TD n˚3 - Contact entre deux solides - Lois du frottement de

Physique
TD n˚3 - Contact entre deux solides - Lois du frottement de glissement
TD n˚3 - Contact entre deux solides - Lois du
frottement de glissement
1 Entraînement par frottement
Une barre de masse m1 est placée sur une planche de masse m2 , et
l’ensemble repose sans frottement sur un plan horizontal en glace. Le
coefficient de frottement de glissement entre la barre et la planche est
noté µ. On exerce sur la planche une force horizontale F dont l’intensité
croît linéairement avec le temps : F = αt, α étant une constante.
1. Écrire les équations différentielles du mouvement de la barre et de la planche.
2. Quelles sont les accélérations de la barre et de la planche dans la phase de non-glissement ? Déterminer
l’instant t0 à partir duquel la planche glisse sous la barre.
3. Quelles sont les accélérations de la barre et de la planche dans la phase de glissement ?
Réponses : 2. t0 =
M ug(m1 +m2 )
,
α
3. a2 =
αt−µm1 g
.
m2
2 Masse sur un plan incliné
Une masse m est maintenue par un fil sur un plan incliné
faisant un angle α avec l’horizontale. Le fil passant par
une poulie sans frottement est tendu par une masse M .
g
m
1. Déterminer l’expression Meq de la masse M qu’il faut
suspendre pour que la masse m reste à l’équilibre :
a. sans frottement entre m et le plan incliné.
uz
uy
ux
M
α
b. en présence de frottement solide de coefficient f .
2. Déterminer le mouvement de la masse m lorsque M > Meq et lorsque M < Meq , sachant que le mobile
est laché avec une vitesse nulle en O, origine du repère, à t = 0 :
a. sans frottement entre m et le plan incliné.
b. en présence de frottement solide de coefficient f .
Réponses : 1.b. Meq = m (f cosα + sinα), 2.b. x = ±
(M − msinα − mf cosα)gt2
.
2m
3 Mesure d’un coefficient de frottement
Une masse M1 est mobile sur un plan horizontal avec un coefficient
de frottement cinétique f ; elle est relié par l’intermédiaire d’un fil sans
masse et d’une poulie parfaite et de moment d’inertie négligeable à une
masse M2 qui est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur h au-dessus
d’un obstacle qui limite sa chute. On désigne par h + d la distance parcourue par M1 sur le plan horizontal avant de s’arrêter.
Calculer le coefficient f en fonction de M1 , M2 , h et d à l’aide d’une
méthode énergétique.
Réponses : f =
M1
M2
h
M2
.
M1 + hd (M1 + M2 )
MP2 - Année 2016/2017
1
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4 Expérience de Timochenko
Deux cylindres identiques C1 et C2 de rayon a tournent avec
une vitesse angulaire constante ω0 autour de leur axe dans le
référentiel d’étude R supposé galiléen, les sens de rotation étant
opposés. Les axes des deux cylindres sont fixes dans R, parallèles, dans un même plan horizontal et leur distance est L. Une
planche P d’épaisseur négligeable devant a et L et de masse m
est placée sur les cylindres.
Celle-ci est suffisamment longue pour que le contact existe toujours ; il y a glissement aux points de contact
I1 et I2 , avec un coefficient de frottement f pour le contact entre la planche et chacun des cylindres. On
repère la position du centre de masse G de la planche par l’abscisse x.
1. Déterminer la composante normale de la résultante de l’action de chaque cylindre sur la planche, en
fonction de m, g, L et x. Commentaires ?
2. Montrer que si −aω0 < ẋ < aω0 alors la composante tangentielle de la résultante de l’action de C1
(resp. C2 ) sur P est positive (resp. négative).
3. Etablir l’équation du mouvement de la planche. En déduire son mouvement.
Quel peut être l’application de cette expérience ?
4. Par un calcul direct, déterminer la puissance dissipée par les frottements.
Réponses : 1. N1 =
P = −f mg
( 2xẋ
L
)
mg
L
(L
2
)
− x et N2 =
mg
L
(L
2
)
+ x , 2. T1 = f N1 et T2 = −f N2 , 3. ẍ + Ω20 x = 0 avec Ω0 =
√
2gf
L
, 4.
+ aω0 .
5 Tirer la nappe sans casser l’assiette
On considère une assiette et son contenu (le tout formant un solide A de masse M ), posé sur le plateau
P d’une table recouvert d’une nappe N de masse m (figure ci-contre).
D’un geste brusque, on tire la nappe. La problématique est de savoir
si l’assiette reste sur le plateau de la table...
Le plateau est modélisé par un disque de centre O et de rayon R.
La nappe a les mêmes dimensions que le plateau et une épaisseur
négligeable. L’assiette circulaire, de rayon r, est placée au centre de la
table.
Un expérimentateur tire le bord de la nappe avec une force horizon−
→
→
tale F = mα t−
e x où α = C te .
Le frottement entre la nappe et le plateau est négligé ; celui entre
l’assiette et la nappe est pris en compte, avec un coefficient de frottement noté f .
1. On suppose que, tout au long de l’expérience, l’assiette glisse sur la nappe. Quel est le signe de la
vitesse de glissement de l’assiette par rapport à la nappe, en projection sur ⃗ex ?
2. Calculer l’accélération ẍGA du centre de masse GA de l’assiette et ẍGN de celui GN de la nappe, dans
le référentiel de la pièce R. En déduire xGA (t) et xGN (t).
3. Déterminer l’équation vérifiée par la durée τ pendant laquelle la nappe est en contact avec l’assiette.
Lors d’un mouvement vif, on a α ≃ 2, 5 × 103 m.s−3 . Où se trouve l’assiette quand le contact nappeassiette cesse ? Conclusion ?
Données : M = 400 g, m = 50 g, R = 25 cm, r = 5, 0 cm et f = 0, 20.
Réponses : 2. xGA (t) = 21 f gt2 et xGN (t) =
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α 3
t
6
−
fMg 2
t ,
2m
3.
α 3
τ
6
2
(
− fg 1 −
M
2m
)
τ 2 = R + r conduit à τ = 0.095s.
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6 Glissement ou basculement d’un bloc
Un bloc de masse m, de longueur ℓ (égale à sa largeur) et de hauteur h repose sur un plan initialement
horizontal. On note f le coefficient de frottement statique entre le bloc et le plan, la nature du contact se
caractérisant par f ∈ [0, 1].
Un opérateur augmente progressivement la valeur de l’angle α que fait le plan avec l’horizontale.
On modélise le basculement éventuel du bloc par un pivotement sans glissement autour de la génératrice
−
−
de contact passant par I. On note alors J le moment d’inertie du bloc par rapport à cet axe et →
ω = −ω →
ez
son vecteur rotation instantané autour de cet axe, où sa vitesse angulaire est telle que ω > 0.
1. On ignore pour l’instant la possibilité de basculement du bloc. À quelle condition sur α y a-t-il
glissement ?
2. A quelle condition sur α le bloc bascule-t-il sans glisser ?
3. En déduire la condition sur les dimensions du bloc telle que celui-ci glisse sans avoir préalablement
basculé quelle que soit la surface sur laquelle il est posé.
Application numérique : quelle est la longueur minimale d’un bloc d’un mètre de haut avec f = 0.5
pour qu’il glisse sans avoir préalablement basculé ?
Réponses : 1. Glissement si tanα ≥ f , 2. Basculement si tanα ≥
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3
ℓ
, 3. Glissement sans basculement si ℓ > 50cm.
h
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