BCPST 2 2016-2017 Devoir surveillé n°4 ____________________ Problème n°1 : le Millenium Bridge (D’après Concours Mines Ponts PC 2016) Pour marquer le millénaire, une nouvelle passerelle a été construite au-dessus de la Tamise à Londres pour un coût total de plus de 20 millions de Livres Sterling. Quand elle fut ouverte aux piétons on remarqua très vite qu’elle se balançait latéralement et verticalement en cas de forte affluence. Avec un grand nombre de piétons, son mouvement oblique était tel que la plupart d’entre eux s’arrêtaient et s’accrochaient aux rampes. Des images et des vidéos ont montré que ces mouvements latéraux pouvaient avoir une amplitude moyenne de 75 mm et qu’ils se produisaient avec des fréquences de l’ordre du Hertz. Le pont fut donc fermé deux jours après son ouverture au public. Dix-huit mois de recherches furent nécessaires pour résoudre le problème et faire les modifications préconisées par les ingénieurs qui furent donc finalement consultés. L’objectif de ce problème est la compréhension de certains problèmes posés par le Millennium Bridge de Londres en se limitant au modèle d’un oscillateur simple. Les grandeurs complexes sont soulignées. Un point sur une grandeur indique la dérivée par rapport au dx temps de cette grandeur : x . dt Régime libre transitoire Le Millenium Bridge est modélisé par l’oscillateur de la figure 1. Cet oscillateur est constitué d’une masse m, dont le centre d’inertie G est repéré par la position x dans le référentiel galiléen (O, u x ). L’origine O se situe au niveau du sol. L’oscillateur est relié à un support fixe par l’intermédiaire d’un ressort linéaire de raideur k et de longueur à vide l0 ainsi que d’un amortisseur linéaire de viscosité α, exerçant sur m une force de frottement F f x u x . À tout instant t, on assimile la distance OG à la longueur l(t) du ressort. L’ensemble est soumis à l’accélération de la pesanteur avec g g u x et g = 9,81 m.s-2. Figure 1 : oscillateur 1. Déterminer la position du point G à l’équilibre, notée xeq, en fonction de m, k, g et l0. 2. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique, déterminer l’équation différentielle vérifiée par x lors du mouvement du point G. 3. On pose X = x – xeq. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par X peut se mettre sous la forme suivante : X 20 X 02 X 0 On précisera les expressions et significations de ω0 et . 4. Dans le régime libre, le système est mis en vibration uniquement par des conditions initiales non nulles X(0) = X0 ≠ 0 et X V0 0 . Déterminer la solution complète X(t) dans le cas d’un régime transitoire pseudo-périodique. en fonction de ω0, , X0, V0 et t. 5. Dans certains cas, le vent peut induire sur le système une force proportionnelle au vecteur vitesse que l’on écrit Fv x u x , avec β > 0. Quelle peut être la conséquence de ce phénomène ? Régime forcé Différents cas peuvent être examinés pour l’excitation (ou forçage) F(t) de l’oscillateur étudié précédemment. Nous nous placerons dans l’optique d’une passerelle piétonne. L’action de la marche d’un piéton est caractérisée par un contact continu sur la surface du sol puisque le second pied touche le sol avant que le premier ne le quitte. La force engendrée comprend une composante verticale et une composante horizontale non prise en compte dans cette partie. Dans le cadre d’un modèle simplifié, nous représenterons cette force verticale, appelée charge, par un vecteur périodique F t F0 F1 cos2ft . Le vecteur F0 correspond à la force statique, c’est-à-dire au poids du piéton, la fréquence f correspond à celle d’une marche normale. Nous considérerons que F1 0,4 F0 .Ces deux vecteurs seront supposés constants et orientés comme u x . On note F0 F0 le module de la force statique, Y = X + F0/mω02 la réponse en déplacement de l’oscillateur et Y =Ym e jωt sa représentation complexe. On admettra que la réponse en déplacement de l’oscillateur Y vérifie l’équation suivante : F Y 2 0Y 02Y 1 cos(2ft ) m 6. Donner une interprétation de la grandeur Y. Quelle est l’équation différentielle vérifiée par la grandeur complexe Y ? F1 Y exp jt avec = 2f, et on définit la fonction de transfert H . m E Déterminer l’expression de H en fonction de , 0 et . 7. On pose E 8. Exprimer le gain en amplitude G = |H|. Expliquer ce qu’est le phénomène de résonance en amplitude (par analogie avec le phénomène de résonance étudié en électrocinétique). Montrer que si 2 << 1, alors la pulsation à la résonance, notée r, peut être confondue avec 0. On donne dans les documents suivants : Figure 2 : évolution de la charge provoquée par la marche d’un piéton en fonction du temps. Figure 3 : l’évolution du gain en amplitude de la fonction de transfert étudiée précédemment et représentant le comportement du Millenium Bridge. On ne s’intéressera qu’à la courbe 1 sans amortisseur harmonique. BCPST 2 2016-2017 9. En analysant soigneusement les documents fournis, expliquer pourquoi cette passerelle construite sur la Tamise se balançait lors du passage des piétons. Figure 2 : forçage d’une passerelle par la marche d’un piéton Figure 3 : réponse d’un oscillateur harmonique appliqué au modèle du Millenium Bridge. L’axe des abscisses représente la pulsation . Pour des raisons pratiques, la grandeur portée en ordonnée est le gain exprimé en décibel. Il n’est pas nécessaire de connaître sa définition mais il suffit simplement de savoir que l’allure de cette courbe est exactement la même que celle du gain G défini à la question 8. en fonction de la pulsation . Problème n°2 : chute d’une goutte d’eau constituée (D’après concours G2E 2016) On considère la chute verticale d’une goutte d’eau constituée de masse constante de rayon constant, dans l’air uniforme et dans le champ de pesanteur terrestre uniforme. Lors d’une averse, des gouttes de 3 mm de diamètre se forment (à titre d’information il se trouve que les gouttes un peu plus grosses se fragmentent dans leur chute). 10. Estimer par une méthode énergétique la vitesse d’une goutte de pluie au niveau du sol en négligeant les forces de frottement. Ce modèle vous paraît-il réaliste ? En réalité les gouttes atteignent une vitesse de 8 m.s-1 soit environ 30 km/h. On tient compte d’une force de frottement fluide laminaire du type . 11. Estimer l’ordre de grandeur numérique du paramètre α. 12. Vous semble-t-il raisonnable de supposer que les gouttes de pluie chutent à vitesse constante ?