22
C3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32
C4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
. . . . . . . . . .
Cn = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2
c2
V1 c13 h13
=
=
V2 c2 3 h2 3
La similitude des sphères donne :
V1 r13
=
V2 r2 3
h1 V
1
c1
Chaque nombre pentagonal peut également être considérés comme une somme partielle d’une progression arithmétique.
h2 V2
c2
d’où l’on obtient :
V1 V2
=
r13 r2 3
1
V2
V1
r1
5
12
22
35
r2
Le rapport du volume de la
sphère au cube de son rayon est
constant. La constante est 4p/3.
Ces résultats sont très intéressants mais n’impliquent pas,
contrairement à ce que croyaient les pythagoriciens, qu’il
existe dans chaque cas une commune mesure. Le rapport
n’est pas nécessairement un nombre rationnel. C’est ce
que les pythagoriciens vont apprendre bientôt.
SUITES ET PROGRESSIONS
Une suite est un ensemble ordonnée de nombres. Une
suite peut être croissante ou décroissante selon la façon
dont les termes sont ordonnés.
Définition
Progression arithmétique
Une progression arithmétique est une suite ayant
comme caractéristique que chaque nombre de la suite
est égal au précédent augmenté d’un nombre constant que l’on appelle la raison de la progression
arithmétique. Les nombres d’une progression sont
appelés les termes de la progression.
Ainsi, les nombres impairs {1; 3; 5; 7; 9; ...} forment une
progression arithmétique de raison 2. On remarque facile-
En effet, le nombre pentagonal de rang n est la somme des
n premiers termes de la progression arithmétique :
{1; 4; 7; 10; 13; ...; (3n – 5); (3n – 2); ... }
On peut exprimer la somme des n premiers termes de deux
façons, soit :
Pn = 1 + 4 + 7 + ... + (3n – 5) + (3n – 2)
et Pn = (3n – 2) + (3n – 5) ... + 7 + 4 + 1.
En additionnant terme à terme, on obtient :
2Pn = (3n – 1) + (3n – 1) + ... + (3n – 1) + (3n – 1)
La somme comporte n termes qui sont tous égaux à
(3n – 1). On a donc :
2Pn = n (3n – 1)
d’où : Pn =
n(3n – 1)
.
2
On obtient donc la forme générale d’un nombre pentagonal de rang n qui nous permet de trouver directement le
nombre pentagonal de rang n. Ainsi, par exemple, le
nombre pentagonal de rang 12 est :
P12 =
12 (3 ¥ 12 – 1)
= 6 ¥ 35 = 210 .
2
10 Pythagore
Les nombres gnomoniques que l’on additionne successivement pour obtenir les nombres pentagonaux forment
une progression arithmétique de raison 3 et dont le premier terme est 1.
De façon générale, les nombres gnomoniques que l’on
additionne successivement pour obtenir les nombres polygonaux à k côtés forment une progression arithmétique
de raison k – 2 et dont le premier terme est 1. On peut
donc, en procédant de la même façon que pour les nombres pentagonaux, déterminer la forme générale d’un
nombre polygonal à k côtés de rang n.
LES MOYENNES
Les pythagoriciens distinguaient trois types de moyenne
entre deux nombres, la moyenne arithmétique, la moyenne
géométrique et la moyenne harmonique.
Définition
Moyenne arithmétique
Un nombre c est la moyenne arithmétique de deux
nombres a et b, si ces trois nombres sont en progression arithmétique.
Il faut que la suite {a, c, b} forme une progression arithmétique. On a donc :
{a, c, b} = {a, a + d, a + 2d},
Définition
Progression géométrique
Une progression géométrique est une suite ayant
comme caractéristique que chaque nombre de la
suite est obtenu du précédent en le multipliant par
une valeur constante que l’on appelle la raison de la
progression géométrique.
Ainsi, la suite {1; 2; 4; 8; 16; ...} est une progression
1 1 1 1
géométrique de raison 2 et la suite 1, , , , ,... est
3 9 27 81
une progression géométrique de raison 1/3.
