Exercices

Exercices
Vrai ou faux ?
Vrai
Faux
a)
La somme 0E + 0E est directe
ƒ
ƒ
b)
Si (u, v, w ) est une famille de vecteurs d’un espace
vectoriel E , toute famille de 4 vecteurs de v e c t (u , v, w )
est liée.
ƒ
ƒ
c)
Soient F et G deux sous espaces vectoriels d’un ev E .
Alors F + G = F si et seulement si G = 0E
ƒ
ƒ
d)
Soit une somme directe de sous-espaces vectoriels
E1 ⊕ E2 ⊕ · · · Ep d’un espace vectoriel E de dimension finie.
Alors p ¶ dim E
ƒ
ƒ
e)
Soit une somme directe de sous-espaces vectoriels non
nuls E1 ⊕ E2 ⊕ · · · Ep d’un espace vectoriel E de dimension
finie. Alors p ¶ dim E
ƒ
ƒ
f)
Une famille de p vecteurs d’un espace vectoriel est libre si
et seulement si son rang est égal à p
ƒ
ƒ
g)
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace
vectoriel E en somme directe. Alors F ⊕ G = F si et
seulement si G = 0E
ƒ
ƒ
h)
L’image par une application linéaire d’une famille de
vecteurs liée est liée
ƒ
ƒ
i)
l’image par une application linéaire d’une famille de
vecteurs libre est libre
ƒ
ƒ
j)
L’ensemble des applications croissantes de R dans R est
un sous-espace vectoriel de l’ensemble des applications
de R dans R
ƒ
ƒ
k)
L’ensemble des applications de R dans R qui sont T
périodiques , avec T > 0 est un espace vectoriel
ƒ
ƒ
l)
L’ensemble des applications périodiques de R dans R est
un espace vectoriel
ƒ
ƒ
1
m)
L’ensemble des suites périodiques à termes réels est un
espace vectoriel
L’ensemble des suites à termes réels de période 3
(∀n ∈ Nu n +3 = u n est un espace vectoriel de dimension 3.
P
o) Si u n est une série
P à2termes positifs telle que u n
converge, alors u n converge
n)
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
p)
Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie,
alors E × F est un espace vectoriel de dimension
dim(E ) × dim(F )
ƒ
ƒ
q)
Si E1 , E2 , · · · , Ep sont des sous espaces vectoriels de
dimension finie d’un espace vectoriel E , alors
p
p
X
X
dim(
Ei ¶
dim Ei , avec égalité si et seulement la
ƒ
ƒ
i =1
i =1
somme est directe
r)
Dans K, l’ensemble E1 des polynômes tels que P (1) = 0 et
l’ensemble des polynômes constants sont des
sous-espaces vectoriels supplémentaires
ƒ
ƒ
s)
Si F,G,H sont des sous espaces vectoriels d’un espace
vectoriel E de dimension finie, alors
F ∩ (G + H ) = F ∩ G + F ∩ H
ƒ
ƒ
t)
La réunion de deux sous-espaces vectoriels d’un espace
vectoriel E est encore un sous-espace vectoriel
ƒ
ƒ
2
Corrigés
Corrigés des Vrai/Faux
3