PROBABILITÉS

CHAPITRE 6
PROBABILITÉS
Corrigés d’exercices
EXERCICE 19 [Bac S 02]
1. Dans un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.), pour une question donnée, 3 réponses sont proposées dont une seule
est exacte.
Un candidat décide de répondre au hasard à cette question.
La réponse exacte rapporte n point(s) et une réponse fausse fait perdre p point(s).
Soit N la variable aléatoire qui associe, à la réponse donnée par le candidat, la note algébrique qui lui sera attribuée
pour cette question.
a) Donner la loi de probabilité de N.
b) Quelle relation doit exister entre n et p pour que l’espérance mathématique de N soit nulle ?
2. À un concours un candidat doit répondre à un Q.C.M. de 4 questions comportant chacune trois propositions de
réponse dont une seule est exacte. On suppose qu’il répond à chaque question, au hasard. Calculer la probabilité qu’il
réponde correctement à 3 questions exactement (donner cette probabilité sous forme de fraction irréductible puis sa
valeur arrondie au centième).
CORRIGÉ
1. a) Notons C la réponse correcte et F1 et F2 les deux réponses fausses. L’expérience aléatoire a ici 3 issues possibles :
• le candidat choisit la r’eponse C ; on a alors N = n ;
• le candidat choisit la réponse F1 ; il obtient donc N = − p ;
• le candidat choisit la réponse F2 ; là aussi, N = − p.
1
Ces 3 issues ont la même probabilité de survenir, autrement dit . Donc N ne peut prendre que deux valeurs : n,
3
1
2
avec la probabilité P(N = n) = , et − p, avec la probabilité P(N = − p) = .
3
3
b) L’espérance mathématique de N est
E(N) = n × P(N = n) + (− p) × P(N = − p) = n ×
1
3
+ (− p) ×
2
3
=
n −2p
3
.
Par conséquent, l’espérance mathématique de N est nulle si, et seulement si, n − 2 p = 0, c’est-à-dire si n est le
double de p.
2. L’épreuve aléatoire est ici constituée de 4 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. En effet, chaque question
aboutit à 2 issues : soit le candidat a choisi la bonne réponse (« succès »), avec une probabilité de 1/3, soit sa réponse est
fausse (« échec »), avec une probabilité de 2/3. On a donc affaire à un schéma de 4 épreuves de Bernoulli de paramètre
1/3. Considérons alors la variable aléatoire X comptabilisant le nombre de succès, autrement dit le nombre de réponses
correctes données par le candidat. On sait que X suit alors la loi binomiale de paramètres 4 et 1/3, donc la probabilité
que le candidat réponde correctement à exactement 3 questions est
1 3 2
1 4−3
8
4 1 3
1−
≈ 0,10.
=4×
× =
P(X = 3) =
3
3
3 81
3 3
Module Mathématiques 11 – Probabilités
CUEEP Littoral
EXERCICE 22 [Bac S 09]
Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3.
On tire simultanément deux jetons de ce sac.
1. a) On note A l’événement « obtenir deux jetons blancs ». Démontrer que la probabilité de l’événement A est égale
à 7/15.
b) On note B l’événement « obtenir deux jetons portant des numéros impairs ». Calculer la probabilité de B.
c) Les événements A et B sont-ils indépendants ?
2. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance mathématique de X.
CORRIGÉ
1. Notons B1 , B2 , . . ., B7 les sept jetons blancs, numérotés de 1 à 7, et N1 , N2 , N3 les trois jetons noirs, numérotés
respectivement 1, 2 et 3.
Le choix des deux jetons se fait simultanément et sans remise ; l’univers Ω des possibles
est donc ici composé des
10
combinaisons de 2 jetons choisis parmi les 10 jetons du sac. Par conséquent, Card(Ω) =
= 45.
2
a) Les cas favorables à l’événement A sont ceux où l’on choisit les 2 jetons parmi les 7 blancs. Le choix est là encore
7
7
Card(A) 21
=
= .
simultané et sans remise, donc Card(A) =
= 21. Par suite, P(A) =
Card(Ω) 45 15
2
b) Il y a exactement 6 jetons portant des numéros impairs, à savoir B1 , B3 , B5 , B7 , N1 et N3 . Le choix s’effectuant
6
Card(B) 15 1
toujours de la même manière, on a Card(B) =
=
= .
= 15, d’où P(B) =
Card(Ω) 45 3
2
c) L’événement A∩B peut s’énoncer « obtenir deux jetons blancs portant
des numéros impairs ». Il existe exactement
2
4
6
= .
4 jetons blancs portant des numéros impairs, donc Card(A ∩ B) =
= 6 et P(A ∩ B) =
45 15
2
7
1
7
Or, P(A) × P(B) =
× =
6= P(A ∩ B). On en déduit que A et B ne sont pas inépendants.
15 3 45
2. La variable aléatoire X peut prendre les valeurs 0, 1 et 2.
7
a) On a établi à la question 1.a que P(X = 2) = P(A) = . En outre, l’événement {X = 0} correspond aux issues
15
3
où les deux jetons obtenus sont noirs. Puisque le sac contient 3 jetons noirs, il existe
= 3 façons de choisir 2
2
1
3
= . Par suite :
jetons noirs, d’où P(X = 0) =
45 15
1
7
7
P(X = 1) = 1 − P(X = 0) + P(X = 2) = 1 −
+
= .
15 15
15
b) E(X) = 0 × P(X = 0) + 1 × P(X = 1) + 2 × P(X = 2) =
–2–
7
15
+2×
7
15
=
21
15
=
7
5