Colle Physique-Chimie n°11

Colle Physique-Chimie n°11
L. Verney
Questions de cours
1 - [Travail, puissance et énergie] Définitions et théorème de l’énergie cinétique
2 - [Travail, puissance et énergie] Énergétique de l’oscillateur harmonique
3 - [Travail, puissance et énergie] Position d’équilibre et stabilité
4 - [Acide-base] Réactions acido-basiques
5 - [Moment cinétique] Théorème du moment cinétique et application au pendule simple
Exercices
Exercice 1 : Pendule cycloïdal
Un mobile pesant M de masse m coulisse sans frottement sur un arc de cycloïde. on repère sa position par
ses coordonnées cartésiennes x et y où (Oy) est dirigé vers le haut. L’équation de la cycloïde est x = b(θ + sin θ)
et y = b(1 − cos θ) où b ∈ R et θ ∈ [−π, π].
1. Exprimer les coordonnées (dx, dy) d’un déplacement élémentaire du mobile en fonction de b, θ et dθ.
2. En déduire la longueur ds de ce déplacement.
_
3. En déduire que l’abscisse curviligne s = OM est s = 4b sin( θ2 ).
4. Montrer que l’énergie potentielle associée à la force totale subie par le mobile est Ep =
mgs2
8b .
5. Exprimer l’énergie totale du mobile en fonction de s et ṡ.
6. En déduire une équation différentielle portant sur s.
7. À quelle condition sur la vitesse vO en O le mouvement reste-t-il confiné sur l’arc de cycloïde considéré ?
Quelle est alors la période T du mouvement ? Propriétés ?
8. À l’instant 0, le mobile est à la position correspondant à θ = θM avec une vitesse nulle. À quel instant t
passe-t-il pour la première fois en O ? Avec quelle vitesse v ?
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Exercice 2 : Mouvement d’un anneau sur une piste circulaire
On considère le dispositif ci-dessous. Un objet matériel M de masse m se déplace solidairement à une piste
formée de deux parties circulaires de
R1 et R2 , de centre C1 et C2 dans
rayon
un plan vertical. On repère la
position de M par un angle θ (θ ∈ − π2 , π pour la partie 1 et θ (θ ∈ π, 5π
pour la partie 2). Il n’y a pas de
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frottements. On définit un axe vertical z d’origine C2 .
1.
2.
3.
4.
Exprimer l’énergie potentielle de pesanteur Ep en supposant Ep (B) = 0.
Tracer l’allure de Ep (θ).
Déterminer les positions angulaires d’équilibre et leur stabilité.
L’anneau est initialement en A(θ = − π2 . Il est lancé à une vitesse v0 dans le sens trigonométrique.
(a) À quelle condition sur la vitesse v0 l’anneau peut-il atteindre le point F ?
(b) Cette condition étant remplie, donner l’expression de sa vitesse vF en fonction des données du problème.
(c) À quelle condition sur v0 l’anneau sort-il de la piste en S ?
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Exercice 3 : Pendule sur un plan incliné avec frottements
On considère un pendule posé sur un plan incliné, incliné d’un angle α par rapport à l’horizontal. On écarte
le pendule de sa position d’équilibre d’un angle β0 . Il remonte de l’autre côté d’un angle β1 .
Déterminer le coefficient de frottement f en fonction de α, β0 et β1 .
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Exercice 4 : Pendule et ressorts
Un point matériel M de masse m est relié à un fil inextensible de longueur l et de masse négligeable, ainsi
qu’à un ressort horizontal de raideur k et de longueur au repos l0 . Le fil est vertical lorsque le point matériel se
trouve en O10 . On considère des petites oscillations.
Établir l’équation du mouvement et en déduire la période des petites oscillations.
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Exercice 5 : Expérience de Cavendish
En 1798 le physicien Henri Cavendish réalise une expérience lui permettant de « peser » la Terre et d’obtenir
la valeur de la constante de gravitation G. Aux extrémités d’une tige de bois de longueur l = 2m et de masse
négligeable, il fixe deux boules de platine de masse m = 730g puis en suspendant le tout à un fil de torsion, il
réalise un pendule de torsion.
On rappelle qu’un fil de torsion produit un couple de rappel, qui s’oppose à la torsion, proportionnel à l’angle
de torsion : le moment du couple par rapport à l’axe du fil vaut Γ = −Cθ où C est la constante de torsion.
1. Cavendish cherche d’abord à mesurer la constante de torsion en faisant osciller le pendule de torsion.
Montrer que l’angle de torsion vérifie l’équation d’un oscillateur de pulsation propre w0 à déterminer.