{
}
De façon générale, une progression géométrique est une
suite de termes de la forme :
{a, ar, ar2, ar3, ar4, ...}.
d’où b = a + 2d et d = b – a . Le nombre c est alors :
2
c = a + d = a + b – a = 2a + b – a = a + b
2
2
2
La moyenne arithmétique de a et b est donc le nombre c
tel que :
c = a+b.
2
Géométriquement, la moyenne arithmétique est la longueur du côté du carré ayant même périmètre que le
rectangle de côtés a et b.
a
b
c
Définition
Progression harmonique
Une progression harmonique est une suite ordonnée
de nombres ayant comme caractéristique que les
inverses des ces nombres forme une progression
arithmétique.
{
}
1 1 1 1
Ainsi, la suite 1, , , , ... est une progression har2 3 4 5
monique. de façon générale, une progression harmonique
est une suite de termes de la forme :
{1a , a +1 d , a +12d , a +13d ,...}
Définition
Moyenne géométrique
Un nombre g est la moyenne géométrique de deux
nombres a et b, si ces trois nombres sont en progression géométrique.
Il faut que la suite {a, g, b} forme une progression géométrique. On a donc :
{a, g, b} = {a, ar, ar2},
d’où b = ar2 et r =
b . Le nombre g est alors :
a
Pythagore 11
g = ar = a
b
=
a
a2b
= ab .
a
La moyenne géométrique de a et b est donc le nombre c tel
que :
g = ab .
La moyenne géométrique de a et b est représentée géométriquement par le côté du carré ayant même aire que le
rectangle de côtés a et b.
a
g
b
est une proportion. Elle met en relation deux nombres, leur
moyenne arithmétique et leur moyenne harmonique. Les
babyloniens la considéraient comme la proportion la plus
parfaite.
Les moyennes, qui étaient appelées médiétés, peuvent
toutes êtres définies par des proportions. Ainsi, la moyenne
arithmétique de a et b est l’entier c tel que :
a–c
=1
c–b
À partir de cette formulation, on
peut facilement montrer que :
a
b
c
a+b.
c=
2
Définition
Moyenne harmonique
La moyenne harmonique de deux nombres a et b est
l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses
multiplicatifs de ces nombres.
Soit a, b deux nombres, la moyenne arithmétique des
inverses multiplicatifs est :
1+1
a+b
a b = ab = a + b .
2
2
2 ab
La moyenne harmonique de a et b est donc le nombre h tel
que :
2 ab
h=
.
a+b
En exprimant ce résultat sous la forme
h=
ab
,
a+b
2
on constate que la moyenne harmonique est le rapport de
l’aire du rectangle sur le quart de son périmètre. Philolaos
avait découvert que le nombre de sommets d’un cube (8)
est la moyenne harmonique entre son nombre de côtés
(12) et son nombre de faces (6).
Pour les pythagoriciens, toutes
les grandeurs continues : longueur, surface, volume, durée,
pouvaient être identifiées à un
nombre entier. De la même façon, tout nombre entier peut être
identifié à une grandeur.
Ainsi, à des nombres a, b et à
leur moyenne arithmétique c on
peut associer des segments de
droite. En joignant bout à bout
les segments a et b, et en reportant le segment c sur le segment
a + b, on détermine un point qui
divise le segment a + b en proportion arithmétique (médiété
arithmétique).
a
b
c
b
a
d
a–c
=1
c–b
De la même façon, on peut définir la moyenne géométrique g
par la proportion suivante :
a
b
e
a–g a Ê
a – g gˆ
= Á ou
= ˜
g–b g Ë
g – b b¯
L’égalité
2 ab
a = a+b
a+b
b
2
Le segment g divise alors le segment a + b en proportion géométrique (médiété géométrique).
12 Pythagore
On peut définir la moyenne harmonique h par la proportion suivante :
a–h a
=
h–b b
Le segment h divise alors le segment a + b en proportion
harmonique (médiété harmonique).
Les pythagoriciens ont défini jusqu’à dix proportions à
cause de leur vénération de la Tetraktys. Nous ne les
présenterons par toutes, car les seules encore en usage
sont les trois précédentes et la division en extrême et
moyenne raison, ou proportion du nombre d’or, que nous
présenterons plus loin. Signalons que les proportions harmoniques sont présentes dans plusieurs domaines de la
physique: dans l’étude de l’optique, (miroirs et lentilles),
de l’électricité, de l’hydrodynamique et de la gravitation.
