Physiques - concours.developpement

Il est précisé que le soin, la clarté ainsi que le respect de la langue française
seront pris en compte lors de la notation.
Les exercices sont indépendants les uns des autres et peuvent être traités dans un ordre quelconque
choisi par le candidat.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Exercice 1 : Étude d’un objectif d’appareil photo numérique (APN)
Première modélisation
On assimile l’objectif d’un appareil photo à une lentille simple convergente L de distance focale
f 0 = 50mm de centre optique O. Le capteur CCD 1 de l’APN est représenté par un écran E. Cette
lentille peut se déplacer selon son axe optique pour effectuer la mise au point. Le déplacement maximal
est égal à 5,0 mm
1.1 Le photographe effectue la mise au point sur un objet très éloigné. Dans ces conditions, où se
situe le capteur CCD par rapport à l’objectif ?
1.2 Quelle est la distance maximale entre le centre optique de la lentille et le capteur, sachant que
lorsqu’on approche un objet de l’objectif, son image se forme derrière le capteur ?
1.3 Quelle est, dans cette situation, la distance qui sépare l’objet à photographier de la lentille ?
On pourra utiliser les relations de conjugaison pour les lentilles minces.
1.4 Peut-on, avec cet appareil, photographier en gros plan une fleur placée à 40 cm de l’objectif ?
1.5 Sur votre copie, réaliser la construction complète de l’image dans le cas où l’objet est un disque
de diamètre 10 cm situé à 60 cm de la lentille. Vous pouvez choisir l’échelle de votre choix en n’omettant
pas de la préciser à côté de votre schéma.
Une modélisation plus réaliste
Dans toute cette sous-partie, on reprend la modélisation précédente d’un objectif, constitué cette
fois-ci d’une lentille convergente L1 de centre O1 avec f10 = O1 F10 = 75mm. Le capteur CCD est placé
dans son plan focal image.
Figure 1 – Téléobjectif
1. CCD pour Charge-Coupled Device est un composant électronique pour appareil photo numérique permettant de
convertir un signal lumineux en un signal électrique.
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On ajoute à cet objectif deux lentilles :
— une lentille divergente de centre O2 avec f20 = −25mm que l’on accole à L1
— une lentille convergente de centre O3 avec f30 = 100mm fixé devant l’ensemble L1 − L2 . La
distance O3 O1 est ajustée de telle manière à ce que l’image d’un objet à l’infini se forme sur le
capteur CCD.
Le système ainsi constitué des trois lentilles nous servira de modèle pour le téléobjectif.
2.1 Pourquoi ne peut-on pas modéliser un téléobjectif par une simple lentille ?
2.2 Faire un schéma du téléobjectif ainsi décrit : on représentera les lentilles avec les positions
relatives des centres optiques et des foyers. On complètera ce schéma par un tracé de rayons afin de
définir la position du foyer image F’ du téléobjectif.
2.3 Calculer l’encombrement de cet appareil, i.e., la distance séparant l’entrée du téléobjectif du
capteur CCD.
2.4 Un photographe souhaite réaliser l’image d’une tour de 40m de hauteur à une distance de 2km
du téléobjectif. Calculer la taille de l’image de cette tour sur le capteur CCD.
2.5 Quel aurait été l’encombrement de l’appareil si on l’avait modélisé par une lentille simple
donnant une image de même taille ? Conclure.
Profondeur de champ et nombre d’ouverture
Dans cette section nous revenons à la modélisation d’un objectif par une lentille unique. Le photographe décide alors de photographier un tableau situé à 3m de l’objectif. Il sélectionne comme ouverture
f/8 2 .
3.1 A quelle distance de l’objet doit se situer le capteur CCD pour que l’image du tableau soit nette ?
3.2 On utilise un appareil photo grand-format, i.e., dont le capteur CCD a une dimension de 24x36
mm contenant 16 millions de pixels. Sachant que les pixels sont carrés, donnez les dimensions d’un pixel.
3.3 Quelles sont les dimensions maximales d’un tableau (longueur x largeur) pour qu’on en obtienne
une image complète (non coupée).
3.4 Déterminer la profondeur de champ de cet appareil photo. On considérera qu’un point est vu
nettement à condition que la tâche lumineuse qu’il forme sur le capteur n’excède pas 30µm.
Les deux questions suivantes ne nécessitent pas d’avoir résolu les questions 3.1 à 3.4.
