Microsoft PowerPoint - Moment cin\351tique.PPT

Olivier GRANIER
Lycée Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 (O.Granier)
Théorème du moment
cinétique
(mécanique du point matériel)

Olivier GRANIER
Lycée Clemenceau
PCSI 1 - Physique
I - Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point :
Soit un point matériel M(m), dans un référentiel galiléen (R), de rayon vecteur
et de vitesse ; O est l’origine du repère (Oxyz). Soit A un point
quelconque, a priori mobile dans (R).
OMr =
r
v
r
M
O
x
y
z
z
u
r
x
u
r
y
u
r
r
r
v
r
Le moment cinétique du point M, par rapport au
point A et exprimé dans (R), est :
vmAM
A
r
r
∧= σ
Propriétés :
),sin()( vAMAMmv
A
r
r
= σ
A
σ
r
est perpendiculaire à
vetAM
r

Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
Dans la suite, A sera confondu avec l’origine O du repère (et sera donc fixe
dans (R)) :
vmBAvmAMBAvmBM
AB
r
r
r
r
r
∧+=∧+=∧= σσ )(
Le moment cinétique dépend du point par rapport auquel on l’évalue :
Si le mouvement de M est plan, on peut utiliser les coordonnées polaires :
zro
umrururmrvmr
r
&
r
&
r
&
r
r
r
r
θθσ
θ
2
)( =+∧=∧=
vmrvmOM
O
r
r
r
r
∧=∧= σ
)(
θ
uuuAvec
rz
r
r
r
∧
=

Olivier GRANIER
Lycée Clemenceau
PCSI 1 - Physique
II - Théorème du moment cinétique :
Le point M est soumis à des forces de résultante . Evaluons la dérivée
temporelle du moment cinétique de M par rapport à O :
dt
vd
mrvm
dt
rd
vmr
dt
d
dt
d
O
r
rr
r
rr
r
∧+∧=∧= )(
σ
f
r
Of
O
fOMfr
dt
d
/
r
r
r
r
r
r
Μ=∧=∧=
σ
f
r
v
r
Enoncé du théorème du moment cinétique : « La dérivée du moment cinétique d’un
point matériel par rapport à un point fixe O d’un référentiel galiléen (R) est
égale au moment par rapport à ce même point O des forces qui s’appliquent sur
lui. »

Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
Interprétation du moment des forces par rapport à O :
fOM
Of
r
r
r∧=Μ /
O
Of /
r
r
Μ
f
r
OMr =
r
δ
δδ
δα
αα
α
δα rrf
Of
==Μ sin
/
r
r
δ
δδ
δest appelé « bras de levier »
de la force . C’est la distance
entre la droite d’action de la
force et le point O.
f
r
Le théorème du moment cinétique fournit, pour une masse ponctuelle, une autre
méthode pour obtenir des résultats accessibles par le PFD.