Etude dynamique d`un fluide

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Prénom :
Etude dynamique d’un fluide
Exercice 1 : débit
1.
De l’eau s’écoule dans une conduite de 30,0 cm de diamètre à la vitesse de 0,50 m.s -1. Calculer le débitvolume en m3.s-1 et L/min ; donner la valeur numérique du débit-masse.
2. Dans une conduite de 30,0 cm de diamètre, l’eau circule avec un débit-volume de 1800 L/min. Calculer la
vitesse moyenne d’écoulement. Le diamètre devient égal à 15,0 cm ; calculer alors la nouvelle vitesse
moyenne.
Exercice 2 : accélération d’un fluide
On veut accélérer la circulation d’un fluide parfait
dans une conduite de telle sorte que sa vitesse soit multipliée
par 4. Pour cela, la conduite comporte un convergent
caractérisé par l’angle  (schéma ci-contre).

R1
R2
v1
v2
L
1.
Calculer le rapport des rayons R1/R2 .Application
numérique.
2. Calculer ( R1 - R2 ) en fonction de L et . En déduire la longueur L. (R1 = 50 mm = 15°)
Exercice 3 : canalisation
On considère une canalisation AB où s'écoule de l'eau, considérée comme un fluide parfait. Les diamètres
respectifs des canalisations en A et B sont respectivement DA = 11,0 cm et DB = 9,0 cm. Le point B se trouve placé 10
m plus haut que le point A par rapport au niveau du sol. La pression en A est P A = 5,0 bars.
1.
La vitesse moyenne de l'eau en A est v A = 4,0 m.s-1. En utilisant l'équation de continuité déterminer la vitesse
vB du fluide en B.
2. La vitesse en A est inchangée et la vitesse en B est de 6,0 m.s -1. Evaluer la pression statique PB en B.
g = 9,81 m.s-2
(eau) = 1000 kg.m-3.
z
Exercice 4 : théorème de Bernouilli
On utilise en travaux pratiques une cuve verticale (voir schéma ci-contre) remplie
d’eau. On supposera que le niveau A dans la cuve est constant. Le fluide s’écoule par un trou
de diamètre D situé dans le fond de la cuve. L'eau sera considérée comme un fluide parfait
incompressible.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A
H
Enoncer le théorème de Bernoulli pour un fluide parfait en précisant la signification
0
des différents termes.
B
Appliquer la relation de Bernoulli entre les points A et B et déterminer l’expression
littérale de la vitesse vB au niveau du trou.
Donner la relation permettant de calculer le débit-volume théorique qv au point B.
Calculer numériquement la vitesse vB et le débit-volume qv au point B.
En fait le débit réel vaut 0,92 L/s. Comparez à la valeur trouvée dans la question 4. Justifier.
On explique en partie cette différence par une contraction de la veine liquide à la sortie de l’orifice. En
déduire le diamètre D’ de la veine liquide à la sortie de la cuve.
Valeurs numériques : H = 0,82 m
D = 2,0 cm
(eau) = 1000 kg.m-3
g = 9,81 m.s-2
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Exercice 5 : le siphon
Soit un siphon de diamètre d (d=10,0 mm) alimenté par un récipient rempli d'eau, de
grande dimension par rapport à d et ouvert à l'atmosphère (P atm= 1,0 bar).
1.
M
h
A
Calculer la vitesse moyenne du fluide en S puis le débit-volume qv du siphon.
H
A.N : H = 3,0 m.
2. Donner l'expression de la pression PM au point M en fonction de h.
3. Représenter l'allure de la pression PM en fonction de h. h peut-il prendre n'importe
quelle valeur ?
S
Exercice 6 : réservoir à niveau
L’eau de masse volumique eau s’écoule du réservoir à niveau constant à travers un tuyau de diamètre . Le
manomètre en U est rempli de mercure de densité d. La surface du mercure est en contact avec l’air à la pression
atmosphérique P0. L’extrémité du tuyau horizontal rempli d’eau n’est pas en contact avec l’air à la pression
atmosphérique. On note PB la pression en B et vB la vitesse en B.
A
eau
H

B
heau
hHg
mercure
1.
Ecrire l’équation de Bernoulli le long d’une ligne de courant liant les points A et B. La simplifier en utilisant
les notations et les hypothèses de l’énoncé.
2. Le manomètre à mercure permet de déterminer la pression en B. Donner l’expression de cette pression.
3. En déduire l’expression de vB.
4. En déduire l’expression du débit dans le tuyau.
5. Faire les applications numériques avec :
eau = 1000 kg.m-3 ; d=13,55 ; H = 3,66 m ; heau = 0,61 m ; hHg = 0,1525 m ;  = 5,1 cm ; g = 9,81 m.s-2
Exercice 7 : réservoir percé
On considère un réservoir cylindrique de rayon R muni d’un petit orifice
circulaire à sa base, de rayon r, et rempli d’eau sur une hauteur H. On suppose
R>>r.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
H
z
Ecrire le théorème de Bernoulli le long d’une ligne de courant entre un
point de la surface supérieure et un point de l’orifice de sortie.
Simplifier cette expression en justifiant les approximations effectuées. En
déduire l’expression de la vitesse de sortie en fonction de la hauteur de
0
liquide z.
A un instant donné, pour une hauteur h donnée de liquide, quelle est la
forme du jet de sortie ?
Donner l’expression du débit pour une hauteur de liquide z.
Exprimer le débit en fonction de la variation de volume pendant un court instant dt.
Identifier les deux expressions ; puis calculer la durée totale de l’écoulement.
Données :
R = 50 cm
r = 2,0 mm
H = 1,5 m
v2
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