Développement de Notons le coefficient de dans le développement

A PROPOS DES COEFFICIENTS BINOMIAUX
Développement de 1
1 2 1
1
1 1 2 2 1
3 3 1
Notons le coefficient de 0 dans le développement de 1 ; alors le
1
calcul suivant montre la relation (*) 1
pour tout tel que 1 :
1 1 1 1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1 1 1
1
0
2
1
1
Remarquons que 0 1; 1 1 ; !" # !# La relation (*) permet de construire les coefficients binomiaux de proche en proche dans le diagramme du
triangle de Pascal :
1
1 1
2
1 2 1
4
1 4 6 4 1
3
5
1 3 3 1
1 5 10 10 5 1
Développement de ' (
Posons )
*
, alors ' ( (1 ( 1
( 1
1
2
1
' ' ( ' ( '( ( 1
2
1
Interprétation Combinatoire des Coefficients Binômiaux
Si on écrit 1 comme un produit de facteurs égaux à 1 :
1 1 1 … 1
Alors la règle de distributivité nous dit que pour obtenir le développement, on doit choisir de toutes
les façons possibles un terme égal soit à , soit à 1 dans chaque facteur ; le produit s’obtient
donc en choisissant de toutes les façons possibles termes égaux à et termes égaux à 1 ; son
coefficient est donc le nombre de manières de choisir positions parmi ; on dit aussi le
nombre de combinaisons à éléments parmi .
1
Dans cette interprétation combinatoire, on peut montrer à nouveau la formule 1
Pour évaluer le nombre de combinaisons à éléments parmi 1, on peut distinguer entre celles
qui contiennent un élément donné, par exemple la position 1, et celles qui ne la contiennent pas
(autrement dit, discuter dans le développement du binôme 1 selon que c’est ou bien 1
qui a été choisi en 1ère position) : celles qui contiennent la position 1 sont au nombre de 1
(en effet, la position 1 étant déjà retenue, il reste à choisir 1 positions parmi les restantes), et
celles qui ne la contiennent pas sont au nombre de (en effet, la position 1 n’étant pas retenue, il
reste à choisir positions parmi les restantes), d’où la formule (*), vue cette fois-ci d’un point de
vue combinatoire.
Formule donnant les Coefficients Binômiaux
Une combinaison à éléments parmi est la donnée de éléments sans notion d’ordre en ces
éléments ; on définit aussi la notion d’arrangement à éléments parmi , qui est la donnée d’un
!,-# d’éléments distincts choisis parmi les , l’ordre dans lequel ils sont énumérés étant cette
fois-ci pris en compte.
Le nombre d’arrangements à éléments parmi se calcule aisément : il y a choix pour le premier
élément, 1 choix pour le second élément, 2 choix pour le troisième élément, etc…,
1 choix pour le p-ième élément, d’où 1 2 … 1
arrangements possibles éléments parmi .
Il existe autant d’arrangements correspondant à une même combinaison (à éléments parmi )
que de nombre de façons de permuter les éléments en question, soit ! 1 … 2
(même raisonnement, en considérant une permutation comme un arrangement à éléments parmi
: il y a choix pour le premier élément, 1 choix pour le second élément, 2 choix pour
le troisième élément, etc…, un seul choix pour le p-ième et dernier élément.
On en conclut que le nombre de combinaisons à éléments parmi est donné par la formule :
…
!
formule (*) du triangle de Pascal.
!
!!
à partir de laquelle on vérifiera aisément la
Coefficients Binômiaux et Tirage du Loto
Le nombre de combinaison de six nombres choisis parmi les entiers de 1 à 49 vaut :
010203040500
6642
0356
49
13 983 816
4!
36
6
La probabilité 8 de détenir la combinaison gagnante, toutes les combinaisons étant supposées
équiprobables au tirage, vaut par conséquent :
8
1
9 7.15 102
13983816
Avril 2008
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