Sur la constante de Šnirel`man

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
J EAN -M ARC D ESHOUILLERS
Sur la constante de Šnirel’man
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome
exp. no G16, p. G1-G6
17, no 2 (1975-1976),
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G16-01
Séminaire OELANGE-PISOT-POITOU
(Groupe d’études de Théorie de s
année, 1975/?6,
17e
n~
G16, 6
nombres)
8
p.
mars
1976
SUR LA CONSTANTE DE 0160NIREL’MAN
par Jean-Marc DESHOUILLERS
2
]
est
de
somme
celui de V. BRUN
somme de deux
GOLDBACH
siècle,
pa ir L supérieur à
deux nombres premiers ; le premier résultat significatif est
qui démontre (vers 1920) que tout entier pair assez grand est
Au milieu du 18e
a
affirmé que tout nombre
entiers admettant chacun
plus 9 facteurs premiers ;
au
été suivie par différents auteurs, et le dernier résultat
( 196b~19?3 ) qui
CHEN FING RUN
d’un nombre
premier
et d’un nombre
multiplicité) ;
avec
démontre que tout entier
ayant
au
(dans
le second résultat
Snirelman)
tel que tout entier
à
majorations quccessives de x
Les
premiers.
supérieur
pair
grand est somme
facteurs premiers (comptés
assez
chronologique) est dû
entier n (appelé constante
est somme d’au
1
ont été
a
date est celui de
l’ordre
qui démontre l’existence d’un
L. G.
deux
plus
en
cette voie
(à
plus
K
à
de
nombres
connaissance) :
ma
) :2.1010
( 19b9 ) :6.10g
KLIMOV
PILTAI et SEPTITSKAJA
( 19?3 ) : 75, puis
(1975) :~ 27.
DESHOUILLERS
VAUGHAN
En outre, VAUGHAN indique dans
rique
est
( 1972) :
67
son
23 . En reprenant cette
ci-dessous)
pour les
article
méthode,
valeurs de
grandes
1.’15
x ,
autre méthode dont la limite
une
pour
une
nous
minoration de
A(x)
(,voir
démontrerons :
K: $ 26 .
La démonstration s’effectuera
(I)
A(x)
Soit
deux nombres
( II)
26
de
( III)
aux
on
(I)
on
également
montrera
somme
Je tiens à remercier R. C.
de
son
article
qui
x
sont
sommes
de
supérieur
à
69qp(247)
est somme
premiers.
premiers,
est
pairs inférieurs à
que tout entier
A l’aide des évalutations
exp(250),
parties :
a
On déduira alors du
nombres
3
le nombre d’entiers
premiers,
nombres
en
(à paraître
numériques de ROSIER et SCHOENFELD relatives
et inférieur à
que tout entier, supérieur à 1
plus 26 nombres premiers.
qui m’a aimablement communiqué le manuscrit
dans le Journal de Grelle
(J.
tûr reine und angew.
Math.)).
1re
partie : Minoration
de
A(x) pour
grande
x
et
partie, x désigne un nombre réel supérieur à
k un nombre entier positif ou nul inférieur à 51 . La lettre p (éventuellement
indexée.) désigne exclusivement un nombre premier impair, et on commettre l’abus
Dans toute cette
d"écriture
consistant à écrire
n(x)
premiers impairs inférieurs
nombres
ou
(resp.
égaux
le cardinal de l’ensemble des
notons
k , !~) ~
à
(resp.
x
pour le nombre de
de nombres
couples
à ~;
et congrus
On
a
la
en-
n ;
situés
p
h
est
majoration
le lemme 8 de VAUGHAN et la remarque
D’après
De
(p. , PL)
premiers
appartenant à l’ intervalle ) (kx/2) , (kx/2) + x) et dont la somme vaut
fin, désignons par R(k , x) un majorant du nombre de nombres premiers
dans un intervalle de longueur x et tels que
)h - p )( est premier, où
un entier pair supérieur à
x .
