CONGRUENCES DANS Z 1 Définition des - univers

CONGRUENCES DANS Z
Jean Chanzy
Université de Paris-Sud
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Définition des congruences :
Soient a et b deux entiers relatifs, et n un entier naturel non nul.
Définition 1.1. On dit que a et b sont congrus modulo n si a et b ont même reste dans la division
euclidienne par n.
Notation : On note a ≡ b (n) ou a ≡ b (mod n).
Théorème 1 a et b ont même reste dans la division euclidienne par n si et seulement si a − b est
divisible par n.
Démonstration :
1. Si a et b ont même reste r dans la division euclidienne par n, a = nq1 + r et b = nq2 + r, avec
q1 ∈ Z, q2 ∈ Z et 0 ≤ r < n. Alors a − b = nq1 + r − (nq2 + r) = n(q1 − q2 ), donc n|(a − b).
2. Réciproquement, si n|(a − b), ∃k ∈ Z tel que a − b = kn.Soit r le reste de la division euclidienne de
b par n, alors b = nq + r, avec q ∈ Z et 0 ≤ r < n. Donc a = b + kn = nq + r + kn = (q + k)n + r,
avec 0 ≤ r < n et (q + k) ∈ Z. r est donc aussi le reste de la division euclidienne de a par n.
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Corollaire 1 D’après le théorème précédent, a ≡ b (n) si et seulement si n|(a − b).
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Propriétés des congruences :
Soient a, b, c, a′ et b′ des entiers relatifs, et n un entier naturel non nul.
Propriétés
1. n|a si et seulement si a ≡ 0 (n),
2. n ≡ 0 (n),
3. a ≡ a (n),
4. Si a ≡ b (n) et b ≡ c (n), alors a ≡ c (n) (on dit que la relation de congruence modulo n est
transitive),
5. Si a ≡ b (n) et a′ ≡ b′ (n), alors a + a′ ≡ b + b′ (n),
6. Si a ≡ b (n) et a′ ≡ b′ (n), alors a × a′ ≡ b × b′ (n),
7. Si a ≡ b (n), alors ∀p ∈ N∗ , ap ≡ bp (n)
8. Simplification dans une congruence : Si a × c ≡ b × c (n) et c est premier avec n, alors
a ≡ b (n).
Démonstration :
1. Conséquence directe du corollaire 1,
2. n|n, donc n|(n − 0) et n ≡ 0 (n),
∗ Université
de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex
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3. n|0, donc n|(a − a), donc a ≡ a (n),
4. Si n|(a − b) et n|(b − c), n|(a − b + b − c) donc n|(a − c),
5. Si n|(a − b) et n|(a′ − b′ ), n|(a − b + a′ − b′ ) donc n|(a + a′ − (b + b′ )),
6. Si n|(a − b) et n|(a′ − b′ ), comme aa′ − bb′ = (a − b)a′ + b(a′ − b′ ), n|(aa′ − bb′ ),
7. Si n|(a − b), comme ap − bp = (a − b)(ap−1 + ap−2 b + . . . + abp−2 + bp−1 , n|(ap − bp ),
8. Pour cette démonstration, nous aurons besoin du théorème de Gauss :
Théorème 2 dit de Gauss Soient α, β et γ trois entiers relatifs non nuls. Si α|βγ et α est
premier avec β, α|γ.
Démonstration du théorème de Gauss : On démontre ce théorème dans le cas d’entiers naturels.
Soient p1 , p2 , . . . , pr les nombres premiers de la décomposition de α, β et γ en facteurs premiers,
et q1 , q2 , . . . , qr , s1 , s2 , . . . , sr , u1 , u2 , . . . , ur des entiers naturels tels qu’on puisse écrire
α = pq11 × pq22 × . . . × pqrr , β = ps11 × ps22 × . . . × psrr et γ = pu1 1 × pu2 2 × . . . × pur r . Comme α|βγ, pour
tout i tel que 1 ≤ i ≤ r, qi ≤ si + ui . Comme α est premier avec β, si qi 6= 0, alors si = 0, et si
si 6= 0, alors qi = 0. Si qi 6= 0, alors qi ≤ ui . Or dans la décomposition de α en facteurs premiers
n’apparaissent que des termes où qi 6= 0, et dans la décomposition de β en facteurs premiers
n’apparaissent que des termes où sj 6= 0, avec j 6= i. Donc les nombres premiers qui apparaissent
dans la décomposition de α n’apparaissent que dans la décomposition de γ et non dans celle de β,
et de plus pour tout i tel que qi 6= 0, qi ≤ ui , donc on a bien α|γ.
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Démontrons maintenant la huitième propriété : Si n|(a × c − b × c), n|((a − b) × c). Comme c est
premier avec n, par le théorème de Gauss, n|(a − b).
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Critères de divisibilité :
1. Un entier naturel est divisible par 10 s’il se termine par 0.
2. Un entier naturel est divisible par 2 s’il se termine par un chiffre pair.
3. Un entier naturel est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
4. Un entier naturel est divisible par 3 (respectivement par 9) si la somme de ses chiffres est divisible
par 3 (respectivement par 9).
5. Un entier naturel est divisible par 4 (respectivement par 25) si le nombre formé par ses deux
derniers chiffres est divisible par 4 (respectivement par 25).
6. Un entier naturel est divisible par 8 (respectivement par 125) si le nombre formé par ses trois
derniers chiffres est divisible par 8 (respectivement par 125).
7. Un entier naturel est divisible par 11 si la différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et
la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11.
Démonstration :
Soit N = an an−1 . . . a1 a0 un entier naturel. On peut écrire
N = an 10n + an−1 10n−1 + . . . + 10a1 + a0 .
1. ∀p ∈ {1; 2; . . . ; n − 1; n}, 10p ≡ 0 (10), donc N ≡ a0 (10). 10|N si et seulement si a0 = 0.
2. ∀p ∈ {1; 2; . . . ; n − 1; n}, 10p ≡ 0 (2), donc N ≡ a0 (2). 2|N si et seulement si 2|a0 .
3. ∀p ∈ {1; 2; . . . ; n − 1; n}, 10p ≡ 0 (5), donc N ≡ a0 (5). 5|N si et seulement si 5|a0 .
4. ∀p ∈ {1; 2; . . . ; n − 1; n}, 10p ≡ 1 (3), donc N ≡ (an + an−1 + . . . + a1 + a0 ) (3). 3|N si et seulement
si 3|(an + an−1 + . . . + a1 + a0 ) (3). Idem pour 9.
5. ∀p ∈ {2; . . . ; n − 1; n}, 10p ≡ 0 (4), donc N ≡ a1 a0 (4). 4|N si et seulement si 4|a1 a0 . Idem pour
25.
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6. ∀p ∈ {3; . . . ; n − 1; n}, 10p ≡ 0 (8), donc N ≡ a2 a1 a0 (8). 8|N si et seulement si 8|a2 a1 a0 . Idem
pour 125.
7. ∀p ∈ {1; 2; 3; . . . ; n−1; n}, 10p ≡ (−1)p (11), donc N ≡ (a0 −a1 +. . .+(−1)n−1 an−1 +(−1)n an ) (11).
11|N si et seulement si 11|(a0 − a1 + . . . + (−1)n−1 an−1 + (−1)n an ).
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