3.5 Afin d’augmenter
√ la profondeur de champ, le photographe décide de diminuer l’ouverture de
l’objectif d’un facteur 2. Quelle va être l’incidence de cette manipulation sur la photographie ? Comment y remédier ?
3.6 La figure 2 représente deux séries de photographies 3 effectuées à f /2.8 et à f /16. Indiquer
laquelle correspond à f/2.8. Justifier.
0
2. On appelle ouverture le nombre N tel que N = fD où D représente le diamètre du diaphragme. On note alors
l’ouverture f /N . Diminuer l’ouverture revient ainsi à augmenter N .
3. source des images : www.tutos-photo.fr
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Figure 2 – Exemples de différentes profondeurs de champ
Exercice 2 : Satellisation
La Terre est assimilée à une sphère de rayon RT = 6400km. Elle effectue un mouvement de rotation
uniforme de période T1 = 24h dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. On donne l’intensité
de la pesanteur à la surface de la Terre g0 = 9, 8m.s−2 . On admettra que l’énergie mécanique d’un
satellite sur une orbite elliptique est identique à celle d’un satellite sur une orbite circulaire moyennant
la substitution r ↔ a où r et a représentent respectivement le rayon et le demi-grand axe de l’ellipse.
Orbite circulaire à faible altitude
Dans toute cette partie, l’altitude du satellite est très inférieure au rayon terrestre RT .
1.1 Rappeler l’expression de la vitesse et de l’accélération d’un point mobile en coordonnées polaires.
1.2 Démontrer que la composante radiale de l’accélération est égale à
v02
RT
1.3 On pourra utiliser le principe fondamental de la dynamique au satellite pour exprimer la vitesse
v0 et en déduire ensuite la période T0 du satellite.
Dans toute la suite, on pourra admettre que :
v0 =
p
g0 RT
1.4 Calculer la vitesse vs d’un point situé à l’équateur au niveau de la surface terrestre. Exprimer
le rapport
vs
v0
en fonction de g0 , RT et T1 . Discuter.
1.5 Exprimer l’énergie W0 à communiquer au satellite pour qu’il puisse atteindre cette orbite depuis
une base de lancement située sur Terre en fonction de son énergie cinétique Ec0 sur l’orbite.
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Mise en orbite
En un point de l’orbite basse, on communique très rapidement une nouvelle vitesse v00 afin que le
satellite puisse, par l’intermédiaire d’une trajectoire elliptique de transfert, arriver tangentiellement à
l’orbite géostationnaire.
2.1 Exprimer v00 en fonction de v0 et du rapport d = r1 /RT , où r1 représente le rayon de l’orbite
géostationnaire.
2.2 Exprimer le travail W1 lié à cette étape en fonction de Ec0 et de d.
2.3 Quelle est, en fonction de v00 et de d, la vitesse v1 du satellite lorsqu’il arrive tangentiellement
à l’orbite géostationnaire ?
2.4 Au point où le satellite arrive tangentiellement à l’orbite géostationnaire, on lui communique
la vitesse v1 . Exprimer le travail W2 dépensé dans cette opération en fonction de Ec0 et de d.
2.5 En déduire le travail total W 0 nécessaire à la mise en orbite géostationnaire du satellite.
Exercice 3 : Deux façons de réaliser un déphaseur
Dans le premier circuit étudié le générateur fournit une tension e(t) = E cos ωt (voir figure 3). La
référence des potentiels est prise en M et on suppose le régime permanent établi. On posera R0 Cω = X.
Par ailleurs on note V l’amplitude complexe d’une tension sinusoïdale v(t). Par exemple si la tension
v(t) s’écrit
v(t) = V cos (ωt + φ) = Re{V . exp (jωt)}
alors on écrira V = V exp (jφ) où j est le nombre complexe tel que j 2 = −1.
Figure 3 – Premier circuit
3.1 En remarquant que :
— les deux résistances R sont parcourues par le même courant
— le condensateur C et la résistance R’ sont parcourus par le même courant
montrer que
Vs =
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1 − jX
×VB
1 + jX
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3.2 De quel type de circuit s’agit-t-il ? Calculer la phase φ de la tension vs .
3.3 On étudie désormais le circuit de la figure 4
Figure 4 – Deuxième circuit
Déterminer la fonction de transfert :
H (jω) =
Vs
.
Ve
On supposera l’amplificateur linéaire intégré idéal.
3.4 Comparer les deux circuits.
Fin
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