k ) ;
mod
(1), (2)
majoration triviale de
et de la
qui le suit,
R(h , x)
si
on
a
x
est petit,
on
déduit :
pour tous nombres réels
maintenant le membre de
les
expliquer
Pour
nous ne
3 ,
03A3 RO(n)
=
5 ,
(3)
cas
k = (3
en
0
~Z 1/2 ;
6 ~~
dévelcppant
le
produit
intervenant dans les
(pour
minorons
cas
d
=
3
et
d
=
5 ,
d’écriture).
des raisons évidentes
on a :
=
d
de
satisfaisant
simplifications
;3, 11
.3 2l
112 (03C0(x
203C0(x;3,1)03C0(x;3,2)+1
2(03C0(x;3,1)
.
3 |n
Pour
gauche
traite rons que le
d =
Pour
ô ~ , ~~
on a :
+
2
03C0(
03C0(x;3,2))2
+
1
x))2 .
n
n
1 2(03C0(x))2
.
((.x/d)
En utilisant les majorations
((due
1)
(trivial)
2x/(cp(d) log(x/d))
et
ainsi que les estimations fournies par ROS..ER et
à MONTGOMERY et
SCHOENFELD pour la
+
foaction
,
un
calcul
sans
grand intérêt conduit à la mino-
ration.
x)
Soit
x ~
pour
exp(240)
Reprenons
soit,
alors
un
100 ,
et
(3)
minorant de
et
(4)
avec
on
a :
ô1 = 0,03 , ô2 = 0,2
à l’aide des estimations de ROSSER et
k
théorème des
on a
bien la
2e
xs
s
+
2
partie :
pour
=
50 :
on
trouve :
~e
x
ésentation de grands nombres
l’infini : c’est le
vers
vaut
24,526851...
de
en
un nombre entier pair. inferieur
NO , tout .entier supérieur à sNO/2 + 62
s
ou
et
remiers
égal à
24 ; si
est somme d’au
plus
nombres premiers.
Il est
la
SCHOENFELD,
x) tend vers 1 quand x tend
nombres premiers) $ on en déduit que le ¿
minoration ~I~.
PROPOSITION 1. - Soit
A(x)
K
x 5.
pour
(pour
et
proposition
que cette
proposition implique l’étape (II).
Nous la déduirons de
suivante.
PROPOSITION 2. -
Soit B
une
suite strictement croissante d’entiers
positifs
nuls, contenant 0 $
ou
tifs de B
dépassant pas
implique k.B(n) ~ n
re comme
Soit
0
et
sinon ;
pour tout entier
et on
le
n1i
on
2ème
positif
éléments de
alors
kn1
n
+
on
appartenant à
et d’un entier
tel que
n
+
k.B(n)
1) peut s’écri(0 , k - 1] ,
n , s’il
ou
[2~, p. 20, pour tout entier positif
égal à k tel que n puisse s’écrire
(B* : n =
b1 +
existe,
=
positif
constituée:
1
+
n ,
(n1~
k
(sinon n1
k
est somme de
moines des nombres
commence
=
la
somme
n
ne
serait pas
éléments de
(B ;
kn1 ’
km1
+
n +
+ 1 ,
éléments de B , d’où la proposition 2.
k
on
comme
écrit
1)
+
un au
par les éléments
peut prendre par hypothèse :
on
appartient
est somme de
proposition 1,
et
~’ ,
n, il existe
b~ .
+
...
