Démonstration Application Écriture en code CLE Addition en code

Devoir maison 4
TS/Spé
2013-2014
EXERCICE
1
Démonstration
m est un entier naturel non nul. a ≡ b (m) équivaut à a − b = km, k ∈ Z.
Démontrer que si a ≡ b (m) et ′ a ≡ b′ (m), alors a + a′ ≡ b + b′ (m) et aa′ ≡ bb′ (m).
Application
x et y sont deux entiers relatifs. On se propose de résoudre le système :
3x + y ≡ 1 (6)
x − y ≡ 3 (6)
1. (a) Démontrer que 4x ≡ 4 (m).
(b) Déduisez-en, à l’aide d’un tableau donnant les restes modulo 6, que 4x ≡ 4 (6) ⇔ x ≡ 1 (6) ou x ≡ 4 (6).
2. En tenant-compte de y ≡ x − 3 (6), déduisez-en les couples (x; y) de solutions du système.
EXERCICE
2
Le code CLE (Code Large Echelle) permet de traiter les grands nombres avec précision. Le but de cet exercice est
d’expliquer son fonctionnement.
Écriture en code CLE
Le nombre 42 se décompose
42 = 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0.
donc l’écriture en base deux est (101010)2 .
On peut écrire aussi : 42 = 25 + 23 + 21 . En code CLE, 42 s’écrira (5, 3, 1)CLE .
1. Écrivez en base dix le nombre écrit (6, 4, 3, 1)CLE en code CLE.
2. Écrivez en code CLE les nombres dont l’écriture décimale est 463 ; 327 et 179.
3. Comment reconnaissez-vous qu’un nombre écrit en code CLE est impair ?
Addition en code CLE
1. Écrivez en code CLE les sommes (7)CLE + (7)CLE et (n)CLE + (n)CLE où n est un entier naturel.
2. Effectuez en code CLE les additions
(13, 10, 7, 4)CLE + (15, 11, 10, 7)CLE
et (21, 13, 12, 7, 5)CLE + (19, 13, 5)CLE
3. Quelle régle de calcul peut-on énoncer au sujet de l’addition des nombres écrits en code CLE ?
Multiplication en code CLE
1. Écrivez en code CLE le produit (m)CLE × (n)CLE où m et n sont des entiers naturels.
2. Calculer (7, 3, 1)CLE × (4)CLE , puis (9, 2)CLE × (7, 3, 1)CLE
3. Quelle régle de calcul peut-on énoncer au sujet de la multiplication des nombres écrits en code CLE ?
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