1L
1/2
1/2 L
octave
1/3
2/3 L
quinte
1/4
3/4 L
quarte
1/5
1/6
4/5 L
tierce
majeure
5/6 L
tierce
mineure
LA MUSIQUE PYTHAGORICIENNE
Selon la légende, Pythagore, passant devant l’atelier d’un
forgeron, aurait été attiré par les différences de tons et
aurait eu l’idée de peser les marteaux des forgerons pour
expliquer ces différences. Il aurait alors songé à appliquer
ces rapports pour l’étude des cordes vibrantes. Les Babyloniens et les Égyptiens avaient déjà étudiés les cordes
vibrantes. Ils savaient que pour une tension donnée, la
hauteur (donc la fréquence) du son émis par la corde
augmente lorsque la longueur en vibration diminue. Les
pythagoriciens se sont beaucoup intéressés à ce phénomène en utilisant une simple corde sous tension sur une
caisse de résonnance.
À l’aide d’un chevalet mobile sur une échelle graduée, ils
faisaient vibrer une partie de la corde en comparant au son
émis par une corde en pleine longueur. Ils pouvaient ainsi
«écouter » les différentes proportions. Ils ont exprimé les
propriétés des cordes vibrantes en termes de rapports de
nombres naturels. Ainsi, si la moitié de la corde vibre, le
son émis est un octave plus haut que le son émis par la
corde entière. Si les deux tiers de la corde vibrent, le son
est plus élevé de 1/5 que le son produit par la vibration de
la corde entière. Pour eux, les sons harmonieux sont
produits par la vibration de cordes dont les longueurs sont
des rapports de nombres naturels et plus le rapport est
simple, c’est-à-dire exprimé par les nombres de la
Tetraktys, meilleure est la consonance. Ainsi, l’octave, la
quinte, la quarte étaient considérés comme les sons les
plus harmonieux.
Les pythagoriciens ont imaginé que les corps en mouvement dans l’espace émettaient un son inaudible à l’oreille
humaine. Plus la planète est éloignée, plus sa vitesse est
grande et plus le son est élevé. Pour eux, les distances
entre les planètes et les rapports entre leurs vitesses devaient être harmoniquement déterminés. Les sons émis par
les planètes s’harmonisaient entre eux, ces croyances sont
à l’origine des mythes de la musique des sphère et de
l’harmonie céleste.
L’ALGÈBRE PYTHAGORICIENNE
Il n’était pas simple pour les mathématiciens grecs d’établir des relations algébriques car ils ne disposaient pas
d’un système adéquat de représentation des nombres. Ils
ne disposaient pas non plus de symbolisme algébrique
Pythagore 13
comme le nôtre. C’est géométriquement qu’ils démontrent des propriétés algébriques ou qu’ils résolvent des
équations algébriques. Ainsi, pour démontrer l’identité :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
ils ont recours à un carré dont la mesure du côté est a + b.
a
b
sur la diagonale d’un carré est le double de l’aire du
premier carré.
E
A
b ab
b
2
b
a a2
a
ab
a
D
F
B
C
b
En divisant ce carré en deux carrés d’aire a2 et b2 et deux
rectangles d’aire ab, ils obtiennent que l’aire du carré de
côté a + b, soit (a + b)2 est égale à la somme des aires des
carrés d’aire a2 et b2 et des deux rectangles d’aire ab, ce
qui donne :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
NOMBRES IRRATIONNELS
Les pythagoriciens, par leur représentation des nombres,
avaient développé la conviction que l’espace et le temps
sont constitués de parties indivisibles, les points. Ils pouvaient alors conclure que les grandeurs de même nature
sont commensurables et que la connaissance de l’univers
passe par la découverte du rapport entre les grandeurs des
figures géométriques. Cette quête était assez exigeante
mais, les nombreux résultats de proportionnalité de figures semblables semblaient entériner cette conviction.
