Master STS — mention mathématiques Année 2010/2011 LTMC. LOGIQUE, THÉORIE DES MODÈLES ET COMPLEXITÉ. Théorie de la complexité : Machines de Turing A. C HAMBERT-L OIR , P. J ORAY Exercice 8. — Soit VMT le langage formé des descriptions 〈T 〉 de machines de Turing T dont le langage L (T ) est vide. Démontrer que ce langage est indécidable. Exercice 1. — Pour chacun des langages suivants, décrire une machine de Turing qui accepte un mot dans l’alphabet {0, 1} si et seulement s’il lui appartient : – L 1 = {w| w contient autant de 0 que de 1 } ; – L 2 = {w| w contient exactement deux fois plus de 0 que de 1 } ; – L 3 = {w| w contient au moins deux fois plus de 0 que de 1 }. Exercice 9. — Soit R MT le langage formé des descriptions 〈T 〉 de machines de Turing T dont le langage L (T ) est un langage régulier. a) Étant donné une machine de Turing M et un mot w , construire une machine de Turing M 0 telle que L (M 0 ) = Σ∗ si M reconnaît w , et L (M 0 ) = {0n 1n ; n > 0} sinon. b) Démontrer que le langage L (M 0 ) = n n {0 1 ; n > 0} n’est pas régulier. c) Démontrer que le langage R MT n’est pas décidable. Exercice 2. — Décrire une machine de Turing qui accepte un mot dans l’alphabet {a, b, c} si et seulement s’il est de la forme a i b j c k , où i , j , k sont des entiers tels que k = i + j . Même question en remplaçant la condition k = i + j par la condition k = i j . Exercice 10 (Théorème de Rice). — Soit P un langage formé de descriptions 〈M 〉 de machines de Turing. On fait les hypothèses suivantes : – P n’est pas vide ; – il existe au moins une description 〈M 〉 qui n’appartient pas à P ; – si deux machines M et M 0 reconnaissent le même langage et que 〈M 〉 appartient à P , alors 〈M 0 〉 aussi. Dit informellement, P est une propriété nontriviale des langages reconnus par les machines de Turing. Démontrer que ce langage P n’est pas décidable. Exercice 3. — Soit A REX le langage formé des couples (R, w), où R est une expression régulière et w un mot décrit par R . Démontrer que ce langage est décidable. Exercice 4. — Soit VAF le langage formé des 〈A〉 où A est un automate fini dont le langage L (A) est vide. Démontrer que ce langage est décidable. Exercice 5. — Soit I AF le langage formé des 〈A〉 où A est un automate fini dont le langage L (A) est infini. Démontrer que ce langage est décidable. Exercice 6. — Soit L un langage. Démontrer que L est reconnaissable si et seulement s’il existe un langage décidable L 0 tel que L soit l’ensemble des mots x pour lesquels il existe un mot y tel que le mot x#y appartient à L 0 , Exercice 11. — Déduire du théorème de Rice que les langages suivants ne sont pas décidables : a) le langage I MT formé des descriptions 〈M 〉 de machines de Turing telles que L (M ) soit infini ; Exercice 7. — Soit L un langage reconnaissable formé de descriptions 〈M i 〉 de machines de Turing M i (i > 1 ) qui sont des décideurs. Démontrer qu’il existe un langage décidable D qui n’est décidé par aucune des machines M i . b) le langage formé des descriptions 〈M 〉 de machines de Turing telles que L (M ) contienne 1011 ; c) le langage TMT formé des descriptions 〈M 〉 de machines de Turing telles que L (M ) = Σ∗ . 1