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Matière : Mathématiques
Exercices d'aplication : Arithmétique dans
ℕ
Niveau : TCS
Parties :
1.
2.
3.
4.
5.
L'ensemble ℕ - Division euclidienne.
Nombres pairs - Nombres impairs.
Nombre premier – Décomposition en facteurs premiers.
Multiples d'un nombre – Le plus petit commun multiple (PPCM ).
Diviseur d'un nombre – Le plus grand commun diviseur (PGCD).
1 - L'ensemble
ℕ
- Division euclidienne.
Exercice 1 :
∈
ou
2006
...
ℕ
27
3
14,52
...
ℕ
123456
123
6
...
ℕ
2340
9
Complèter par
10
∉
les expressions suivantes :
...
...
...
2351
6
ℕ
ℕ
...
15
2
8
2
ℕ
...
√ 9+ √ 25
ℕ
ℕ
ℕ
...
Exercice 2 :
Déterminer le quotient q
dans les cas suivants :
a = 165
et le reste
; b = 13
r
et
de la division euclidienne de
a = 249 ;
a
par
b
b = 19
Exercice 3 :
Déterminer parmi les nombres suivants ceux qui sont divisibles par :
a.
Page 1
5736
b.
40815
c.
2, 3, 4, 5 ou 9
312540
Pr. Sahbani
Matière : Mathématiques
Exercices d'aplication : Arithmétique dans
ℕ
Niveau : TCS
2 - Nombres pairs - Nombres impairs.
Exercice 4 :
Soit
n
un entier naturel, on pose :
1 – Montrer que
x
2 – Montrer que
x + y
est impair et
y
x = 2n + 7
et
y = 4n + 2
est pair.
est impair.
Exercice 5 :
a
1 - Soient
a − b
et
et
2 - Soient
a + b
a
b deux entiers naturels pairs tel que a > b
a × b sont pairs.
, montrez que
b deux entiers naturels impairs tel que a > b
a − b sont pairs et a × b est impair.
et
,
a + b
, montrer que
Exercice 6 :
1 - Montrer que la somme de deux nombres consécutifs est un nombre impair.
2 - Montrer que le produit de deux nombres consécutifs est un nombre pair.
3 - Nombres premiers – Décomposition en facteurs premiers.
Exercice 7 :
Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres suivants :
a.
300
b.
360
c.
1050
d.
1890
e.
1764
f.
2730
g.
2940
4 - Multiples d'un nombre – Le plus petit commun multiple (PPCM ).
Page 2
Pr. Sahbani
,
Matière : Mathématiques
ℕ
Exercices d'aplication : Arithmétique dans
Niveau : TCS
Exercice 8 :
1 - Trouvez les multiples de
7
2 - Trouvez les multiples de
13
compris entre
60
200
compris entre
100
et
et
.
300
.
Exercice 9 :
9
Désigner parmi les nombres suivants ceux qui sont des multiples de
45
a.
b.
60
c.
135
d.
305
e.
533
f.
657
g.
1116
:
e.
5362
Exercice 10 :
Calculer par 2 Méthodes différentes le
PPCM ( a , b)
dans chacun des cas suivants :
1.
a = 5
et
b = 45
2.
a = 4
et
b = 28
3.
a = 18
et
b = 7
4.
a = 11
et
b = 13
5.
a = 540
et
b = 4200
6.
a = 315
et
b = 252
5 - Diviseurs d'un nombre – Le plus grand commun diviseur (PGCD).
Exercice 11 :
Calculer par 3 Méthodes différentes le
Page 3
PGCD( a , b)
dans chacun des cas suivants :
1.
a = 56
et
b = 20
2.
a = 198
et
b = 256
3.
a = 1236
et
b = 12
4.
a = 546
et
b = 23
5.
a = 12
et
b = 105
6.
a = 96
et
b = 76
Pr. Sahbani
Matière : Mathématiques
Cours : Arithmétique dans
ℕ
Pr. Sahbani
Objectifs du Chapitre :
•
•
•
•
•
•
Reconnaître l'ensemble ℕ et ses éléments...
Démontrer qu'un nombre est impair, ou pair...
Définir les multiples d'un nombre et les propriétés du PPCM.
Définir les diviseurs d'un nombre et les propriétés du PGCD.
Définir les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers d'un nombre.
Utiliser la décomposition en facteurs premiers pour retrouver le PGCD et le PPCM.
Parties du cours :
1.
2.
3.
4.
5.
L'ensemble ℕ .
Nombres pairs - Nombres impairs.
Multiples d'un nombre – Le plus petit commun multiple (PPCM ).
Diviseur d'un nombre – Le plus grand commun diviseur (PGCD).
Nombre premier – Décomposition en facteurs premiers.
ℕ
1 - L'ensemble
Définition :
On désigne par
On désigne par
ℕ l'ensemble des entiers naturels : ℕ = {0 ;1 ; 2 ; 3 ; 4...} .
*
*
ℕ l'ensemble des entiers naturels non nuls : ℕ = {1 ; 2 ; 3 ; 4...}
Remarques :
Tous les éléments de l'ensemble ℕ sont positifs.
Les entiers naturels ne contiennent pas de virgule.
-
Notations :
si
si
n
n
est un entier naturel, on écrit : n ∈ ℕ et se lit n appartient à ℕ .
n'est pas un entier naturel, on écrit : n ∉ ℕ et se lit n n'appartient pas à
Exemples :
2 ∈ ℕ
2,5 ∉ ℕ
/
/
21
∈ ℕ
7
/
22
∉ ℕ
7
Exercice
Complètez par
∈
ou
∉
les expressions suivantes :
2006
...
ℕ
27
3
14,52
...
ℕ
123456
123
...
...
ℕ
ℕ
2351
6
...