Leurs recherches pour déterminer le rapport de la diagonale du carré et de son côté, ont connu une conclusion qui
a sapé les fondements de leur conception de l’univers. En
effet, ce qu’ils ont découvert c’est qu’il est impossible
d’exprimer le rapport de la diagonale et du côté du carré
comme quotient de nombre sentiers. Cette découverte
serait l’œuvre du pythagoricien Hippasus de Métaponte
vers 430 av. J.-C.. La découverte d’Hippasus se fonde sur
un résultat hérité des Égyptiens qui avaient démontré, à
l’aide de la figure suivante, que l’aire du carré construit
En effet, l’aire du carré ABCD est égale à deux fois l’aire
du triangle ABC et l’aire du carré AEFC est égale à quatre
fois l’aire du triangle ABC. Hippasus a tiré profit de ce
résultat de la façon suivante :
En supposant que la diagonale et le côté sont commensurables, leurs longueurs s’expriment par des nombres
entiers dans l’unité de la plus grande commune mesure
des deux segments. Les entiers mesurant la diagonale et
le côté sont donc les plus petits possibles, c’est-à-dire
que ces nombres n’ont pas de facteur commun.
Puisque l’aire du carré AEFC est le double de l’aire du
carré ABCD, l’aire du carré AEFC est donnée par un
nombre pair (ce qui signifie pour Hippasus qu’il comporte un nombre pair de points mais cela n’est pas
indispensable ici). Cependant, le carré d’un nombre
impair ne peut jamais donner un nombre pair. La longueur de la diagonale est donc donnée par un nombre
pair. Puisque le carré d’un nombre pair est divisible
par 4, l’aire du carré AEFC est divisible par 4. Cette
aire étant le double de celle du carré ABCD, l’aire du
carré ABCD est également donnée par un nombre pair.
Par conséquent, la longueur du côté du carré ABCD
est également donnée par un nombre pair. La diagonale et le côté du carré ont donc un facteur commun.
Cela contredit le fait que les nombres n’ont pas de
facteur commun.
Cette contradiction vient de l’hypothèse selon laquelle
la diagonale et le côté du carré ont une commune
mesure. Il faut donc rejeter cette hypothèse. La diagonale et le côté du carré sont donc incommensurables.
14 Pythagore
CONCLUSION
Pour les premiers pythagoriciens le rapport de deux segments de droite était nécessairement un nombre rationnel.
Ils admettaient intuitivement la commensurabilité des segments de droite. La découverte de l’impossibilité d’exprimer le rapport de la diagonale et du côté du carré par un
rapport de nombres entiers sapait les fondements de leur
philosophie.
Le rapport de la diagonale du carré à son côté, qui en
écriture moderne, donne le nombre 2 est longtemps demeuré le seul irrationnel connu. En partie parce que les
pythagoriciens en ont gardé jalousement le secret, mais
également parce que c’est le seul rapport dont l’irrationalité avait été démontrée. Selon Platon, Théodore de Cyrène, qui vécut vers 425 av.J.-C., a démontré l’irrationalité
des nombres suivants :
3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 ,
11, 12 , 13 , 15 , 17 .
Tous ces nombres représentent le rapport de deux côtés
d’un triangle rectangle construit à l’aide de la règle et du
compas en tirant profit du théorème de Pythagore. On
peut également les construire de façon à former une spirale qui est appelée spirale des irrationnels.
1. Nombres oblongs
Un nombre oblong est un nombre qui forme un rectangle ayant une colonne de plus que de lignes.
1
1
5
La théorie des proportions a été reformulée par Eudoxe de
Cnide (408 à 355 av. J.-C) qui fut élève de Platon (vers
427-348 av. J.-C.) et du pythagoricien Archytas de Tarente (vers 430 av. J.-C.). Les travaux d’Eudoxe ont été
repris et complétés par Euclide avec qui la théorie des
proportions se dégage complètement du postulat de la
commensurabilité.
EXERCICES
1
1
L’étude des rapports et proportions entreprise par les
pythagoriciens s’est révélée pleine de surprises. Ils ont
découvert plusieurs propriétés des figures géométriques.
