ESIM 2002 - MP Maths 1 Les définitions d`idéal `a droite et `a

ESIM 2002 - MP Maths 1
Les définitions d’idéal à droite et à gauche ont été inversées, à la fois par rapport
à ce qui suit (parties IV et V) et aux définitions traditionnelles (Bourbaki,
Algèbre I, 8, 6).
Cela est sans incidence sur les parties I, II, III, gênant pour trois questions sur
cinq de la partie IV, et deux questions sur quatre de la partie V.
Partie I
1. Question de cours (première année).
2. Soit ∆ la matrice Diag(Ir , O). Par permutation des vecteurs de base, ∆
est semblable à D; a fortiori, A est équivalente à D par transitivité.
Partie II
1. On a pour toute A, f(A) = f(A)f(I), donc f(I) 6= 0. Alors f(I) =
f(I)f(I) entraı̂ne f(I) = 1, puis, si A est inversible, f(A)f(A−1 ) = 1,
donc f(A) 6= 0.
2. a) Soit Ai diagonale, dont les r + 1 premiers éléments diagonaux valent 1,
à l’exception du i-ième, nul, ainsi que tous les autres éléments diagonaux
(ceci a du sens car r < n). D’après I.2, Ai est semblable à A; par ailleurs,
A1 × ... × Ar+1 = 0.
b) On observe que f(0) = f(A)f(0) pour toute A; comme f 6= 1, cela
force f(0) = 0. Puis, 0 = f(A1 )...f(Ar+1 ), l’un des f(Ai ) est nul. Enfin,
A = P AiQ, ce qui donne f(A) = 0.
c) Ainsi, f est nulle sur les matrices non inversibles, et par ailleurs induit
un morphisme de groupe de GLn (R) vers R∗ . Exemple: le déterminant
(qu’on peut composer avec un morphisme de R∗ dans lui-même, par exemple x 7→ xk , k ∈ Z...)
Partie III
1. Pour A ∈ Mn (R), on a A = AI ∈ J.
2. Soit U ∈ J inversible; alors I = U U −1 ∈ J, puis J = Mn (R) par 1.
3. a) Soient P, Q inversibles telles que ∆ = Diag(Ir , O) = P AQ: comme
A ∈ J, on a aussi ∆ ∈ J.
b) Soit Ai la matrice diagonale, dont les n−r derniers éléments diagonaux
sont nuls, à l’exception du (r − 1 + i)-ième, qui vaut 1, ainsi que les r − 1
premiers éléments diagonaux: Ai = Diag(1, ..., 1, 0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) (1
isolé en r − 1 + i-ième place). Chaque matrice est équivalente à A, la
somme est diagonale, d’éléments tous non nuls, donc inversible.
4. L’idéal nul est bilatère. Si J est un idéal bilatère non nul, on prend A
de rang r comme au 3., puis les Ai construites: on a Ai = Pi AQi, donc
chaque Ai est dans J, puis leur somme aussi: alors, par 2., J = Mn (R).
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Partie IV
On détermine en fait ici ce que les notations et définitions ont appelé idéaux à
gauche, mais qui sont bien les idéaux à droite. Cette confusion est gênante pour
les questions 1, 4.b), 5.
1. D’une part, JE est un sous-espace vectoriel de Mn(R), a fortiori un sousgroupe additif. D’autre part, si M ∈ Mn (R) et A ∈ JE , soit B = AM : on
a Im(B) ⊂ Im(A), donc B ∈ JE .
2. Premier énoncé de factorisation; il aurait gagné à être (comme le second,
au V) rédigé plutôt avec des applications linéaires...
a) C’est le ”théorème noyau-image”.
b) Chaque bi = Bei est dans Im(B) ⊂ Im(A): l’unique éléments εi convenable est donc φ−1(bi ).
c) La matrice C a bien la taille que l’énoncé lui donne. D’autre part, pour
tout i ∈ {1, ..., q}, on a Bei = Aεi = A(Cei ) = (AC)ei , et ainsi B = AC.
