Arithmétique

Arithmétique
I. Division euclidienne
1. Présentation
Une division euclidienne est une division de deux entiers et à quotient entier. Il peut donc y avoir un reste.
La division euclidienne de a par b s’écrit a = b × q + r.
Où q est le quotient et r le reste (et r < b)
Attention : le reste est toujours inférieur au diviseur.
Exemple : division euclidienne de 689 par 37.
689
37
319
18
On écrit 689 = 37× 18 + 23
689 est le dividende
37 est le diviseur
18 est le quotient
23 est le reste (remarquez que 23 < 37)
23
Certaines calculatrices disposent d’une touche pour la division euclidienne :
÷R
des Casio College 2D
2. Vocabulaire
Soient a et b deux nombres entiers positifs (b ≠ 0)
Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, on dit que : a est un multiple de b
b est un diviseur de a
b divise a
a est divisible par b
a
Dans ce cas, il existe un (et un seul) nombre entier k tel que a = k × b ou encore k =
b
Exemples :
168
0
42
4
Division euclidienne de 168 par 4 : le reste est nul donc 168 = 4 × 42
On peut dire que 168 est divisible par 42
ou 42 est un diviseur de 168
168
18
50
3
Division euclidienne de 168 par 50 : le reste n’est pas nul donc 168 = 3 × 50 + 18
Donc 168 n’est pas un multiple de 50
50 n’est pas un diviseur de 168
3. Critères de divisibilité (rappels)
Un nombre est divisible par 2 lorsque il est pair (il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8).
Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme des chiffres qui le compose est un multiple de 3 (est dans
la table de 3).
Un nombre est divisible par 5 lorsque il se termine par 0 ou 5.
Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme des chiffres qui le compose est un multiple de 9 (est dans
la table de 9).
Remarques : Un nombre est toujours divisible par 1.
Un nombre n’est jamais divisible par 0.
II. Liste des diviseurs d’un nombre donné
Exemple :
liste des diviseurs de 75 : 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 25 – 75
III. PGCD
Le PGCD de deux nombres entiers est le Plus Grand Commun Diviseur de ces deux nombres.
Précisons : On dit qu’un nombre est un diviseur commun à deux nombres a et b s’il divise à la fois le
nombre a et le nombre b.
Exemple : Calculer le PGCD de 84 et 147
Diviseurs de 84 : 1 − 2 − 3 − 4 − 6 − 7 − 12 − 14 − 21 − 28 − 42 − 84
Diviseurs de 147 : 1 − 3 − 7 − 49 − 147
Diviseurs communs : 1 − 3 − 7
donc
Plus Grand Commun Diviseur : PGCD (84 ; 147) = 7
Remarque : Si a est un diviseur de b, alors PGCD (a ; b) = a
Exemple : 12 est un diviseur de 240. Donc PGCD (12 ; 240) = 12
IV. Nombres premiers entre eux
Définition :
Deux nombres sont dits premiers entre eux s’ils ont pour diviseur commun uniquement 1.
Remarque :
Deux nombres a et b sont premiers entre eux équivaut à PGCD (a ; b) = 1
Méthode pour montrer que deux nombres NE SONT PAS premiers entre eux :
Trouver un diviseur commun à ces deux nombres.
(essayer mentalement avec les critères de divisibilité ou calculer le PGCD)
Méthode pour montrer que deux nombres SONT premiers entre eux :
Calculer le PGCD et vérifier qu’il vaut 1.
V. Autres méthodes de calcul du PGCD
1. Méthode par soustractions successives.
Cette méthode peut s’utiliser car on a constaté que PGCD(a ; b) = PGCD(a ; b – a) lorsque a et b sont deux
entiers et b ≥ a.
On soustrait le plus petit nombre du plus grand.
On remplace le plus grand des deux nombres par le résultat de la soustraction et on reprend.
On s’arrête lorsque le résultat de la soustraction est 0.
Le PGCD est alors le résultat précédent.
Exemple : PGCD(936 ; 624)
936
− 624
312
624
− 312
312
312
− 312
0
donc PGCD (936 ; 624) = 312
2. Méthode par divisions successives : Algorithme d’Euclide
La méthode par divisions euclidiennes successives est appelée algorithme d’Euclide
On divise le plus grand nombre par le plus petit
On prend le diviseur et le reste de la division et on recommence.
On s’arrête lorsque le reste est nul.
Le PGCD est le dernier reste non nul.
Dividende diviseur reste Division euclidienne
456
132
60
456 = 132 × 3 + 60
Exemple : PGCD (456 ; 132)
132
60
12
132 = 60 × 2 + 12
Le PGCD de 456 et de 132 est 12.
60
12
0
60 = 12 × 5 + 0
Ou
456 132
60 3
132 60
12 2
60 12
0 5
VI. Fraction irréductible
Définition :
a
est dite irréductible lorsque les nombres a et b sont premiers entre eux.
b
C’est à dire que la fraction est sous la forme la plus simple possible.
17
Exemple :
est une fraction irréductible.
13
Une fraction
Propriété :
En simplifiant la fraction
a
par le PGCD des deux nombres a et b, on obtient une fraction irréductible.
b
Remarque : on peut aussi utiliser les critères de divisibilité pour simplifier une fraction.