ℕ
15
2
8
2
...
ℕ
ℕ
10
6
...
2340
9
ℕ
...
√ 9+ √ 25
ℕ
...
ℕ
2 - Nombres pairs - Nombres impairs
Définition :
n
Le nombre
est pair si et seulement si
0; 2; 4; 6; 8...
Le nombre
n
n
∈ ℕ
2
est impair si et seulement si
1; 3; 5; 7; 9..
, les nombres pairs sont :
n
∉ ℕ
2
, les nombres impairs sont :
Autrement :
-
On dit que
On dit que
n
n
est pair s'il existe un nombre k
est impair s'il existe un nombre
∈ ℕ tel que n = 2k .
k ∈ ℕ tel que n = 2k+1
Exercices :
,
•
a
a − b
et
et
a
a + b
et b deux entiers naturels impairs tel que a
, a − b sont pairs et a ∗ b est impair.
Soient
•
Soient
b deux entiers naturels pairs tel que a > b
a ∗ b sont pairs.
, montrez que
> b
, montrez que
Exercices (suite) :
•
Soient
a > b
•
a
et b deux entiers naturels tel que : a est pair,
, montrez que a + b , a − b sont impairs.
b
est impair et
Montrez que la somme de deux nombres consécutifs est un nombre impair.
3 - Multiple d'un nombre – Le plus
petit commun multiple (PPCM ) :
a + b
.
Multiple d'un nombre :
Définition :
Les multiples de
n
sont :
0,
n , 2n , 3n...
Autrement :
b
est un multiple de
a
s'il existe un nombre
n ∈ ℕ
tel que :
b = n ∗ a
Exemples :
-
Les multiples de 2 sont les nombres pairs
-
Les multiples de 3 sont :
0 ∗ 3 = 0 / 1 ∗ 3
{0, 3, 6, 9, 12, 15 ...} , car :
= 3 / 2 ∗ 3 = 6 / 3 ∗ 3 = 9
Les multiples de 7 sont :
0 ∗ 7 = 0 / 1 ∗ 7
{0, 7, 14, 21 ...} , car :
= 7 / 2 ∗ 7 = 14 / 3 ∗ 7 = 21
-
...
...
Remarques :
-
Le nombre 0 est un multiple de tous les nombres entiers.
-
si
m
est un multiple non nul du nombre
x
alors :
x ⩽ m
.
Exercice :
Trouvez les multiples de 9 compris entre 60 et 100.
Le plus petit commun multiple (PPCM ) :
On dit que n est multiple commun de a et b s'il est à la fois multiple de
multiple de b .
Tous deux nombres entiers ont des multiples communs.
a
et
Définition :
Soient a et b deux entiers naturels, on définit le
plus petit multiple commun de a et b .
PPCM (a , b)
comme étant le
Autrement :
Si
n
est un multiple de
a
b
et
alors
n ⩾ PPCM (a , b)
.
Exemples :
Les multiples de 8 sont :
{0, 8, 16, 24, 32...}
Les multiples de 12 sont :
{0, 12, 24, 36...}
Alors :
PPCM ( 8, 12) = 24
{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18...}
Les multiples de 3 sont :
{0, 5, 10, 15, 10...}
Les multiples de 5 sont :
Alors :
PPCM ( 3, 5) = 15
Methode ( comment trouver le PPCM de deux nombres ) :
-
On prend les multiples du plus grand des 2 nombres.
On vérifie pour chacun de ses multiples s'il est multiple de l'autre nombre.
On s'arrête au premier qui vérifie la condition précédente.
Exercice
Quel est le PPCM de 12 et de 5 ?
Quel est le PPCM de 85 et de 6
4 - Diviseur d'un nombre – Le plus
grand commun diviseur (PGCD ) :
Diviseur d'un nombre :
Définition :
Soient
a
et
et seulement si
b
deux entiers naturels et
b
∈ ℕ
a
.
a
non nul, on dira que
a
divise
b
si
n ∈ ℕ
Autrement : il existe
tel que
b ∈ n ∗ a
et on note
a ∣ b
.
Exemples :
-
2 est un diviseur de tous les nombres pairs.
-
Les multiples de
15
= 15 ∈ ℕ
1
-
15
/
sont :
{1, 3, 5, 15}
15
= 5 ∈ ℕ
3
Les multiples de 42 sont :
/
, car :
15
= 3 ∈ ℕ
5
{1, 2, 3, 6, 14, 21, 42}
/
15
= 1 ∈ ℕ
15
.
Remarques :
-
Tout nombre entier admet au moins deux diviseurs : 1 et lui même.
-
si
q
est un diviseur du nombre
x
x ⩾ q
alors :
.
Exercice
text
Le grand commun diviseur commun (PGCD ) :
On dit que
diviseur de
q
b
est diviseur commun de
.
a
et
b
a
s'il est à la fois diviseur de
et
Définition :
Soient a et b deux entiers naturels, on définit le
plus grand diviseur commun de a et b .
Autrement :
Exemple :
Si
q
est un diviseur de
a
et
b
PGCD (a , b)
alors
comme étant le
q ⩽ PGCD(a , b)
.
Les diviseurs de 126 sont :
Les diviseurs de 150 sont :
Alors :
{1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 21, 42, 63, 126}
{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150}
PGCD ( 126, 150) = 6
Methode (comment trouver le PGCD de deux nombres / algorithme des soustractions) :
text
Exercice
Quel est le PGCD de ... ?
Quel est le PGCD de ... ?
5 - Décomposition en facteurs premiers
d'un entier
échantillon :---------------------------------------------------------------------------------------------
Définition :
-
Exercice 2
Montrez que la somme de deux nombres consécutifs est un nombre impair
text :
-
text
text
text
text