ch v arithmetiques. 1 / 3

CH V
ARITHMETIQUES.
1/3
I. LES ENSEMBLES DE NOMBRES.
1. VOCABULAIRE ET NOTATION :
On note ℕ l’ensemble des entiers naturels.
Exemple : 0 ; 1 ; 2 ; etc.
On note ℤ l’ensemble des entiers relatifs.
Exemple : -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; etc.
On note ID l’ensemble des nombres décimaux. (nombre qui ont un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule)
Exemple :
5,24
; -7,6
; 2 ; etc.
On note ℚ l’ensemble des nombres rationnels. (nombre s’écrivant sous la forme d’un quotient d’entiers)
Exemple :
1
3
;
−5
7
; 2 ; etc.
On note ℝ l’ensemble des nombres réels. (Tout nombre rencontré au collège est réel).
Remarque : Certains nombres sont réels mais pas rationnels. On dit qu'ils sont irrationnels.
Exemple :  ;  2 ; etc.
2. REPRÉSENTATION :
ℝ
5
ℚ
ID
0,25;
ℤ
-1,8 ;
ℕ
0 ; 1 ; 2 ; 3 ...
-1 ;
-2;
-3;
...
2
1/3 ;
- 7/15;
17,36;
Π;
.....
...
1/2;
...
II. DIVISIBILITE.
Définition : soient A et B deux entiers naturels avec B non nul.
Effectuer la division euclidienne de A par B, c'est déterminer deux entiers naturels Q et R tels que :
A = B × Q + R avec R < B.
Q s'appelle le quotient entier et r le reste de la division euclidienne de A par B.
Exemple : Effectuer la division euclidienne de 606 par 7, puis de 1027 par 13.
Cours 3ieme (Ploy laurent)
CH V
ARITHMETIQUES.
2/3
Définition : Soient A et B deux entiers naturels avec B non nul.
On dit que B est un diviseur de A s’il existe un entier naturel Q tel que A = Q × B.
Remarques :
•
On dit « B est un diviseur de A » ou « A est un multiple de B » ou encore « A est divisible par B ».
•
Si B est un diviseur de A, alors Le reste de la division euclidienne de A par B est nul.
Exemples : les diviseurs de 10 sont : ..............................................
Les diviseurs de 12 sont : ...................................
Propriété -définition :
Tout entier naturel (supérieur à 1) est au moins divisible par 1 et par lui-même.
On appelle nombre premier, un entier naturel (supérieur à 1) seulement divisible par 1 et par lui-même.
Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sont des nombres premiers. Ils ne sont divisibles que par 1 et par eux même.
III. DIVISEUR COMMUN DE 2 ENTIERS NATURELS- PGCD.
Définition : Soient A, B et C, trois entiers naturels. On dit que C est un diviseur commun à A et B, si C est à la fois un
diviseur de A et de B.
Exemple :
Les diviseurs de 24 sont : .............................................................
Les diviseurs de 36 sont : ............................................................
Donc les diviseurs communs à 24 et 36 sont : ...................................................
Définition : Parmi les diviseur communs de A et B, l’un d’eux est plus grand que les autres. On l’appelle le plus grand
commun diviseur et on le note PGCD(A ;B).
Exemple : PGCD(24 ; 36) = ......... et PGCD(8 ; 12) =................
IV. ENTIERS NATURELS PREMIERS ENTRE EUX.
Définition : On dit que 2 entiers naturels sont premiers entre eux, lorsque leur seul diviseur commun est 1.
Remarque : Cette définition est équivalente à PGCD(A ; B) = 1.
Exemple : Les diviseurs de 14 sont ............................Et les diviseurs de 15 sont ..................................
Donc PGCD(14 ; 15) =........ , autrement dit 14 et 15 sont premiers entre eux.
V. FRACTIONS IRREDUCTIBLES.
Définition : On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Exemple :
6
9
7
9
est une fraction irréductible car 7et 9 sont premiers entre eux.
n’est pas une fraction irréductible car PGCD( 6 ; 9) = 3, autrement dit 6 et 9 ne sont pas premiers entre eux.
Cours 3ieme (Ploy laurent)
CH V
ARITHMETIQUES.
Propriété : Soient 2 entiers naturels A et B, et K = PGCD(A ; B). En simplifiant la fraction
3/3
A
B
par K, on obtient une
fraction irréductible.
Exemple :
On a vu que PGCD(26 ; 36) = .................... Donc
24
36
12 ×............. .............
=12 ×............. = .............
VI. ALGORITHME D’EUCLIDE.
Propriété :
Si on note R le reste de la division Euclidienne de A par B ( avec A>B), alors
PGCD(A ; B) = PGCD(B ; R).
Algorithme d’Euclide :
Pour calculer le PGCD de 2 entiers naturels A et B ( A>B) on utilise l’algorithme suivant :
1°/ Diviser A par B, on obtient alors le reste R.
2°/ Si R = 0, alors PGCD(A ; B) = B.
3°/ Sinon, on remplace A par B et B par R et on a PGCD (A ; B) = PGCD (B ; R).
On recommence à partir de 1°/.
Exemple : Calcul du PGCD (1078 ; 322).
1° étape
2°étape
Dividende Diviseur
1078
322
322
112
reste
112
quotient
3
3°étape
4° étape
On déduit de ce tableau que PGCD( 1078; 322) = PGCD (322 ; 112) = PGCD(...... ; .........) = 14.
VII. EXERCICE RESOLU.
323
à fin de la rendre irréductible.
247
2°/ Un libraire a en stock 323 romans policiers et 247 romans de science-fictions. Pour liquider son stock, il veut vendre
ces livres en faisant des lots de la manière suivante :
•
Tous les lots sont identiques (même nombre de romans policiers et même nombre de romans de science-fiction
dans chaque lots)
•
Le stock doit être entièrement liquider (chaque roman doit appartenir à un lot)
Déterminer le nombre maximum de lots que peut constituer le libraire, ainsi que le nombre romans policiers et de romans
de science-fictions dans chaque lot.
1°/ Simplifier la fraction A =
A savoir pour le contrôle et le brevet :
• Savoir déterminer le PGCD de 2 entiers naturels.
• Savoir si 2 entiers sont premiers entre eux.
• Rendre une fraction irréductible.
Cours 3ieme (Ploy laurent)