2. Cavendish mesure la période T des oscillations. Il trouve T = 7min, en déduire la constante de torsion.
3. Il place ensuite à la distance r = 22.5cm des deux masses, deux grosses boules de plomb de masse
M = 158kg (entre l’axe du fil de torsion et les boules). Montrer que la position d’équilibre est déviée d’un
angle δθ (la déviation étant très faible, on considérera que r est constant).
4. Cavendish trouve G = 6.75.10−11 U SI. Unités de G ? Calculer la déviation angulaire correspondante.
Commenter la valeur de G obtenue et la déviation angulaire.
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Exercice 6 : Mouvement d’une particule en contact avec une cuvette parabolique
On désire étudier les mouvements possibles d’un point matériel M , de masse m sous l’action du champ de
pesanteur ~g , à l’intérieur d’une cavité fixe. La surface extérieure de cette cavité est un paraboloïde de révolution
P, d’axe vertical ascendant, dont l’équation en cordonnées cylindriques est r2 − az = 0 avec a > 0. Le point
matériel M glisse sans frottement sur P et on utilisera les coordonnées cylindriques.
1. Exprimer la vitesse de M par rapport au référentiel et en déduire l’expression du moment cinétique en O,
LO , et sa projection selon l’axe Oz.
2. Montrer que l’action exercée par la surface sur M est contenue dans le plan OHP . Montrer que la projection
de LO sur Oz se conserve au cours du temps. Expliciter cette relation de conservation en fonction de r et
de θ.
3. Déterminer l’énergie cinétique du système.
4. Justifier l’existence d’une énergie potentielle dont dérivent les forces extérieures et l’exprimer en supposant
Ep (0) = 0.
5. Que peut-on dire de l’énergie mécanique ?
6. Déduire de ce qui précède une équation du premier ordre de la forme
G(r) > 0 et Ep,ef f est une énergie potentielle effective.
1
2
2 mṙ G(r)
+ Ep,ef f (r) = Em où
7. Représenter Ep,ef f (r) et déterminer son minimum (à exprimer en fonction de L, m, a et g).
8. Discuter à l’aide de ce graphe la nature du mouvement de M . En déduire que la trajectoire de M sur la
surface est nécessairement tracée dans une région limitée par deux cercles définis à l’aide des constantes
du mouvement et des données du problème.
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Exercice 7 : Propriétés acido-basiques de l’EDTA
L’EDTA, noté Y 4− est une tétrabase correspondant au tétraacide faible H4 Y dont on note pKA , i les
différents pKA .
1. Faire un diagramme de prédominance des différentes formes acido-basiques évoquées ci-dessus.
2. On réalise le dosage de V0 = 20mL d’une solution S0 du tétraacide, de concentration inconnue, par de la
soude à la concentration c = 0.10mol.L−1 . On note V le volume de soude ajouté. La courbe pH = f (V )
ainsi que les courbes de distribution des différentes formes acido-basiques de l’EDTA sont reproduites
ci-dessous.
(a) Comment mesure-t-on le pH d’une solution ?
(b) Identifier les différentes courbes.
(c) En déduire les différents pKA , i de H4 Y .
(d) Déterminer les différentes réactions de dosage ayant lieu sur les différentes parties du titrage.
(e) En déduire la concentration inconnue.
(f) Pourquoi le dernier saut est-il si faible ?
(g) Déterminer le pH initial.
3. En fait, la solution initiale est réalisée à partir de V0 = 20mL de la tétrabase Y 4− à la concentration c0
à laquelle on a ajouté sans variation de volume la quantité de matière n1 = 4c0 V0 d’acide chlorhydrique
HCl (il s’agit d’un acide fort).
(a) Montrer, en utilisant la notion de solution équivalente, que partir de la solution étudiée précédemment
ou de celle-ci revient au même du point de vue acido-basique.
(b) Malheureusement, l’ajout d’acide chlorhydrique peut s’avérer assez imprécis, notamment car il s’agit
d’un gaz. Un expérimentateur a obtenu la courbe de dosage suivante :
Déterminer s’il a ajouté une quantité d’acide chlorhydrique n plus grande ou plus petite que n1 . En
déduire n et retrouver la valeur de c0 en précisant les réactions qui ont lieu.
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Exercice 8 : Modèle de l’atome d’hydrogène
On modélise l’atome d’hydrogène par un électron en mouvement circulaire autour d’un proton (fixe). On
suppose que l’énergie totale du système est quantifiée, ie Em = − nk2 (modèle de Bohr), avec n ∈ N et k > 0.
1. Déterminer la force s’exerçant sur l’électron et sa vitesse.
2. Calculer le moment cinétique LO de l’électron par rapport au proton (et montrer qu’il se conserve) et
montrer qu’il est lui-même quantifié.
3. En déduire que le rayon est lui même quantifié (rn = n2 r1 ).
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