Ensembles de nombres - Intervalles
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Ensembles de nombres - Intervalles Seconde Lycée Beaussier - F.Lagrave 2010/2011 Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 1 / 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Ensemble des réels : l’ensemble de tous les nombres que nous utilisons s’appelle l’ensemble des nombres réels. Il est noté , on le représente usuellement par une droite graduée. √ − 23 −4 Seconde −3 −2 −1 (Lycée Beaussier - F.Lagrave) 0 1 π 2 2 3 Ensembles de nombres - Intervalles 4, 7 4 5 2010/2011 2 / 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Ensemble des réels : l’ensemble de tous les nombres que nous utilisons s’appelle l’ensemble des nombres réels. Il est noté R , on le représente usuellement par une droite graduée. √ − 23 −4 Seconde −3 −2 −1 (Lycée Beaussier - F.Lagrave) 0 1 π 2 2 3 Ensembles de nombres - Intervalles 4, 7 4 5 2010/2011 2 / 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Ensemble des réels : l’ensemble de tous les nombres que nous utilisons s’appelle l’ensemble des nombres réels. Il est noté R , on le représente usuellement par une droite graduée. √ − 23 −4 −3 −2 −1 0 1 π 2 2 3 4, 7 4 5 Chaque nombre réel est représenté par un point de la droite graduée, et tout point de cette droite représente un réel. Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 2 / 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Des réels particuliers : • Les nombres naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 . . . l’ensemble des naturels est noté Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles . 2010/2011 3 / 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Des réels particuliers : • Les nombres naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 . . . l’ensemble des naturels est noté Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles N. 2010/2011 3 / 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Des réels particuliers : • Les nombres naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 . . . l’ensemble des naturels est noté N. • Les nombres entiers relatifs ( nombres entiers ) : . . . ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; . . . l’ensemble des entiers est noté Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles . 2010/2011 3 / 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Des réels particuliers : • Les nombres naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 . . . l’ensemble des naturels est noté N. • Les nombres entiers relatifs ( nombres entiers ) : . . . ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; . . . l’ensemble des entiers est noté Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles Z. 2010/2011 3 / 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Des réels particuliers : • Les nombres naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 . . . l’ensemble des naturels est noté N. • Les nombres entiers relatifs ( nombres entiers ) : . . . ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; . . . l’ensemble des entiers est noté Z. • Les nombres décimaux : ce sont les réels n’ayant qu’un nombre fini de chiffres après la virgule : 3, 68= 368 ou aucun chiffre après la virgule : −2 ; . . . 100 L’ensemble des décimaux est noté D. Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 3 / 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Des réels particuliers : • Les nombres naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 . . . l’ensemble des naturels est noté N. • Les nombres entiers relatifs ( nombres entiers ) : . . . ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; . . . l’ensemble des entiers est noté Z. • Les nombres décimaux : ce sont les réels n’ayant qu’un nombre fini de chiffres après la virgule : 3, 68= 368 ou aucun chiffre après la virgule : −2 ; . . . 100 L’ensemble des décimaux est noté D. • Les nombres rationnels : ce sont les quotients d’entiers, c’est-à-dire les nombres a , avec a ∈ Z et b ∈ Z∗ ( b non nul ) l’ensemble des rationnels est noté Q. b Exemple : Seconde 1 3 ; −3 2 ; −25 car −25 = (Lycée Beaussier - F.Lagrave) −25 1 . Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 3 / 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Des réels particuliers : • Les nombres naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 . . . l’ensemble des naturels est noté N. • Les nombres entiers relatifs ( nombres entiers ) : . . . ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; . . . l’ensemble des entiers est noté Z. • Les nombres décimaux : ce sont les réels n’ayant qu’un nombre fini de chiffres après la virgule : 3, 68= 368 ou aucun chiffre après la virgule : −2 ; . . . 