LES NOMBRES COMPLEXES

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LES NOMBRES COMPLEXES
HISTORIQUE :
Le problème s'est posé de trouver des solutions pour les équations du troisième et du quatrième degré.
Au XVIè siècle ,des italiens dont Cardan ont exprimé les solutions réelles de ce type d'équations.
En 1572, Bombelli montre que ces relations sont aussi vraies si on invente des nombres "impossibles"
comme la racine carrée d'un nombre négatif.
En 1637 , Descartes étudie ces nombres impossibles et les appelle "imaginaires".
On les utilise dans les calculs uniquement pour permettre de trouver des solutions.
En 1777, Euler introduit la notation de i pour –1 et Gauss en 1831 , établit des règles de calculs sur ces
nombres qu'il nomme alors nombres complexes. Il en étend l'utilité à la géométrie et aux fonctions ouvrant
ainsi un nouveau champ de recherche en Mathématiques.
Résolution d'une équation :
x + 3 = 1 n'a pas de solution dans l'ensemble des naturels
on a donc inventé l'ensemble des entiers relatifs pour trouver une solution à x + 3 = 1 : –2.
IN  ZZ .
3x = 1 n'a pas de solution dans l'ensemble des entiers relatifs.
on a donc inventé l'ensemble des rationnels pour trouver une solution à 3x = 1 :
1
.
3
IN  ZZ  Q.
I
x²
= 2 n'a pas de solution dans l'ensemble des rationnels.
on a donc inventé l'ensemble des réels pour trouver une solution à x² = 2 : – 2 et 2.
IN  ZZ  Q
I  IR.
x² = –1 n'a pas de solution dans l'ensemble des réels
on a donc inventé l'ensemble des nombres complexes pour trouver une solution à x² = –1 : i
IN  ZZ  Q
I  IR  C.
I
I Ensemble des nombres complexes :
On admettra l'existence d'un ensemble noté CI , contenant IR , dont les éléments sont de la forme x + iy
avec x et y des réels et i un nombre nouveau dont le carré fait –1.
Les éléments de C
I sont appelés nombres complexes.
Remarques :
IR est inclus dans CI car tout nombre réel peut s'écrire x + 0i .
Le carré du nombre i étant négatif , celui-ci n'appartient pas à IR donc CI est plus grand que IR.
Théorème admis :
On notera z un élément de C.
I
Alors on a z = x + iy
Cette écriture est unique. C'est l'écriture algébrique du complexe z.
x est sa partie réelle. On notera x = Re (z).
y est sa partie imaginaire. On notera y = Im (z).
Exemple : z = 2 + 3i
2 = Re (z) et 3 = m (z).
Propriétés :
Deux complexes sont dits égaux s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
z = z'  x = x ' et y = y'.
Un nombre complexe z dont la partie imaginaire est nulle est un réel ( z = x + 0i = x  IR )
Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est un imaginaire pur ( z = 0 + iy = iy )
0 + 0i = 0 si z = 0 on dira que z est le nombre complexe nul.
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II Règles de calcul dans C
I :
On a défini dans CI , une addition et une multiplication dont les règles sont les mêmes que dans IR.
Exemple :
z = 3 + 2i et z' = – 1 – 4i
On peut calculer z + z' ; z – z' ; 5z ; – z ; zz' ; z² .
z + z' = 3 + 2i + (–1) – 4i = 2 – 2i
z – z' = 3 + 2i – (–1) + 4i = 4 + 6i
5z = 5 ( 3 + 2i ) = 15 + 10i
– z = – ( 3 + 2i ) = – 3 – 2i
zz' = ( 3 + 2i ) ( –1 – 4i ) = –3 – 2i – 12i – 8i² = –3 – 14i –8  (–1) = –3 – 14i + 8 = 5 – 14i.
Les identités remarquables restent également vraies ( attention i² = – 1 )
z² = ( 3 + 2i )² = 9 + 12i + 4i² = 9 + 12i – 4 = 5 + 12i.
( 3 – 2i )² = 9 – 12i + 4i² = 9 – 12i – 4 = 5 – 12i.
( 3 + 2i )( 3 – 2i) = 9 – 4i² = 9 + 4 = 13
III Conjugué et inverse d'un nombre complexe :
1) Conjugué d'un nombre complexe :
Le nombre complexe conjugué de z = x + iy est le nombre complexe , noté z ( z barre )
tel que z = x – iy.
Exemple : z = 3 + 2i
alors z = 3 – 2i
Remarques :
z a aussi un conjugué, noté z , et z = x – iy = x + iy = z.
si z  IR alors z = x + 0i donc z = x – 0i = x = z
z réel  z = z
si z est un imaginaire pur alors z = iy donc z = – iy = – z z imaginaire pur  z = – z
si z = x + iy et z = x – iy donc z + z = 2x = 2Re(z) . z + z = 2Re(z)
z – z = 2iy = 2 Im(z)

