CHAPITRE A3 – Nombre dérivé , Tangente , Dérivées et formules usuelles 1 NOMBRE DERIVE ET TANGENTE Soit f une fonction définie sur un intervalle I, C sa représentation graphique dans un repère du plan et A le point de C d'abscisse a. 11/ Nombre dérivé de f en a M f(a+h) C Soit h un réel non nul tel que a + h appartient à I et M point de C d'abscisse a + h. f (a + h ) − f (a ) . h Ce rapport est appelé taux de variation de f entre a et a + h. Ou encore : taux d'accroissement de f en a. Le coefficient directeur de la droite ( AM ) est : r (h ) = f(a) A O a a+h r ( 0 ) n'existe pas, mais on s'intéresse à ce que devient r ( h ) lorsque h se rapproche de 0. DEF Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soient a , h deux réels tel que a ∈ I, a + h ∈ I et h ≠ 0. f (a + h ) − f (a ) Si r (h ) = tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a. h Ce nombre est appelé nombre dérivé de f en a et se note f ‘ ( a ). f (a + h ) − f (a ) On écrit : f ' (a ) = Lim h →0 h Exemple 2 Soit f la fonction définie sur par : f ( x ) = x + x . f est−elle dérivable en 1 ? Si oui, que vaut f ‘ ( 1 ) ? 2 Remarque : On a aussi : f ' (a ) = Lim x →a f (x ) − f (a ) f (x ) − f (a ) . Le nombre tend vers f ' (a ) , quand x tend vers a. x −a x −a 12/ Interprétation graphique Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On note C sa courbe représentative. Soit a un réel tel que a ∈ I. On considère A le point de C d’abscisse a . On supposes que f est dérivable en a . Soit h un réel non nul, tel que a + h ∈ I. On note M le point de C d’abscisse a + h . La droite ( AM ) admet pour coefficient directeur : m ( h ) = KKKKKKK KKKKKKK C A O a Lorsque h se rapproche de 0, la droite ( AM ) se rapproche de la direction de la droite ( AM ) se rapproche de le coefficient directeur de ( AM ) tend vers KKKKKKK = f ‘ ( a ). h →0 KKKKKKK Donc, le coefficient directeur de la ……………………………………………….. est égal à : Lim m(h ) = Lim h →0 On retiendra : f ‘ ( a ) est le coefficient directeur de la tangente à C au point d’abscisse a . On donne ci−dessous la courbe représentative C d'une fonction f définie sur [ − 4 , 8 ]. On considère les points A, B, C, D, E, F et G d'abscisses respectives − 3 , − 2 , 0 , 2 , 3 , 4 et 7. Les tangentes en ces points sont respectivement TA , TB , TC , TD , TE , TF et TG . Exemple Déterminer f ( − 3 ) , f ( − 2 ) , f ( 0 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) , f ( 4 ) et f ( 7 ). TA Déterminer f '( − 3 ) , f '( − 2 ) , f '( 0 ) , f '( 3 ) et f '( 4 ) . On donne f '( 2 ) = 0 et f '( 7 ) = − TE y 5 4 F B 2 . 3 A G TC E 2 1 -3 TB 3 Tracer TD et TG . -2 -1 0 TF C D 1 2 3 4 5 6 7 8 x -1 -2 -3 2/ FONCTIONS DERIVEES DES FONCTIONS USUELLES 21/ Définitions DEF Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I, si f est dérivable en tout réel a de I. f (a + h ) − f (a ) Autrement dit, si pour tout réel a de I, il existe un réel d fini tel que : Lim =d. h →0 h Si f est dérivable sur I, on appelle fonction dérivée de f , et on note f ‘ , la fonction définie sur I, qui à tout réel a de I associe son nombre dérivé f ' (a ) . 22/ Dérivées des fonctions usuelles ( m , p réels ) ( n entier ) Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = mx + p 1 x 2 p 3 x n ( avec n ≥ 1 ) 4 x2 5 x3 6 * * 1 (avec n ≥ 1 ) xn 1 x f est dérivable sur et f ‘ ( x ) = 7 8 1 x2 9 x 10 sin x 11 cos x 12 * + Démonstrations f (a + h ) − f (a ) KKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKK = = = m. h h h f (a + h ) − f (a ) Donc , Lim = f ' (a ) = ………. Par conséquent, f ‘ ( x ) = m pour tout x ∈ . h →0 h 1) Soit a un réel. 2) & 3) Conséquences du cas général précédent. 