Démonstrations – Exercices
1)
Dans la figure ci-dessous, les droites d1 et d2 sont parallèles et la mesure de l’angle 7 est de
108°. Trouve la mesure des angles 1 à 6.
Affirmations
Justifications
Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite
m ∠ 1 = 72°
sont supplémentaires (∠ 1 et ∠ 7).
m ∠ 2 = 108°
Les angles opposés par le sommet (∠ 7 et ∠ 2) sont isométriques.
m ∠ 3 = 72°
Les angles opposés par le sommet (∠ 3 et ∠ 1) sont isométriques.
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles
m ∠ 4 = 72°
correspondants (∠ 4 et ∠ 1) sont isométriques.
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles
m ∠ 5 = 108°
m ∠ 6 = 108°
correspondants (∠ 5 et ∠ 2) sont isométriques.
Les angles opposés par le sommet (∠ 6 et ∠ 5) sont isométriques.
2) Voici la vue de côté d’une table de pique-nique. Le dessus de la table et les bancs sont
parallèles au sol. Détermine les mesures des angles 1 à 7.
Affirmations
Justifications
Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite
m ∠ 1 = 106°
sont supplémentaires (∠ 1 et ∠ 74°).
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles
m ∠ 2 = 106°
m ∠ 3 = 106°
alternes-internes (∠ 2 et ∠ 1) sont isométriques.
Les angles opposés par le sommet (∠ 3 et ∠ 2) sont isométriques.
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles
m ∠ 4 = 106°
correspondants (∠ 4 et ∠ 2) sont isométriques.
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles
m ∠ 5 = 74°
m ∠ 6 = 74°
alternes-internes (∠ 5 et ∠ 74°) sont isométriques.
Les angles opposés par le sommet (∠ 6 et ∠ 5) sont isométriques.
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les paires d'angles
m ∠ 7 = 106°
internes (∠ 6 et ∠ 7) situés du même côté de la sécante sont
supplémentaires.
3)
À l’aide de la figure ci-dessous, trouve la mesure de l’angle BCD.
Affirmations
Justifications
m ∠ BCA = 74°
La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est 180°.
Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite
m ∠ BCD = 106°
sont supplémentaires (∠ BCA et ∠ BCD).
4) À l’aide de la figure ci-dessous, trouve la mesure de l’angle DCE.
Affirmations
Justifications
Dans tout triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires
m ∠ BCA = 46°
(∠ BCA et ∠ BAC).
Les angles opposés par le sommet (∠ BCA et ∠ DCE) sont
m ∠ DCE = 46°
isométriques.
5) À l’aide de la figure ci-dessous, trouve la mesure de l’angle ACB.
Affirmations
Justifications
Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite
m ∠ BAC = 76°
sont supplémentaires (∠ BAC et ∠ 104°).
Les angles opposés par le sommet (∠ 61° et ∠ ABC) sont
m ∠ ABC = 61°
m ∠ ACB = 43°
isométriques.
La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est 180°.
6) À l’aide de la figure ci-dessous, trouve la mesure de l’angle ABD. Le segment AB est parallèle
au segment CD.
Affirmations
Justifications
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles
m ∠ EAB = 46°
m ∠ EBA = 42°
correspondants sont isométriques (∠ EAB et ∠ ACD).
La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est 180°.
Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite
m ∠ ABD = 138°
sont supplémentaires (∠ ABD et ∠ EBA).
7) Dans la figure ci-dessous, d1 // d2. La droite MD est la médiatrice (coupe à 90°) du segment
AB. Détermine la mesure de l’angle HBI.
Affirmations
Justifications
Dans tout triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires
m ∠ DAM = 68°
(∠ DAM et ∠ ADM).
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles
m ∠ HBI = 68°
correspondants sont isométriques (∠ DAM et ∠ HBI).
8) Le triangle ABC est rectangle en B. La demi-droite AE est la bissectrice (coupe l’angle en deux
parties égales) de l’angle BAC. La droite EM est la médiatrice (coupe à 90°) du segment AC.
Détermine la mesure de l’angle AEM, si m ∠ BCM = 64°
Affirmations
Justifications
Dans tout triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires
m ∠ BAC = 26°
(∠ BCA et ∠ BAC).
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en
m ∠ EAM = 13°
deux angles isométriques.
Dans tout triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires
m ∠ AEM = 77°
(∠ AEM et ∠ EAM).
9) Dans la figure ci-dessous, AC // EG. La demi-droite FC est la bissectrice (coupe l’angle en
deux parties égales) de l’angle BFG. La mesure de l’angle ABH est 118°. Détermine la mesure
de l’angle FCB.
Affirmations
Justifications
Les angles opposés par le sommet (∠ ABH et ∠ FBC) sont
m ∠ FBC = 118°
isométriques.
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles
m ∠ BFE = 118°
correspondants (∠ BFE et ∠ ABH) sont isométriques.
Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite
m ∠ BFG = 62°
sont supplémentaires (∠ BFG et ∠ BFE).
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en
m ∠ BFC = 31°
m ∠ FCB = 31°
deux angles isométriques.
La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est 180°.
10) DÉFI !!!
Les cadres de vélos sont généralement faits de tubes en acier, en aluminium ou en carbone.
Les cadres des vélos de montagne sont conçus pour résister aux chocs. Les cadres des vélos
de route sont conçus pour favoriser la vitesse. Voici le cadre d’un vélo de route dont les
angles 8 et 10 sont isométriques et dont les tubes A et B sont parallèles. Finalement, tu
connais les mesures d’angles suivantes : m ∠ 3 = 40°, m ∠ 6 = 80° et m ∠ 8 = 70°.
À l’aide de ces informations, trouve la mesure des angles manquants : 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10.
N.B. : Tu n’es pas obligé de trouver les angles selon l’ordre croissant (c’est même impossible
… !)
N.B. : Ce serait une bonne idée de prolonger les Tubes A et B pour mieux voir les deux droites
parallèles et les angles formées (correspondants, etc.)…
Affirmations
Justifications
∠ 8 et ∠ 10 sont isométriques.
m ∠ 10 = 70°
Donnée du problème.
m ∠ 9 = 40°
∠ 8, ∠ 9 et ∠ 10 forment un angle plat.
m ∠ 5 = 60°
La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est 180°.
Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite
m ∠ 7 = 100°
sont supplémentaires (∠ 7 et ∠ 6).
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles
m ∠ 4 = 80°
m ∠ 2 = 60°
alternes-internes (∠ 4 et ∠ 6) sont isométriques.
La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est 180°.
Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite
m ∠ 1 = 120°
sont supplémentaires (∠ 1 et ∠ 2).