3. a) L’image d’une matrice est l’espace vectoriel engendré par ses colonnes.
Si on note ici Ci la i-ième colonne d’une matrice C, on a Im(D) =
Vect(D1 , ..., Dn, Dn+1 , ..., D2n) = Vect(A1 , ..., An, B1 , ..., Bn) = Vect(A1, ..., An)+
Vect(B1 , ..., Bn) = Im(A) + Im(B).
b) Le 2. s’applique.
U
c) On écrit W en blocs: W =
, on obtient avec un produit par blocs
V
C = AU + BV .
4. a) L’ensemble des rangs des éléments de J est une partie non vide de N,
majorée par n, donc admet un plus grand élément r; on a à la fois ∀M ∈ J,
rang(M ) ≤ r et l’existence de M0 ∈ J de rang r.
b) Soit F = Im(M ) + Im(M0 ), et C la matrice du projecteur sur F dans
la direction d’un quelconque supplémentaire. On a Im(C) = Im(M ) +
Im(M0 ), donc l’existence de U, V ∈ Mn (R) telles que C = M U + M0 V .
Alors, par stabilité d’idéal convenable, C ∈ J. Or le rang de C est la
dimension de F strictement plus grande que r.
c) Pour un quelconque élément de J, on doit donc avoir Im(M ) ⊂ Im(M0 ).
5. Réciproquement, si A ∈ JIm(M0 ) , on a Im A ⊂ Im(M0 ). D’après 2, il existe
C telle que A = M0 C, et donc A ∈ J. On conclut: J = JIm(M0 ) .
Partie V
On détermine en fait ici ce que les notations et définitions ont appelé idéaux à
droite, mais qui sont bien les idéaux à gauche. Cette confusion est gênante pour
les questions 1. et 4.
Il n’était sans doute pas heureux de reprendre la même notation JE qu’au IV.
1. Soient A ∈ JE , M ∈ Mn (R), et B = M A. Alors Ker(A) ⊂ Ker(B). Ainsi,
Ker(B) ⊃ E et B ∈ JE .
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2. a) On peut reprendre dans ce contexte la construction du I.1. : (er+1 , ..., en)
une base de Ker u, complétée avec e1 , ..., er ; on note fi = u(ei ) pour
1 ≤ i ≤ r, complétée avec fr+1 , ..., fp, pour donner une base de Rp . On
définit w par : si 1 ≤ i ≤ r, w(fi) = v(ei ); si i > r, w(fi) = 0. On a
si i ≤ r, v(ei ) = w(u(ei )); et si i > r, v(ei ) = 0 = w(u(ei )), on a bien
v = w ◦ u.
b) C’est la traduction matricielle de a) (que faut-il rédiger pour avoir les
points?).
AX
A
,
; on a pour X ∈ Mn,1(R), DX =
3. On prend cette fois D =
BX
B
de sorte que Ker D = Ker A ∩ Ker B. Ainsi, Ker D ⊃ Ker C, on trouve
W = (U V ) ∈ Mn,2n(R) telle que C = W D, et ainsi C = U A + V B.
4. Si un idéal à gauche J est non nul, soit d = dim Ker M0 la plus petite
dimension du noyau d’un élément de J. Si, pour un M de J, on n’a pas
Ker M ⊃ Ker M0 , soit C ∈ Mn (R) de noyau Ker M ∩ Ker M0 (une matrice
de projecteur...); par 3., on trouve U, V telles que C = U M + V M0 , et
donc C ∈ J; or la dimension de son noyau est strictement plus petite que
d, absurde. C’est donc que pour tout M de J, Ker M ⊃ Ker M0 .
Réciproquement, si Ker M ⊃ Ker M0 , par 2.b) on trouve C telle que
M = CM0 , donc M ∈ J. On a montré que J = JKer(M0 ) .
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