Chapitre 9 Fonctions vectorielles, arcs paramétrés. I. Fonctions vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1/ 2/ 3/ 4/ Limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Continuité et dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Propriétés de la dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Taylor-Young. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II. Les courbes paramétrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Interprétation cinématique, vitesse/accélération. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Étude locale des arcs plans.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Les branches infinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Longueur d’une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 III. Exemples de courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1/ Plan d’étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2/ Exemple 1 : l’astroïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3/ Exemple 2 : La cycloïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 Chapitre 9 Fonctions vectorielles, arcs paramétrés. I. Fonctions vectorielles. I.1/ Limite. Définitions. Soit I un intervalle de R. On note I, l’ensemble I avec ses bornes dans R. 1. Une fonction vectorielle f est une application de R dans Rn . Les fonctions f1 , . . . , fn de R dans R telles que f = (f1 , . . . , fn ) sont appelées les fonctions composantes de f . 2. Soit t0 dans I, l dans R, alors f admet une limite l en t0 notée lim f (t) = l si et seulement si t→t0 lim ∥f (t) − l∥ = 0 t→t0 Remarque. On rappelle que la norme utilisée dans la définition de la limite est une norme quelconque puisqu’en DF toutes les normes sont équivalentes. Propriété. Soient f = (f1 , . . . , fn ) une application vectorielle de I dans Rn , t0 un élément de I et l = (l1 , . . . , ln ) dans Rn . On a alors : 1 lim f (t) = l ⇐⇒ ∀k ∈ {1, . . . , n} lim fk (t) = lk t→t0 t→t0 I.2/ Continuité et dérivabilité. Définitions. Soit f une application d’un intervalle I de R dans Rn et t0 un réel de I. 1. f est continue en t0 si et seulement si lim f (t) = f (t0 ). t→t0 2. f est dérivable en t0 si et seulement s’il existe l dans Rn vérifiant lim t→t0 alors f ′ (t0 ) = l. f (t) − f (t0 ) = l. On note t − t0 3. f est continue (resp. dérivable) sur I si et seulement si f est continue (resp. dérivable) en tout point de I. 2 Notation. On note : - ∆n (I, Rn ) l’ensemble des applications de I dans Rn n fois dérivables, - C n (I, Rn ) l’ensemble des applications n fois dérivables avec f (n) continue, - C ∞ (I, Rn ) l’ensemble des applications de I dans Rn infiniment dérivable. Propriétés. Soit f = (f1 , . . . , fn ) une application d’un intervalle I de R dans Rn alors : 2 1. f est continue en t0 si et seulement si les fi sont continues en t0 pour tout i de {1, . . . , n}. 2. f est dérivable en t0 si et seulement si les fi sont dérivables en t0 pour tout i de {1, . . . , n}. Dans ce cas, on a : f ′ (t0 ) = (f1′ (t0 ), . . . , fn′ (t0 )) Exemple. L’application f suivante est dérivable sur R et f ′ est définie par : f R → t ↦ f′ R2 ( 2t 1 − t2 ; ) 1 + t2 1 + t2 R → t ↦ R2 −4t 2(1 − t2 ) ( ; ) (1 + t2 )2 (1 + t2 )2 I.3/ Propriétés de la dérivation. Propriétés élémentaires. Soient f et g dans ∆1 (I, Rn ). 3 1. Pour tous λ, µ de R, λ.f + µ.g est dérivable et : (λ.f + µ.g)′ = λ.f ′ + µ.g ′ 2. Si h est dérivable d’un intervalle J dans I alors f o h est dérivable et (f o h)′ = (f ′ o h) × h′ Propriétés - dérivabilité et linéarité. Soient f et g dans ∆1 (I, Rn ). 