100 L’ensemble des décimaux est noté D. • Les nombres rationnels : ce sont les quotients d’entiers, c’est-à-dire les nombres a , avec a ∈ Z et b ∈ Z∗ ( b non nul ) l’ensemble des rationnels est noté Q. b Exemple : 1 3 ; −3 2 ; −25 car −25 = −25 1 . • Les nombres irrationnels : ce sont les réels qui ne sont pas des rationnels. Exemple : Seconde √ 2; √ 3 ; π. (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 3 / 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Théorème 1 dans Z, Tout élément de N appartient également à Z. On dit que N est c’est-à-dire que N est une partie (ou un sous-ensemble) de Z. On note N ⊂ Z. Théorème 2 a De même, tout entier relatif est un décimal car a = , tout nombre décimal est 1 rationnel car il s’écrit sous forme fractionnaire et tout nombre rationnel est un nombre réel. Ainsi : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 4 / 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Théorème 1 Tout élément de N appartient également à Z. On dit que N est inclus dans Z, c’est-à-dire que N est une partie (ou un sous-ensemble) de Z. On note N ⊂ Z. Théorème 2 a De même, tout entier relatif est un décimal car a = , tout nombre décimal est 1 rationnel car il s’écrit sous forme fractionnaire et tout nombre rationnel est un nombre réel. Ainsi : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 4 / 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Théorème 1 Tout élément de N appartient également à Z. On dit que N est inclus dans Z, c’est-à-dire que N est une partie (ou un sous-ensemble) de Z. On note N ⊂ Z. Théorème 2 a De même, tout entier relatif est un décimal car a = , tout nombre décimal est 1 rationnel car il s’écrit sous forme fractionnaire et tout nombre rationnel est un nombre réel. Ainsi : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R Illustration : je veux comprendre N 0 1 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Théorème 1 Tout élément de N appartient également à Z. On dit que N est inclus dans Z, c’est-à-dire que N est une partie (ou un sous-ensemble) de Z. On note N ⊂ Z. Théorème 2 a De même, tout entier relatif est un décimal car a = , tout nombre décimal est 1 rationnel car il s’écrit sous forme fractionnaire et tout nombre rationnel est un nombre réel. Ainsi : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R Illustration : je veux comprendre N Z 0 1 −3 −7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Théorème 1 Tout élément de N appartient également à Z. On dit que N est inclus dans Z, c’est-à-dire que N est une partie (ou un sous-ensemble) de Z. On note N ⊂ Z. Théorème 2 a De même, tout entier relatif est un décimal car a = , tout nombre décimal est 1 rationnel car il s’écrit sous forme fractionnaire et tout nombre rationnel est un nombre réel. Ainsi : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R Illustration : je veux comprendre N Z D 0, 4 0 1 −3 −7 −5, 7 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Théorème 1 Tout élément de N appartient également à Z. On dit que N est inclus dans Z, c’est-à-dire que N est une partie (ou un sous-ensemble) de Z. On note N ⊂ Z. Théorème 2 a De même, tout entier relatif est un décimal car a = , tout nombre décimal est 1 rationnel car il s’écrit sous forme fractionnaire et tout nombre rationnel est un nombre réel. Ainsi : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R Illustration : je veux comprendre N Z D Q 0, 4 0 1 −3 −7 −5, 7 5 9 −11 3 Ensembles de nombres Les différents ensembles de nombres Théorème 1 Tout élément de N appartient également à Z. On dit que N est inclus dans Z, c’est-à-dire que N est une partie (ou un sous-ensemble) de Z. On note N ⊂ Z. Théorème 2 a De même, tout entier relatif est un décimal car a = , tout nombre décimal est 1 rationnel car il s’écrit sous forme fractionnaire et tout nombre rationnel est un nombre réel. Ainsi : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R Illustration : je veux comprendre −π N Z D Q 0, 4 0 1 −3 −7 −5, 7 5 9 −11 3 √ 2 √ − 3 R Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 4 / 7 Intervalles Soient a et b deux réels tels que a < b. L’ensemble des réels x vérifiant se note a6x6b [a ; b] a6x<b [a ; b[ a<x6b ]a ; b] a<x<b ]a ; b[ x6b ]−∞ ; b] x<b ]−∞ ; b[ a6x [a ; +∞[ a<x ]a ; +∞[ et se représente a b 0,1 a 0,3 b 0,1 a 0,3 b 0,1 a 0,3 b 0,1 0,3 b 0,3 b a 0,3 0,1 a 0,1 Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 5 / 7 Intervalles Soient I et J deux intervalles de R. • L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J est appelé des intervalles I et J et se note . • L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J , (éventuellement aux deux) est appelé des intervalles I et J et se note . Exemple : Soit I = [−2 ; 1], J = [0 ; 4[, K = [2 ; +∞[ et L = [0 ; 1[. Déterminer I ∩ J, I ∪ J, K ∩ L et K ∪ L. Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 6 / 7 Intervalles Soient I et J deux intervalles de R. • L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J est appelé intersection des intervalles I et J et se note . • L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J , (éventuellement aux deux) est appelé des intervalles I et J et se note . Exemple : Soit I = [−2 ; 1], J = [0 ; 4[, K = [2 ; +∞[ et L = [0 ; 1[. Déterminer I ∩ J, I ∪ J, K ∩ L et K ∪ L. Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 6 / 7 Intervalles Soient I et J deux intervalles de R. • L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J est appelé intersection des intervalles I et J et se note I ∩ J . • L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J , (éventuellement aux deux) est appelé des intervalles I et J et se note . Exemple : Soit I = [−2 ; 1], J = [0 ; 4[, K = [2 ; +∞[ et L = [0 ; 1[. Déterminer I ∩ J, I ∪ J, K ∩ L et K ∪ L. Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 6 / 7 Intervalles Soient I et J deux intervalles de R. • L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J est appelé intersection des intervalles I et J et se note I ∩ J . • L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J , (éventuellement aux deux) est appelé réunion des intervalles I et J et se note . Exemple : Soit I = [−2 ; 1], J = [0 ; 4[, K = [2 ; +∞[ et L = [0 ; 1[. Déterminer I ∩ J, I ∪ J, K ∩ L et K ∪ L. Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 6 / 7 Intervalles Soient I et J deux intervalles de R. • L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J est appelé intersection des intervalles I et J et se note I ∩ J . • L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J , (éventuellement aux deux) est appelé réunion des intervalles I et J et se note I ∪ J . Exemple : Soit I = [−2 ; 1], J = [0 ; 4[, K = [2 ; +∞[ et L = [0 ; 1[. Déterminer I ∩ J, I ∪ J, K ∩ L et K ∪ L. Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 6 / 7 Intervalles Soient I et J deux intervalles de R. • L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J est appelé intersection des intervalles I et J et se note I ∩ J . • L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J , (éventuellement aux deux) est appelé réunion des intervalles I et J et se note I ∪ J . Exemple : Soit I = [−2 ; 1], J = [0 ; 4[, K = [2 ; +∞[ et L = [0 ; 1[. Déterminer I ∩ J, I ∪ J, K ∩ L et K ∪ L. I ∩J = Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 6 / 7 Intervalles Soient I et J deux intervalles de R. • L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J est appelé intersection des intervalles I et J et se note I ∩ J . • L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J , (éventuellement aux deux) est appelé réunion des intervalles I et J et se note I ∪ J . Exemple : Soit I = [−2 ; 1], J = [0 ; 4[, K = [2 ; +∞[ et L = [0 ; 1[. Déterminer I ∩ J, I ∪ J, K ∩ L et K ∪ L. I ∩ J = [0 ; 1] Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 6 / 7 Intervalles Soient I et J deux intervalles de R. • L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J est appelé intersection des intervalles I et J et se note I ∩ J . • L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J , (éventuellement aux deux) est appelé réunion des intervalles I et J et se note I ∪ J . Exemple : Soit I = [−2 ; 1], J = [0 ; 4[, K = [2 ; +∞[ et L = [0 ; 1[. Déterminer I ∩ J, I ∪ J, K ∩ L et K ∪ L. I ∩ J = [0 ; 1] Seconde I ∪J = (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 6 / 7 Intervalles Soient I et J deux intervalles de R. • L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J est appelé intersection des intervalles I et J et se note I ∩ J . • L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J , (éventuellement aux deux) est appelé réunion des intervalles I et J et se note I ∪ J . Exemple : Soit I = [−2 ; 1], J = [0 ; 4[, K = [2 ; +∞[ et L = [0 ; 1[. Déterminer I ∩ J, I ∪ J, K ∩ L et K ∪ L. I ∩ J = [0 ; 1] Seconde I ∪ J =[−2 ; 4[ (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 6 / 7 Intervalles Soient I et J deux intervalles de R. • L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J est appelé intersection des intervalles I et J et se note I ∩ J . • L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J , (éventuellement aux deux) est appelé réunion des intervalles I et J et se note I ∪ J . Exemple : Soit I = [−2 ; 1], J = [0 ; 4[, K = [2 ; +∞[ et L = [0 ; 1[. Déterminer I ∩ J, I ∪ J, K ∩ L et K ∪ L. I ∩ J = [0 ; 1] K ∩L = Seconde I ∪ J =[−2 ; 4[ (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 6 / 7 Intervalles Soient I et J deux intervalles de R. • L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J est appelé intersection des intervalles I et J et se note I ∩ J . • L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J , (éventuellement aux deux) est appelé réunion des intervalles I et J et se note I ∪ J . Exemple : Soit I = [−2 ; 1], J = [0 ; 4[, K = [2 ; +∞[ et L = [0 ; 1[. Déterminer I ∩ J, I ∪ J, K ∩ L et K ∪ L. I ∩ J = [0 ; 1] K ∩ L =∅ Seconde I ∪ J =[−2 ; 4[ (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 6 / 7 Intervalles Soient I et J deux intervalles de R. • L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J est appelé intersection des intervalles I et J et se note I ∩ J . • L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J , (éventuellement aux deux) est appelé réunion des intervalles I et J et se note I ∪ J . Exemple : Soit I = [−2 ; 1], J = [0 ; 4[, K = [2 ; +∞[ et L = [0 ; 1[. Déterminer I ∩ J, I ∪ J, K ∩ L et K ∪ L. I ∪ J =[−2 ; 4[ I ∩ J = [0 ; 1] K ∪L = K ∩ L =∅ Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 6 / 7 Intervalles Soient I et J deux intervalles de R. • L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J est appelé intersection des intervalles I et J et se note I ∩ J . • L’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J , (éventuellement aux deux) est appelé réunion des intervalles I et J et se note I ∪ J . Exemple : Soit I = [−2 ; 1], J = [0 ; 4[, K = [2 ; +∞[ et L = [0 ; 1[. Déterminer I ∩ J, I ∪ J, K ∩ L et K ∪ L. I ∪ J =[−2 ; 4[ I ∩ J = [0 ; 1] K ∪ L =[0 ; 1[ ∪ [2 ; +∞[ K ∩ L =∅ je veux comprendre Seconde (Lycée Beaussier - F.Lagrave) Ensembles de nombres - Intervalles 2010/2011 6 / 7
