Angles inscrits

Angles et cercles
M
Hypothèses
b
C est un cercle de centre O et de rayon R.
A, B et M sont trois points de C.
m est le point diamétralement opposé à M .
360 x
Vocabulaire
O
Le segment rAB s est une corde de C.
b

Les points A et B définissent sur C deux arcs de cercle d’extrémités A et B :
1. l’arc saillant AB, correspondant au chemin le plus court
entre A et B ;
x
A
b
b
B

m
b
2. l’arc rentrant AB , correspondant au chemin le plus long
entre A et B.
{
{
De même, A et B permettent de définir deux angles de même sommet O :
 
1. l’angle saillant AOB (c’est l’angle habituel, dont la mesure x est comprise entre 0 et 180 ;
2. l’angle rentrant AOB (c’est l’angle dont la mesure est 360 x).

{{

On dit que AOB est l’angle au centre interceptant l’arc AB et que AOB est l’angle au centre interceptant
l’arc AB .
{
{{



AM B est un angle inscrit interceptant l’arc AB.
AmB est un angle inscrit interceptant l’arc AB .
Remarque – Lorsque A et B sont diamétralement opposés, la longueur de AB est égale à la longueur de AB
et les angles AOB et AOB ont la même mesure : 180 .
Objectif : Comparer les angles AOB et AM B, en fonction de la position du point M sur C.
Quelques questions préliminaires
{
{{
{
1. Quelle est la nature du triangle mAM ? Qu’en déduit pour la somme des mesures des angles AmO et
AM O ?
{{
2. Quelle est la nature du triangle OAM ? Qu’en déduit-on pour les angles OAM et AM O ?
3. Comparer les mesures des angles mAO et AmO.
3 MF2
Angles et cercles
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I – M et O sont dans le même demi-plan de frontière pAB q 1
Cas n˚1 : O est à l’intérieur du triangle AM B.
M
b
{ {
1. Prouver que AOm 2AM m.
{
{
{{
2. Quelle relation analogue peut-on écrire entre mOB et mM B.
O
b
3. En déduire une relation entre AOB et AM B.
A
b
b
B
m
b
Cas n˚2 : O est à l’extérieur du triangle AM B.
{ {
Prouver qu’on a encore AOB
M
O
2AM B.
m
A
B
II – M et O sont de part et d’autre de la droite pAB q.
m
{
Prouver que 2AM B
O
AOB.
B
A
M
1. Cela signifie que que M et O sont du même côté de la droite pAB q.
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III – Comparaison d’angles inscrits.
{{ {{
M
N
En utilisant les résultats précédemment établis :
1. Comparer AM B et AN B.
2. Comparer AM B et AP B.
B
A
P
Compléter et apprendre la synthèse suivante :
Synthèse :
1. Si dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre intercepte le même arc de cercle, alors . . . . . .
.....................................................................................................
.....................................................................................................
2. Si dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....................................................................................................
.....................................................................................................
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