Cependant, il ont découvert qu’il est impossible d’exprimer le rapport de la diagonale et du côté du carré comme
rapport de deux nombres entiers. Tant qu’ils n’avaient pas
réussi à déterminer un tel rapport, il pouvaient garder
espoir. Si on ne réussit pas à exprimer le rapport de deux
longueurs comme quotient de deux entiers on ne peut pas
pour autant conclure que ce rapport est impossible. Pour
tirer une telle conclusion, il faut démontrer que cela est
effectivement impossible, ce qui est beaucoup plus exigeant. C’est ce que Hippasus a fait pour le rapport de la
diagonale du carré à son côté. Cette découverte a porté un
dur coup aux pythagoriciens, car elle détruisait le fondement de leur conception de l’univers.
4
3
6
1
2
1
7
1
8
1
Nombres oblongs
9
1
10
1
a) Quelle est la forme générale du gnomon des nombres oblongs ?
b) Trouver les 6 premiers nombres oblongs.
c) Déterminer la forme générale des nombres
oblongs.
2. Que suggère l’analyse de la représentation géométrique suivante des cinq premiers nombres carrés ?
Pythagore 15
1
4
9
16
25
Démontrer cette propriété.
3. Que suggère l’analyse de la représentation géométrique suivante des quatre premiers nombres pentagonaux ?
a) Quel est la forme générale du gnomon des nombres heptagonaux ?
b) Trouver les 6 premiers nombres heptagonaux.
c) Le nombre heptagonal de rang n, que nous noterons Hen, est la somme des n premiers termes
d’une progression arithmétique. Donner la raison
et les six premiers termes de cette progression.
d) Trouver la forme générale des nombres
heptagonaux (terme de rang n).
6. Nombres octogonaux
1
5
12
22
Démontrer cette propriété.
4. Nombres hexagonaux
1
6
15
28
a) Quel est la forme générale du gnomon des nombres hexagonaux ?
b) Trouver les 6 premiers nombres hexagonaux.
c) Le nombre hexagonal de rang n, que nous noterons Hn, est la somme des n premiers termes
d’une progression arithmétique. Donner la raison
et les six premiers termes de cette progression.
d) Trouver la forme générale des nombres hexagonaux (terme de rang n).
a) Quel est la forme générale du gnomon des nombres octogonaux ?
b) Trouver les 6 premiers nombres octogonaux.
c) Le nombre octogonal de rang n, que nous noterons Ocn, est la somme des n premiers termes
d’une progression arithmétique. Donner la raison
et les six premiers termes de cette progression.
d) Trouver la forme générale des nombres octogonaux (terme de rang n).
7. Nombres carrés-cubiques
Un nombre carré-cubique est un nombre qui peut être
disposé pour former un carré ou pour former un cube.
Trouver trois nombres carrés-cubiques.
8. En utilisant l’expression
2
5. Nombres heptagonaux
2
Ê m 2 + 1ˆ
Ê m 2 – 1ˆ
2
Ë 2 ¯ =Ë 2 ¯ +m
où m est un nombre impair plus grand ou égal à 3,
construire un tableau donnant 5 triplets pythagoriciens.
9. a) À partir de la formule du numéro précédent, montrer que l’expression :
16 Pythagore
(m2 + 1)2 = (m2 – 1)2 + (2m)2
permet de déterminer les triplets pythagoriciens
pour m ≥ 2, (où m peut être pair ou impair).
b) À l’aide de cette formule, construire un tableau
donnant 10 triplets pythagoriciens.
10. À partir de la figure donnée, montrer que :
a2 + b2 = c 2 .
b
c
c
c
a
a
b
11. À partir de la figure donnée, montrer que :
a2 + b2 = c 2
c
b
a
b
b–
a
a
c
b
a
b
c
c
a
a
b
13. Soit a et b deux nombres et c leur moyenne arithmétique. Montrer que :
a – c = c – b.
En déduire que :
17. Déterminer trois nombres parfaits différents de 6 et
28 en utilisant la méthode de Nicomaque de Gérase.
Vérifier que les nombres obtenus sont bien parfaits.
