QëP áK . @ éªÓAg . Université Ibn Zohr HA j JË@ èXYªJÓ éJ ʾË@ P@ PPð H. QªÖ Ï @ , H@ Faculté Polydisciplinaire Ouarzazate, Maroc Correction de l’Épreuve de Thermodynamique II ∗ Prof. : H. Chaib Filière : TEER, Semestre : 2, Année : 2010/2011 Date : 04-06-2011 à 08:00, Durée : 60 min Problème 1 1. Pour un gaz parfait, on a : γ= Cp CV Cp − CV = nR et (1) soit : Cp = γCV = CV + nR Il en découle : CV = nR γ−1 et Cp = (2) γnR γ−1 (3) 2. Représentation du cycle sur le diagramme de Clapeyron (voir figure). p (2) (3) (1) V 3. À partir de la définition du travail utile, on peut écrire : X X Wu = Wi = − Qi i (4) i soit : Wu = −(Q12 + Q31 ) (5) ∗. L’énoncé et la correction de cette épreuve seront publiés en ligne, quelques heures après la date affichée en haut, sur le site Web : http://hchaib.chez.com/teaching/ 1 Correction de l’Épreuve de Thermodynamique II (04-06-2011) - Prof. H. Chaib 2 car la quantité de chaleur Q23 échangée au cours de la transformation isentrope (2)(3) est nulle (c.-à-d. Q23 = 0). Cependant, pour la transformation isochore (1)-(2), on peut écrire : δQ = dU = CV dT (6) car le travail mis en jeux est nul (c.-à-d. δW = −pdV = 0). Alors : Q12 = CV (T2 − T1 ) (7) Pour la transformation isobare (3)-(1), la variation de l’enthalpie s’écrit : dH = dU + d(pV ) (8) dH = δQ + δW + pdV + V dp (9) c.-à-d. : Or δW = −pdV et dp = 0, alors la dernière équation permet d’écrire : δQ = dH = Cp dT (10) Q31 = Cp (T1 − T3 ) (11) Wu = −(CV (T2 − T1 ) + Cp (T1 − T3 )) (12) et par conséquent : d’où : ou encore : nR γnR (T1 − T2 ) + (T3 − T1 ) γ−1 γ−1 4. L’efficacité thermique de ce cycle est donné par : Wu = η= |Wutile | |Qfournie | (13) (14) Selon le diagramme ci-dessus, on peut constater que T1 < T2 (car T1 = pp12 T2 et p2 > p1 ) et que T1 < T3 (car T1 = VV13 T3 et V3 > V1 ). Il en résulte que Q12 > 0 et Q23 < 0 c’est à dire Qfournie = Q12 et par conséquent : Wu η = (15) Q12 soit : ou aussi : CV (T2 − T1 ) + Cp (T1 − T3 ) η = CV (T2 − T1 ) (16) T3 − T1 η = 1 − γ T2 − T1 (17) 5. Pour la transformation isobare (1)-(3), on a T1 = T1 V1 = T3 V3 d’où : V1 T3 = a−1 T3 V3 Pour la transformation isentrope (2)-(3), on a T2 V2γ−1 = T3 V3γ−1 d’où : γ−1 V3 T3 = aγ−1 T3 T2 = V2 car V2 = V1 . (18) (19) 3 Correction de l’Épreuve de Thermodynamique II (04-06-2011) - Prof. H. Chaib 6. La nouvelle expression de l’efficacité thermique du cycle s’ecrit : −1 (1 − a )T 3 η = 1 − γ γ−1 −1 (a − a )T3 1 − a−1 η = 1 − γ γ−1 a − a−1 a − 1 η = 1 − γ γ a − 1 soit : ou encore : (20) (21) (22) 7. Le rendement ρ du cycle s’écrit : ρ= avec ηCarnot = 1 − T1 T2 η (23) ηCarnot = 1 − a−γ . Alors : 1 a − 1 1 − γ ρ= −γ γ 1−a a − 1 soit aussi : ou encore : a a − 1 ρ= 1−γ γ a−1 a − 1 a γa ρ = − γ a − 1 a − 1 (24) (25) (26) Problème 2 1. La transformation (1)-(2) est une transformation isentrope, alors on peut écrire : T1 V1γ−1 = T2 V2γ−1 d’où le volume V2 s’écrit : V2 = T1 T2 et la pression p2 s’écrit : p2 = (27) 1 γ−1 nRT2 V2 V1 (28) (29) 1 V1 avec n = pRT . 1 La transformation (2)-(3) est une transformation isotherme, alors T3 = T2 et on a V3 = V1 . Enfin, la pression p3 est donnée par : p3 = nRT3 V3 (30) A.N. : p2 = 12,7 bar, V2 = 157,49 cm2 , T2 = 300 K, p3 = 4 bar, V3 = 500 cm2 et T3 = 300 K. Correction de l’Épreuve de Thermodynamique II (04-06-2011) - Prof. H. Chaib 4 2. La variation d’entropie de la transformation isentrope (1)-(2) est nulle (c.-à-d. ∆S12 = 0). Pour la transformation isotherme (2)-(3), on a δQ = −δW = pdV . Alors : δQ pdV dV dS = = = nR (31) T T V d’où : V3 ∆S23 = nR ln (32) V2 Pour la transformation isochore (3)-(1), on a δW = 0 et par conséquent δQ = dU = CV dT . Alors : δQ dT dS = = CV (33) T T d’où : T1 ∆S31 = CV ln (34) T3 nR avec CV = γ−1 . A.N. : ∆S12 = 0, ∆S23 = 0,77 J K−1 et ∆S31 = −0,77 J K−1 . 3. La quantité de chaleur Q31 échangée par le gaz au cours de la transformation (3)-(1) s’écrit : Z T1 Q31 = CV dT = CV (T1 − T3 ) (35) T3 Alors, la chaleur echangée par le milieu extérieur (c.-à-d. avec la source froide de température T1 ) au cours de cette transformation est Q∗31 = −Q31 et la variation de son entropie est : Q∗ CV (T1 − T3 ) ∗ ∆S31 = 31 = − (36) T1 T1 soit : T3 − T1 ∗ (37) ∆S31 = CV T1 Alors, l’entropie créée Sc s’écrit : ∗ Sc = ∆S31 + ∆S31 d’où : Sc = CV ln A.N. : Sc = 0,341 J K−1 . T3 − T1 T1 + CV T3 T1 (38) (39)