4) Admise 5) Conséquence du cas général précédent. Mais, cela peut également être démontrer : Soit a un réel. f (a + h ) − f (a ) KKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKKK = = = 2a + h. h h h f (a + h ) − f (a ) Donc , Lim = f ' (a ) = …………. Par conséquent, f ‘ ( x ) = 2x pour tout x ∈ . h →0 h 6) Conséquence du 4) 7) Admise 8) Conséquence du cas général précédent. Mais, cela peut également être démontrer : Soit a un réel. K K KKKKKKK f (a + h ) − f (a ) KKKKK KK KKKKKKK KK 1 1 = = =− × =− a(a + h ) h h h KKKKKK h f (a + h ) − f (a ) Donc , Lim = f ' (a ) = ………. Par conséquent, f ‘ ( x ) = − 12 pour tout x ∈ * . h →0 h x 9) Conséquence du 7) 10) Soit a un réel strictement positif. f (a + h ) − f (a ) KKKKKKKKK a+h + a = × h KKK a+h + a KKKKKKKK = h a+h + a ( = Donc , Lim h →0 ) 1 . a+h + a f (a + h ) − f (a ) + = f ' (a ) = ……… . Par conséquent, f ‘ ( x ) = 1 pour tout x ∈ * . h 2 x 11) & 12) Admises 3/ OPERATIONS SUR LES FONCTIONS DERIVABLES 31/ Dérivée d’une somme TH Soient u et v deux fonctions dérivables sur un ensemble I. Alors, u + v est dérivable sur I et on a : (u + v )' = u '+v ' . Exemples Soit f définie sur * par : f ( x ) = x 3 + 1 − 4x + 3 . x + Soit f définie sur par : f ( x ) = x 4 + x + x − 5 . 32/ Dérivée d’un produit TH Soient u et v deux fonctions dérivables sur un ensemble I. Alors, u × v est dérivable sur I et on a : (u × v )' = u ' v + u v ' . En particulier, soit k une constante réelle. ku est dérivable sur I et on a : (ku )' = k × u ' ( ) En particulier, u 2 est dérivable sur I et on a : u 2 ' = 2u ' u Démonstration Soit a un élément de I. (uv )(a + h ) − (uv )(a ) = u ( h = et Lim h →0 )× v ( ) − u (a )v (a + h ) + u (a )v (a + h ) − u ( )× v ( h u( h ) − u (a ) × v (a + h ) + u (a ) × v (a + h ) − v ( ) h (uv )(a + h ) − (uv )(a ) = (uv )' (a ) = h Exemples 1) f définie sur par : f ( x ) = 5x 2 − 3x + 2 ( 3) f définie sur par : f ( x ) = 2 x 3 − 4x + sin x ) ) ( ( 8) f définie sur par : f (x ) = (3 x − 5) 2 5) f définie sur par : f ( x ) = 2x − 7x + 11 9 + 2 7) f définie sur par : f ( x ) = x + 1 x . ( 2) f définie sur par : f ( x ) = 10x 5 − 3x 3 + 5x 2 − cos x 4) f définie sur * par : f ( x ) = 5 x 2 − 3 4 x 6) f définie sur par : f ( x ) = (2x − 5 ) 7 − 5x 2 ) 2 ) 2 33/ Dérivée de l’inverse d’une fonction TH Soit v une fonction dérivable sur un ensemble I telle que v( x ) ≠ 0 , pour tout x dans I. v' Alors, 1 est dérivable sur I et on a : 1 ' = − 2 . v v v () Démonstration Soit a un élément de I. (v1 )(a + h ) − (v1 )(a ) = v (a1+ h ) − v (1a ) = v (a )×v v(a(a) + h ) − v (av)(×av+(ah +) h ) = v (a ) − v (a + h ) × 1 h h =− v (a + h ) − v (a ) 1 × . h v (a ) × v (a + h ) 1 )(a + h ) − ( 1 )(a ) ( v ' (a ) v v D’où, Lim =− . h →0 34/ Dérivée d’un quotient h v (a ) 2 h v (a ) × v (a + h ) h ) TH Soient u et v deux fonctions dérivables sur un ensemble I telle que v( x ) ≠ 0 , pour tout x dans I. u' v − u v ' Alors, u est dérivable sur I et on a : u ' = v v v2 k v' En particulier, soit k une constante réelle. k est dérivable sur I et on a : k ' = − 2 v v v () () Démonstration u = u × 1 d’où u ' = u ' × 1 + u × 1 ' = KK + u × − KKK = KKKKKK v v v2 v v v KK KK {} {} Exemples 1) Soit f la fonction définie sur \ 1 par : f ( x ) = 1 . 3 3x − 1 2) Soit f la fonction définie sur \ 7 par : f ( x ) = 5 . 4 7 − 4x 3) Soit f la fonction définie sur par : f ( x ) = 2 2 . x +5 4) Soit f la fonction définie sur \ { 1 } par : f ( x ) = 8x + 3 . x −1 3 x + 5 5) Soit f la fonction définie sur par : f ( x ) = 2 . x +1