z z = ( x + iy ) ( x – iy ) = x² + y² z z  IR.
2) Conjugué d'une somme de deux complexes :
z = x + iy et z' = x' + iy'.
z + z' = x + x' + i( y + y' )
et z + z' = x + x' – i( y + y' ) = x – iy + x' – iy' = z + z' .
Le conjugué de la somme de deux complexes est la somme des conjugués.
z + z' = z + z'
3) Conjugué d'un produit de deux nombres complexes :
zz' = aa' + i² yy' + i( ay' + x'y ) = aa' – yy' + i( ay' + x'y )
zz' = aa' – yy' – i( ay' + x'y ) ; z  z' = ( x – iy ) ( x' – iy' ) = aa' – yy' – i( x'y + ay' ) = zz'
Le conjugué d'un produit de deux nombres complexes est le produit des conjugués.
z  z' = zz' .
Exemple :
z = 3 + 2i et
z' = –1 – 4i . Calculer de deux manières différentes zz' et z² .
zz' = z  z' = ( 3 – 2i )( –1 + 4i ) = –3 + 2i + 12i + 8 = 5 + 14i. zz' = 5 – 14i donc zz' = 5 + 14i.
z² = ( z )² = ( 3 – 2i )² = 9 – 12i – 4 = 5 – 12i ou
z² = ( 3 + 2i )² = 5 + 12i = 5 – 12i.
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4) Inverse d'un nombre complexe non nul , quotient de deux nombres complexes :
z
z
On a vu au 1) que z z = x² + y² donc z 
= 1 ce qui signifie que l'inverse de z est
.
x² + y²
x² + y²
1
L'inverse de z ( si z  0 ) est . Il peut être mis sous la forme x + iy .
z
1
x
y
=
–i
z x² + y²
x² + y²
Exemple : Ecrire sous la forme x + yi le complexe z =
1
.
3 + 2i
1
3 – 2i 3 – 2i 3
2
=
=
= –
i
3 + 2i
9+4
13
13 13
Autre exercice : Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de
4–i
.
1+i
4 – i ( 4 – i ) ( 1 – i ) 4 – 5i – 1 3 – 5i 3 5
=
=
=
= – i.
1+i
(1 + i ) ( 1 – i )
1+1
2
2 2
3
5
est la partie réelle et – est la partie imaginaire.
2
2
5) Conjugué de l'inverse d'un nombre complexe non nul :
Soit z un nombre complexe non nul et
On a alors z 
1
son inverse .
z
1
1
= 1 donc z  = 1
z
z
d'où
1
z    = 1
 z
donc
1 = 1
z
 
z
Le conjugué d'un inverse est l'inverse du conjugué.
1 = 1
 z
 
z
6) Conjugué d'un quotient de deux complexes :
Soit z et z' deux complexes tels que z'  0 .
z
1
=z
z'
z'
donc
 z  = z   1
z'
z'
 
 
d'où
z = z  1 = z
z'
 
z'
z'
Le conjugué d'un quotient de deux complexes est le quotient des conjugués.
z = z
pour tout complexes z et z' ( z'  0 )
z'
 
z'
Exemple :
 3 + 2i  = 3 – 2i
–1 – 4i –1 + 4i


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