18. Démontrer géométriquement les égalités suivantes
(selon la méthode utilisée par les pythagoriciens).
a) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
b) (a – b)(a + b) = a2 – b2
19. Montrer que si p est un nombre premier alors p est
déficient.
a
12. À partir de la figure donnée, montrer que :
a2 + b2 = c 2
ab
16. Vérifier que les nombres 1 184 et 1 210 sont des
nombres amiables.
c
c
b
1 1 1 1
– = –
a h h b
b
b–
a
c
15. Soit a et b deux nombres et h leur moyenne harmonique. Montrer que :
b
b
a
a–g a
a–g g
= et
= .
g–b g
g–b b
c
a
b
En déduire que :
En déduire que : a – h = a .
h–b b
a
a
c
a g
= .
g b
a–c
=1
c–b
14. Soit a et b deux nombres et g leur moyenne géométrique. Montrer que :
20. a) Trouver 12 nombres abondants plus petits que
100.
b) Les nombres trouvés sont-ils les seuls nombres
abondants plus petits que 100 ? Justifier votre
réponse.
21. Montrer algébriquement que 8 fois un nombre triangulaire plus 1 est un nombre carré.
22. Montrer que tout nombre m de la forme 2n est un
nombre déficient.
23. Dans le tableau suivant, déterminer la moyenne arithmétique c et la moyenne harmonique h des nombres
a et b.
Pythagore 17
a
b
2
3
4
5
6
10
12
15
20
6
15
28
45
2
40
6
3
12
c=
a+b
2ab
d=
2
a+b
a
c
h
b
Vérifier que ces nombres forment la proportion suivante :
2 ab
a = a+b
a+b
b
2
soit a/c = h/b.
25. Nombres pyramidaux à base triangulaire
Un nombre pyramidal à base triangulaire est un
nombre dont les points peuvent être disposés pour
former une pyramide à base triangulaire.
a) Trouver les 6 premiers nombres pyramidaux à
base triangulaire.
b) Décrire le nombre pyramidal à base triangulaire
de rang n comme somme partielle d’une suite.
Est-ce la somme partielle des termes d’une progression arithmétique?
c) Vérifier que les six premiers nombres pyramidaux à base triangulaire peuvent être obtenus par
la formule suivante :
PTn =
n(n + 1)(n + 2)
6
où PTn est le nombre pyramidal à base triangulaire de rang n. Croyez-vous que cette formule est
valide pour tout n ? Expliquer.
26. Nombres pyramidaux à base carrée
Un nombre pyramidal à base carrée est un nombre
dont les points peuvent être disposés pour former une
pyramide à base carrée.
a) Trouver les 6 premiers nombres pyramidaux à
base carrée.
b) Décrire le nombre pyramidal à base carrée de
rang n comme somme partielle d’une suite. Estce la somme partielle des termes d’une progression arithmétique?
c) Vérifier que les six premiers nombres pyramidaux à base carrée peuvent être obtenus par la
formule suivante :
PCn =
n(n + 1)(2 n + 1)
6
où PCn est le nombre pyramidal à base carrée de
rang n. Croyez-vous que cette formule est valide
pour tout n ? Expliquer.
27. Nombres pyramidaux à base pentagonale
Un nombre pyramidal à base pentagonale est un
nombre dont les points peuvent être disposés pour
former une pyramide à base pentagonale.
a) Trouver les 6 premiers nombres pyramidaux à
base pentagonale.
b) Décrire le nombre pyramidal à base pentagonale
de rang n comme somme partielle d’une suite.
Est-ce la somme partielle des termes d’une progression arithmétique?
18 Pythagore
c) Vérifier que les six premiers nombres pyramidaux à base pentagonale peuvent être obtenus par
la formule suivante :
PPn =
n 2 (n + 1)
2
où PPn est le nombre pyramidal à base pentagonale de rang n. Croyez-vous que cette formule est
valide pour tout n ? Expliquer.
28. Nombres pyramidaux à base hexagonale
Un nombre pyramidal à base hexagonale est un nombre dont les points peuvent être disposés pour former
une pyramide à base hexagonale.
a) Trouver les 6 premiers nombres pyramidaux à
base hexagonale.
b) Décrire le nombre pyramidal à base hexagonale
de rang n comme somme partielle d’une suite.
Est-ce la somme partielle des termes d’une progression arithmétique?
c) Vérifier que les six premiers nombres pyramidaux à base hexagonale peuvent être obtenus par
la formule suivante :
PHn =
n(n + 1)( 4n – 1)
6
où PHn est le nombre pyramidal à base hexagonale de rang n. Croyez-vous que cette formule est
valide pour tout n ? Expliquer.
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