theorie courant lectrique

Loi d'Ohm
Aux extrémités d'un conducteur, on entretient par
l'intermédiaire d'un générateur une différence de
potentiel continue.
Le champ électrique va provoquer le mouvement
dans une direction des charges libres (électrons).
Le mouvement des électrons est gêné par les chocs
qu'ils subissent sur les ions fixes du métal.
Avant la création du champ électrique, les
électrons avaient un mouvement du à l'agitation
thermique.
En moyenne, à un instant donné quelconque, leur vecteur vitesse était nul.
Le principe fondamental de la dynamique pour un électron permet d'écrire :
où le terme
appelé " force de relaxation " traduit la gène due aux
chocs contre les ions (nous l'avons supposé proportionnel au vecteur vitesse).
La solution de cette équation différentielle donne
. Nous avons
considéré qu'à l'instant initial le vecteur vitesse était nul (en fait, il s'agit d'un vecteur vitesse
moyen pour l'ensemble des électrons).
A partir d'un temps
, la vitesse limite
est atteinte à mieux que 1%.
est la constante de temps, elle caractérise le temps d’établissement du régime.
Une autre façon de raisonner considère que, juste après un choc, en moyenne le vecteur
vitesse est nul et que l'électron subit la force électrique pendant la durée
Il atteint, au moment du choc suivant, une vitesse
entre deux chocs.
.
La vitesse moyenne de déplacement des électrons est égal à
Ce deuxième raisonnement donne une interprétation physique intéressante de , liée à la
durée entre deux chocs donc au libre parcours moyen et à la vitesse d’agitation thermique des
électrons libres du métal.
Cette interprétation nous permet d’admettre que le temps d'établissement du régime est très
est vraie à chaque instant. Nous pouvons
faible, c'est à dire que la relation
généraliser cette relation à des champs variables où les temps caractéristiques de variation
(période par exemple) seraient très supérieures à la constante de temps.
L'intensité du courant électrique est définie comme la quantité d'électricité qui traverse par
unité de temps une section S du conducteur.
où
est le vecteur densité de courant.
où n est le nombre d'électrons libres par unité de volume
du métal,
La relation
est appelé la conductivité et l'inverse
la résistivité.
constitue l'expression locale de la très importante loi d'Ohm.
Remarques :
•
l'habitude, héritée de l'histoire des Sciences, est de considérer un mouvement de
charges positives ; c’est pourquoi nous avons écrit
au lieu de
•
l’interprétation de la résistivité en termes de libre parcours moyen et de vitesse
d’agitation thermique ne conduit pas à des résultats satisfaisants quant au variation de
la résistivité avec la température … ce qui prouve les limites de cette théorie classique
•
" l’agitation thermique des électrons libres d’un métal " n’augmente pas son énergie
interne … seule une théorie quantique permet des interprétations satisfaisantes
•
on note une difficulté de notation communément admise :
représentent parfois
la densité volumique de charges et la densité surfacique de charges, parfois la
résistivité et la conductivité d'un matériau conducteur.
Expression intégrale de la loi d'Ohm
Soit un conducteur délimité par deux surfaces équipotentielles
On appelle ligne de courant le " trajet " suivi par les charges.
à potentiel
suivant une ligne de courant,
Ö
R est appelée résistance électrique
Cette relation constitue l'expression intégrale de la très importante loi d'Ohm.
Remarque
Il y a ressemblance des formules entre la capacité d'un condensateur et la résistance d'un
conducteur. L'analogie est plus complète si on remarque, qu'en électrostatique pour un
.
diélectrique et en électrocinétique pour un conducteur, la fonction potentiel obéit à
.
Nous admettons (ce qui semble évident pour un mouvement continu de charges mobiles) que
la densité volumique de l'ensemble de toutes les charges d'un conducteur est nulle.
Pour un diélectrique et un conducteur de même forme, les équipotentielles donc les lignes de
champ et les lignes de courant sont identiques et
Energie (effet Joule)
Considérons un électron sur une ligne de courant, son sens est celui des potentiels croissants
puisque sa charge est négative.
Sa variation d'énergie potentielle électrique lorsqu'il passe d'un point M en un point M'
infiniment voisin est égale à :
puisque
L'électron a perdu de l'énergie électrique, elle n'est pas devenue cinétique puisque le vecteur
vitesse est constant sauf à l'établissement du régime.
Cette énergie est devenue de l'énergie interne lors des chocs sur les ions (augmentation de leur
agitation thermique, donc de la température qui peut se stabiliser si le conducteur échange de
la chaleur avec l'extérieur).
Le nombre d'électron à vitesse
égal à
traversant un élément de surface
par unité de temps est
.
(le signe – introduit est
La perte d'énergie électrique est
conventionnel : il compte positivement la perte d’énergie électrique, c’est à dire le gain
d’énergie d’une autre forme).
Ce phénomène est connu sous le nom d'effet Joule.
L'expression locale de la puissance volumique dissipée par effet joule s'écrit
donc
.
L'expression intégrale pour le conducteur conduit à une puissance
égale à
dissipée par effet Joule