4 1. Pour toute AL L de Rn dans Rp , l’application L o f est dérivable sur I et (L o f )′ = L o f ′ 2. Si ϕ est une application bilinéaire alors ϕ(f, g) est dérivable et ϕ(f, g)′ = ϕ(f ′ , g) + ϕ(f, g ′ ). En particulier : ● t ↦ f (t).g(t) (produit scalaire) est dérivable sur I et (f.g)′ = f ′ .g + f.g ′ . ● Dans le cas où n = 2, det(f, g) est dérivable et det(f, g)′ = det(f ′ , g) + det(f, g ′ ) Conséquence. Soient f dans ∆1 (I, Rn ) et ∥...∥ la norme euclidienne de Rn . Alors l’application t ↦ ∥f (t)∥ est dérivable sur l’ouvert {t ∈ I/f (t) ≠ 0} et : 5 ∥f ∥′ = f.f ′ ∥f ∥ Exercice. Soit (I, f (t)) un courbe paramétrée de Rn vérifiant ∥f (t)∥ constant. Montrer que pour tout t de I, les vecteurs f (t) et f ′ (t) sont orthogonaux. 6 3 I.4/ Taylor-Young. → Notation. Soit A et B des points de Rn et Ð u un vecteur de Rn . On note : → → 1. A + Ð u l’image de A par la translation de vecteur Ð u. Ð→ 2. A − B = BA Théorème de Taylor-Young. Soient I un intervalle de R, t0 dans I et n dans N et f dans C n (I, Rn ). 7 ÐÐÐÐ→ (t − t0 )n ÐÐÐ→ ÐÐÐ→ (t − t0 )2 ÐÐ→ f (t) = f (t0 ) + f ′ (t0 )(t − t0 ) + f ′′ (t0 ) + . . . + f (n) (t0 ) + (t − t0 )n ε(t) 2! n! ÐÐ→ où ε est une application de I dans R vérifiant lim ε(t) = 0 t→t0 Remarques. 1. Pour avoir une vision géométrique de ce théorème, les éléments f (t) et f (t0 ) de Rn sont considérés ÐÐÐÐ→ comme des points de Rn , les f (k) (t0 ) de Rn sont considérés comme des vecteurs. Ainsi f (t) est vu comme l’image de f (t0 ) par une série de translations. 2. Attention, les (t−t0 )k k! sont tous des réels. ÐÐ→ 3. Comme pour les fonctions à valeurs dans R, on note o((t − t0 )n ) le (t − t0 )n ε(t) . Attention, ici o((t − t0 )n ) est un vecteur. 4. On approche f (t) par un polynôme à coefficients dans Rn et l’erreur commise est donnée par ÐÐ→ (t − t0 )n ε(t). 5. Pour faire un DL d’une fonction vectorielle, il suffit de faire un DL de chaque fonction composante. Exercice. Le DL2 (0) de la fonction f (t) = (t sin(t), et , ln(1 − t)) est : 8 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ 1⎛ f (t) = ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ t + ⎜ 1 ⎟ t2 + o(t2 ) 2⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎝ −1 ⎠ −1 ⎠ 4 II. Les courbes paramétrées. II.1/ Définition. Définition. 1. On appelle arc paramétré C k un couple (I, f ) où I est un intervalle I de R d’intérieur non vide et f une fonction C k de I dans Rn . 2. Le support de l’arc paramétré est l’ensemble f (I). Attention. Ne pas confondre support d’un arc et l’arc lui-même. Par exemple, les arcs paramétrés suivants ont même support mais sont différents : f∶ [0, 2π] θ → ↦ g∶ R2 (cos(θ), sin(θ)) [0, 4π] θ → ↦ R2 (cos(θ), sin(θ)) II.2/ Interprétation cinématique, vitesse/accélération. Définition. L’étude d’un arc paramétré (I, f ) correspond à l’étude du mouvement d’un mobile dans le plan. 1. l’intervalle I représente l’intervalle de temps. 2. le support f (I) représente la trajectoire du mobile. 3. f ′ (t) est la vitesse du mobile à l’instant t. 4. f ′′ (t) est l’accélération du mobile à l’instant t. Définitions. 1. Si f ′ (t) ≠ 0, le point f (t) est dit régulier, sinon le point f (t) est dit singulier ou stationnaire. 2. Si f ′ (t) et f ′′ (t) ne sont pas colinéaires, le point f (t) est dit birégulier. Remarque. Ainsi f admet un point non birégulier en t0 si et seulement si : det(f ′ (t0 ), f ′′ (t0 )) = 0 II.3/ Tangente. 