Microsoft PowerPoint - Moment cin\351tique.PPT

Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
PCSI 1 (O.Granier)
Lycée
Clemenceau
Théorème du moment
cinétique
(mécanique du point matériel)
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
I - Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point :
Soit un point matériel M(m), dans un référentiel galiléen (R), de rayon vecteur
r
r
r = OM et de vitesse v ; O est l’origine du repère (Oxyz). Soit A un point
quelconque, a priori mobile dans (R).
z
Le moment cinétique du point M, par rapport au
point A et exprimé dans (R), est :
r
M
r
uz
r O
ux
r
r
r
σ A = AM ∧ mv
r
v
Propriétés :
r
uy
r
σA
y
r
est perpendiculaire à
r
AM et v
r
σ A = mv( AM ) sin( AM , v )
x
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
Le moment cinétique dépend du point par rapport auquel on l’évalue :
r
r
r
r
r
σ B = BM ∧ mv = ( BA + AM ) ∧ mv = σ A + BA ∧ mv
Dans la suite, A sera confondu avec l’origine O du repère (et sera donc fixe
dans (R)) :
r
r
r
r
σ O = OM ∧ mv = r ∧ mv
Si le mouvement de M est plan, on peut utiliser les coordonnées polaires :
r
r
r r
r
r
r
σ o = r ∧ mv = r ∧ m(r& u r + rθ& uθ ) = mr 2θ& u z
r
r
r
( Avec u z = u r ∧ uθ )
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
II - Théorème du moment cinétique :
r
Le point M est soumis à des forces de résultante f . Evaluons la dérivée
temporelle du moment cinétique de M par rapport à O :
r
r
r
r
r r
dσ O
d r
dr
dv
= ( r ∧ mv ) =
∧ mv + r ∧ m
dt
dt
dt
dt
r
r
v
f
r
r r
dσ O r r
= r ∧ f = OM ∧ f = Μ fr / O
dt
Enoncé du théorème du moment cinétique : « La dérivée du moment cinétique d’un
point matériel par rapport à un point fixe O d’un référentiel galiléen (R) est
égale au moment par rapport à ce même point O des forces qui s’appliquent sur
lui. »
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
Interprétation du moment des forces par rapport à O :
r
Μ fr / O
r
r = OM
r
r
Μ fr / O = OM ∧ f
r
f
r
Μ fr / O = rf sin α = rδ
O
δ
α
δ est appelé r« bras de levier »
de la force f . C’est la distance
entre la droite d’action de la
force et le point O.
Le théorème du moment cinétique fournit, pour une masse ponctuelle, une autre
méthode pour obtenir des résultats accessibles par le PFD.
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
III - Un 1er exemple de résolution ; étude du pendule simple
1 - En l’absence de frottements :
O
r
uz
l
θ
r
r
r
r
r
dσ O
= OM ∧ (T + mg ) = OM ∧ mg
(car T // OM )
dt
r
r
r
σ
d
2&
2 && r
O
r
σ O = ml θ u z ;
= ml θ u z
r v = lθ& u
dt
θ
Tr
r
r
r
r
uθ
OM ∧ mg = l u r ∧ mg (cos θ u r − sin θ uθ )
r
r
OM
∧
m
g
=
−
mg
l
sin
θ
u
z
M (m)
r
mg
r
ur
Par conséquent :
r
r
ml θ u z = − mgl sin θ u z
2 &&
z
g
&
&
soit θ + sin θ = 0
l
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
III - Un 1er exemple de résolution ; étude du pendule simple
2 - En présence de frottements fluides :
Il faut prendre en compte le moment de la force de frottements fluides par
rapport à O :
r
r
r
2 r
&
OM ∧ (−hmv ) = l u r ∧ (−hmlθ uθ ) = − hml u z
Le théorème du moment cinétique donne alors :
r
r
r
ml 2θ&& u z = − mgl sin θ u z − hml 2 u z
Soit l’expression canonique traditionnelle :
θ&& + hθ& +
g
sin θ = θ&& + 2σω0θ& + ω02 sin θ = 0
l
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
IV - Exercices
1 - Météorite :
2 - Un satellite :
σ O ( S ) = mv( S )CS = 6,8.1013 kg.m 2 .s −1
(OS sin α = CS )
Conservation du moment cinétique :
σ O ( A) = m(OA)v A = σ O ( P) = m(OP)v P = σ O ( S )
v A = 5,9.103 km.h −1
;
v P = 36.10 3 km.h −1
3 - Le toboggan :
Equation différentielle du mouvement :
Expression de la vitesse :
Vitesse maximale :
θ&& −
g
cos θ = 0
r
v = rθ& = 2 gr (sin θ − sin θ 0 )
v(θ = π / 2) = 2 gr (1 − sin θ 0 ) = 6 m.s −1 = 21,7 km.h −1
Olivier GRANIER