precis de maths ecs - algebre 2e annee

Sommaire
Chapitre 1 ■ Révision du programme d’algèbre de première année
5
Fiches de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Sujets d’oraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Chapitre 2 ■ Compléments d’algèbre linéaire
A. Sommes directes – Sous-espaces stables
. . . . . . . . . . . . . .
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
B. Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
C. Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
D. Réduction des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
L’essentiel, mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Chapitre 3 ■ Algèbre bilinéaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
A. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
B. Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
C. Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien – Matrices symétriques . . . .
99
L’essentiel, mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
D.
Chapitre 4 ■ Exercices d’oraux et extraits de problème
de concours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
153
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
B. Énoncés utilisant les chapitres 1, 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
A. Énoncés utilisant les chapitres 1 et 2
4
CHAPITRE
1 Révision du
programme
d’algèbre de
première année
Fiches de Révision
1. Espaces vectoriels – Sous-espaces vectoriels
2. Matrices . . . . . . . . . . . .
3. Familles de vecteurs . . . . . . . .
4. Suites récurrentes linéaires d’ordre deux. .
5. Applications linéaires . . . . . . . .
6. Polynômes . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
8
10
13
14
16
Sujets d’oraux
Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
19
Problèmes
Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse des énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
26
27
5
Chapitre 1 : Révision du programme d’algèbre de première année
Espaces vectoriels – Sous-espaces vectoriels
Soit E un espace vectoriel sur (ou -espace vectoriel).
✓ Sous-espaces vectoriels : cas général
■
F est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel E si et seulement si :
⎧• F E
⎪
⎪• F ⎨
⎪ • F est stable par combinaison linéaire, c’est-à-dire
⎪ ( x, y ) F 2 , ( , ) 2 , x y F.
⎩
Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors F est -espace vectoriel.
■
■
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, F G et F G sont des sous-espaces vectoriels de E.
Soit ( u j ) 1 j p une famille de p vecteurs d’un espace vectoriel E.
L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des p vecteurs de est un sous-espace vectoriel de E appelé sousespace vectoriel engendré par et noté Vect ( ) ou Vect ( u 1, u 2, …, u p ).
✓ Espaces vectoriels de dimension finie
■
■
L’espace vectoriel E est dit de dimension finie lorsqu’il admet une famille génératrice ayant un nombre fini d’éléments.
La dimension de E est le nombre d’éléments commun à toutes les bases de E
dimE n ⇔ Il existe une base de E ayant n éléments
dimE 0 ⇔ E { 0 }.
✓ Sous-espaces vectoriels en dimension finie
Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
■
Tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie et dimF dimE.
■
Si F est un sous-espace vectoriel de E, F E ⇔ dimF dimE .
■
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de l’espace vectoriel E : F G ⇔ ⎨
✓ Espaces vectoriels particuliers
■
■
Si dimF 1 , F est une droite vectorielle,
si dimF 2 , F est un plan vectoriel,
si dimF dimE 1 , F est un hyperplan vectoriel de E.
dim n n
dim n [ X ] n 1
dim np ( ) np .
✓ Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
La somme F G est directe ⇔ F G { 0 }
⇔ Tout vecteur u de F G s’écrit de manière unique u v w avec v F et w G .
Le sous-espace vectoriel F G est alors noté F G .
6
⎧F G
.
⎩ dimF dimG
Fiches de révision
✓ Sous-espaces supplémentaires
■
F et G sont supplémentaires dans E ⇔ E F G
⇔ tout vecteur u de E s’écrit de manière unique u v w avec v F et w G .
⎧E F G
⇔⎨
⎩F G {0}
Si E est de dimension finie n
– tout sous espace vectoriel F de E admet au moins un supplémentaire G dans E et dimE dimF dimG .
– F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E
⇔ Il existe une base F de F et une base G de G telles que la réunion de F et G , soit une base de E.
■
⎧ dimF dimG dimE
⇔⎨
.
⎩F G {0}
7
Chapitre 1 : Révision du programme d’algèbre de première année
Matrices
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
Soit A ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1,1
a 2,1
a i ,1
a n ,1
a 1,2 … a 1, j … a 1,p ⎞⎟
a 2,2 … a 2,j … a 2,p ⎟
⎟
⎟
⎟ une matrice de np ( ) .
a i ,2 … a i ,j … a i ,p ⎟
⎟
⎟
⎟
a n ,2 … a n,j … a n ,p ⎠
On note aussi A ( a i , j ) 1 i n ou ( a i , j ) , les a i , j sont dans .
1 jp
✓ Opérations
■
Soit A et B deux matrices de np ( ) et , alors A B np ( ) et A np ( ) et :
A B (a i , j bi , j)
A ( a i , j )
( n ,p ( ), +, × ) est un -espace vectoriel de dimension np, de base la famille ( E i j ) 1 i n
1 jp
où
j
⎛ 0 0⎞
⎜
⎟
E i j i ⎜ 1 ⎟ ( E i j a n lignes et p colonnes, tous ses coefficients sont nuls sauf celui de la i e ligne et j e colonne
⎜
⎟
qui vaut 1).
⎝ 0 0⎠
p
■
■
Si A np ( ) et B pq ( ) , alors AB nq ( ) et : AB ( c i , j ) avec c i , j a i ,k b k ,j
k =1
(en général AB BA )
Si A et B sont deux matrices de p ( ) , telles que AB BA , alors pour tout n :
n
(A B )n
⎛⎝ nk⎞⎠ A
k Bn k
k =0
✓ Inverse d’une matrice carrée A n ( )
■
■
A inversible ⇔ B n ( ) telle que AB I n ou BA I n (On a alors B A 1 )
⇔ Y n , 1 ( ), le système AX Y a une solution unique (On a alors X A 1 Y ).
Si A est triangulaire ou diagonale,
A inversible ⇔ tous ses éléments diagonaux sont non nuls.
■ Soit A et B deux matrices inversibles de n ( ).
(1) A 1 est inversible et ( A 1 ) 1 A.
(2) AB est inversible et ( AB 1 ) B 1 A 1 .
(3) Pour tout p , A p est inversible et ( A p ) 1 ( A 1 ) p . Cette matrice est notée A p .
t
t
t
1
(4) A est inversible et ( A ) ( A 1 ) .
b ⎞ est inversible si et seulement si ad bc 0 .
⎟
d⎠
1
⎛
⎞
⎛
⎞
1
Dans ce cas, ⎜ a b ⎟ ----------------------- ⎜ d b⎟ .
ad bc ⎝ c a ⎠
⎝ c d⎠
■
8
⎛a
⎜
⎝c