(k - h)
+
(k - 1)
Pour obtenir la
B
3’ de
tout entier
donc, pour
suite
supérieur à
m
on a
n1> 0 , alors ni
cas :
n +
n ,
n~ = 0 ,alors 8
cas :
maximal),
..,
, tout entier
plus grand entier
inférieur
h
entier
1er
sont deux entiers tels que
nO
déduit
en
de h
et
posi-
pose
D’oprès le théorème
un
k
éléments de B
k
de
effet
en
X . Si
ne
somme
le cardinal de l’ensemble des éléments
B(X)
note
on
par
1/2(p.
s/2
+
appliquer la proposition 2 à la
p.) , à laquelle on adjoint 0;
et
supérieur à sNO/4 + 5s/4 est somme de s/2 éléments
de S et d’un entier appartenant ~ (0 , ( s/2) - 1,) , et, en multipliant par
nombres
s
+ 5s/2 + 2
est somme d’au plus
deux, tout entier supérieur à
il s’ensuit que tout entier
et d’un entier
premiers
ou
égal
à
24 ,
de deux nombres
3e partie :
appartenant à
s
+
1) ; puisque
il suffit de vérifier que tout entier dans
s
est inférieur
(2, 25)
est somme
premiers.
Eeprésentation
PROPOSITION 3. - Soit
inférieur à
(2 ,
exp( 17,70
nombres premiers.
m
+
de etits nombres
un
entier supérieur
m10,21 } et supérieur
de deux nombres
en
égal à
ou
à
1
,
2 : tout
est somme
remiers
entier,
d’au plus
m +
3
La trosième
étape
On
par la vérification directe de
commence
inferieur à
653 ,
resulte de cette
est
somme
proposition,
premiers consécutifs inférieurs
nombres
2 68~i 10~2
tout entier inférieur à
que tout entier
ce
de deux nombres
23 .
m =
avec
la différence entre
premiers, puisque
à ? ~ 68bi 10~~
(et supérieur
est
(cf. [,1]) ~
652
plus
au
1)
à
positif pair,
est somme d’au
plus
quatre nombres premiers.
Pour dépasser
Tout
nombres
k
(b)
Pour tout entier
1
+
utilise le
on
entier, supérieur à
premiers,
mier entre
k
valeur,
que l’on ait trois entiers
Supposons
(a)
cette
X
n -
nombres
principe suivant :
X ,
Y
et inférieur
1
ou
tels que :
égal
et
n
+
X
n
X
entre
est tabulée dans
e
entier, supérieur à
plus quatre nombres premiers.
(b.)
+
est
nombre pre-
somme
d’au plus
~Z~
nous
permettent de rempla-
Y ,
et
il existe
nombre
un
premier
entre
[3 ] ,
page 267.
peut alors démontrer la proposition 3 :
Ca1)
n
Y
un
si
où la fonction
On
il existe
plus
par la suivante :
Pour tout entier
n
est somme d’au
premiers.
l’étape (b)
(b’)
X ,
n ; alors tout entier inférieur à
et
Les estimations effectives de ROSSER et SCHOENFELD
cer
à
(X, Y) ,
dans l’ intervalle
n
k
et
Tout
e(28)
=
exp(28,61)
(a~)
3,596.1(3 20145 ,
si
n
e
Tout entier dans
1
exp(28,6l ) ,
et inférieur à
et il existe donc
un
nombre
(exp(28,6t) , exp(38,12)) ,
(2 , exp(38,12))
est
somme
est somme d ’aw
premier
entre
n
et
d’où l’on déduit :
plus cinq noires pre-
d’au
miers.
e(35)
exp(38,12)
(b~ )
n +
(a~)
miers
...
=
1,8315.1(3 20145 ,
si
n
e
Tout entier dans
et il existe dore un nombre
( exp(38,12) , exp(48,33 )) ,
(2 , exp(48,33 ))
et
premier
on
est somme d’au
a
entre
n
et
donc :
plus
six nombres pre-
...
Puisque
la fonction
obtiendra la proposition 3
es
(L
~~
croissante
avec,
on
G16-06
BIBLIOGRAPHIE
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BRENT
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Math. of
[2]
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Math. of Comput., t. 29, 1975, p. 243-270.
03C8(x),
(TexteJean-Marc DESHOUILLERS
Mathématiques
Université de Bordeaux-1
351 cours de la Libération
33405 T ALEN0152
reçu le 19 juillet
1976)