9 Théorème. ÐÐÐÐ→ ÐÐÐÐ→ 1. Soit p le premier entier de N∗ tel que f (p) (t0 ) soit non nul alors f (p) (t0 ) est un vecteur directeur de la tangente au point t0 . 2. En un point régulier, le vecteur vitesse est un vecteur directeur de la tangente. 5 10 Exercice. Déterminer la liste des points non biréguliers de la courbe paramétrée de R2 définie sur [−π; π] par : x(t) = sin(t) − t { y(t) = cos(t) puis déterminer la tangente en ces points. II.4/ Étude locale des arcs plans. Supposition. On fait l’hypothèse suivante, toujours vérifiée en pratique qu’il existe des entiers p et q tels que : ÐÐÐÐ→ ÐÐÐÐ→ 1. f (p) (t0 ) ≠ 0 et ∀i ∈ {1, . . . , p − 1} , f (i) (t0 ) = 0 ÐÐÐÐ→ ÐÐÐÐ→ ÐÐÐÐ→ ÐÐÐÐ→ 2. (f (p) (t0 ), f (q) (t0 )) est libre et que les familles (f (p) (t0 ), f (i) (t0 )) pour p < i < q sont liées. 6 ÐÐÐÐ→ ÐÐÐÐ→ ÐÐÐÐÐ→ Ð → Ð → 11 Théorème. Notons T et D, les vecteurs f (p) (t0 ) et f (q) (t0 ). Les coordonnées de f (t0 )f (t) dans la Ð → Ð → base β = ( T , D) est équivalent à : ÐÐÐÐÐ→ [f (t0 )f (t)] β ⎛ ∼ ⎜ t0 ⎝ (t−t0 )p p! (t−t0 q! )q ⎞ ⎟ ⎠ Ainsi, la parité du couple (p, q) détermine complètement l’allure locale du support. q impair q pair Ð → D Ð → D Ð → T Ð → T p impair C’est un point d’inflexion Ð → D C’est un point ordinaire Ð → D Ð → T Ð → T p pair C’est un point de retournement C’est un point de retournement de première espèce de deuxième espèce 7 II.5/ Les branches infinies. Plan d’étude. Soit t0 au borne du domaine d’étude non inclus dans le domaine d’étude. Éventuellement t0 peut valoir ±∞. 1. Si x(t) Ð→ a et y(t) Ð→ ±∞, alors la courbe admet une asymptote verticale d’équation x = a. t→t0 t→t0 2. Si x(t) Ð→ ±∞ et y(t) Ð→ a, alors la courbe admet une asymptote horizontale d’équation y = a. t→t0 t→t0 3. Si x(t) Ð→ ±∞ et y(t) Ð→ ±∞, il faut déterminer la limite du quotient t→t0 t→t0 y(t) . x(t) a) S’il n’y a pas de limite, on ne peut conclure b) Si la limite est ±∞ la courbe admet une branche parabolique de direction (Oy). c) Si la limite est un réel a. Il faut alors déterminer la limite de y(t) − ax(t) lorsque t tend vers t0 ● Si la limite est ±∞, c’est une branche parabolique de direction y = ax. ● Si la limite est un réel b, c’est une asymptote d’équation y = ax + b. II.6/ Longueur d’une courbe. 12 Théorème. Si (I, f ) est un arc paramétré C 1 avec f = (x, y), alors la longueur de f entre a et b est : L(a, b, f ) = ∫ b a ÐÐ→ ∥f ′ (t)∥2 dt = ∫ a 8 b√ x′ 2 (t) + y ′ 2 (t) III. Exemples de courbes paramétrées III.1/ Plan d’étude Plan. 1. Déterminer le domaine d’étude. Il faut savoir exploiter les symétries, les périodicités. Exemples : – Si x(t) et y(t) sont impaires, il suffit de prendre t ≥ 0 et ensuite de faire la symétrie par rapport au centre O. x(a + t) = −x(a − t) – Si { , il suffit de prendre t ≥ a et ensuite de faire la symétrie par rapport à y(a + t) = y(a − t) (Oy). 2. On fait le tableau de variation de x et y. 3. On détermine les branches infinies. 4. Etude locale des points non birégulier. Remarquons que pour déterminer p et q, il est souvent plus facile de faire un DL. 5. Tracer du support. 6. Etude des points multiples. III.2/ Exemple 1 : l’astroïde 13 Exercice. Soit a un réel positif. Tracer l’arc paramétré { x(t) = a cos3 (t) y(t) = a sin3 (t) III.3/ Exemple 2 : La cycloïde 14 Exercice. Soit a réel positif. Tracer la courbe { x(t) = at − a sin(t) y(t) = a − a cos(t) 9