Document - ePIphys

P.Aimé. 18/07/07
Calcul di¤érentiel/Di¤érentielles/Exemples de di¤éomorphismes/demo7.pdf
Enoncé
Les applications suivantes, de R2 dans R2 sont-elles des di¤éomorphismes ?
Si ce n’est pas le cas, préciser si l’on peut se restreindre à un ouvert convenable sur lequel on obtient un di¤éomorphisme de cet ouvert sur son image, et
interpréter les arcs transformés des droites parallèles aux axes, dont on donne
la représentation.
1. f1 (x; y) = (ex
ey ; x + y)
2. f2 (x; y) = (x2 + y 2 ; 2xy)
3. f3 (x; y) = (x2
y 2 ; 2xy)
Solution
Dans tous les cas, on cherche un ouvert U R2 sur lequel les trois hypothèses
du théorème d’inversion sont véri…ées :
- f est C 1 sur U , on sait que pour cela, il su¢ t que les dérivées partielles
soient continues, on écrit donc la matrice jacobienne en tout point de U . Rappelons que ses colonnes sont les vecteurs dérivées partielles.
- f est injective sur U , donc bijective de U sur f (U ) (si possible, on détermine
f (U ), selon le théorème d’inversion, c’est un ouvert de R2 ),
- En tout point de U , la matrice jacobienne de f est inversible, en pratique
son déterminant est non nul.
ex
ey
, les d.p. sont continues sur R2 .
1
1
Soit (a; b) 2 R2 . S’il existe (x; y) tel que
1. (a) J(x;y) f1 =
(ex
ey ; x + y) = (ea
eb ; a + b),
alors
y
2x
e
x
e
a
e
b
e
a+b
e
= a+b
= 0.
x
Le changement de variable X = ex , et la résolution de l’équation du
second degré en X montrent qu’il existe une soution unique (sachant
que X > 0), f1 est donc injective.
En…n det J(x;y) f1 = ex + ey 6= 0.
En conclusion, f1 est un C 1 -di¤éomorphisme de R2 sur f1 R2 .
On peut préciser que f1 R2 = R2 , sachant que pour tout ( ; ) 2
R2 , l’équation (ex ey ; x + y) = ( ; ) possède une solution (d’après
le raisonnement qui conduit à l’injectivité).
1
(b) L’arc image d’une droite verticale x = a, paramétrée par y, est
paramétré par
(y) = (X; Y ) = (ea
ey ; a + y) .
Les points de appartiennent donc à la courbe d’équation cartésienne
Y = a+ln (ea X). En se limitant à la famille des segments compris
entre [A; B] et [C; D] sur la …gure ci-dessous, cela donne les courbes
en rouge.
(c) L’arc image d’une droite horizontale y = b, paramétrée par x, est
paramétré par
(x) = (X; Y ) = ex
eb ; x + b .
Les points de appartiennent donc à la courbe d’équation cartésienne
Y = b + ln eb + X . En se limitant à la famille des segments compris
entre [A; B] et [C; D] sur la …gure ci-dessous, cela donne les courbes
en bleu.
2. Pour les exemples 2,3,4 la méthode est analogue, bien qu’il soit parfois
intéressant de permuter l’ordre des véri…cations.
(a) J(x;y) f2 =
2x 2y
2y 2x
, les d.p. sont continues sur R2 .
det J(x;y) f2 = 4 x2 y 2 . On se restreint donc à l’un des quatre
quarts de plans ouverts bordés par les droites jxj = jyj. Par exemple
U1 , dé…ni par x2 > y 2 et x > 0, les autres étant notés Ui , i = 2; 3; 4,
4
[
et =
Ui .
i=1
Traitons simultanément les questions d’injectivité et de surjectivité,
c’est à dire le système
(x2 + y 2 ; 2xy) = (u; v) .
2
où (u; v) 2 R2 est donné.
- Si (u; v) = 0, la seule solution est (x; y) = (0; 0) 2
= .
- Si u < 0, un point (u; v) n’a pas d’antécédent.
p
u),
- Sipv = 0, u > 0, le point (u; v) possède quatre antécédents (0;
u; 0) donc un seul dans chacun des ouverts Ui .
(
- Si u2p> v 2 et u > 0, le point (u; v) possède quatre antécédents
p
v
x=
u
u2 v 2 , y = 2x
, qui appartiennent à
(véri…er p
que
2
2
x = y est exclu), répartis sur le cercle x2 + y 2 = u, de rayon u,
, 2
, il y a donc
les arguments sont de la forme , + , 2
un un seul dans chacun des ouverts Ui .
- Si u2 < v 2 , un point (u; v) n’a pas d’antécédent.
En conclusion, la restriction de f2 à chacun des ouverts Ui est un
C 1 -di¤éomorphisme de Ui sur f2 (Ui ) = V , V étant le secteur ouvert
dé…ni par u2 > v 2 , u > 0.
(b) L’arc image d’un segment de droite vertical x = a > 0, y 2 < a2 ,
inclus dans U1 , paramétrée par y, est paramétré par
(y) = (X; Y ) = a2 + y 2 ; 2ay .
Les points de appartiennent donc à la courbe d’équation cartésienne
Y2
est un segment de parabole inclus dans V , dont les
X = a2 + 4a
2 , c’
extrémités sont les points 2a2 ; 2a2 .
L’arc image d’une demi-droite horizontale y = b, x2 > b2 , inclus dans
U1 , paramétrée par x, est paramétré par
(y) = (X; Y ) = b2 + x2 ; 2bx .
Les points de appartiennent donc à la courbe d’équation cartésienne
Y2
X = b2 + 4b
est une portion de parabole incluse dans V , dont
2 , c’
l’extrémité est le point 2b2 ; 2b2 .
3. La fonction f3 est la traduction dans R2 de l’application z 7 ! z 2 de C
dans C.
2x
2y
, les d.p. sont continues sur R2 .
2y 2x
det J(x;y) f3 = 4 x2 + y 2 . On se place pour commencer sur le
complémentaire de l’origine.
Le système
(x2 y 2 ; 2xy) = (a2 b2 ; 2ab), avec (a; b) 6= (0; 0) donne
p
2
2
x2 = a a2 +b , et donc deux solutions symétriques par rapport à
l’origine.
Une résolution avec les coordonnées polaires (module/argument de
2
z) est plus directe encore, z 2 = jzj et arg z 2 = 2 arg z.
Finalement, on restreint f3 à un demi-plan ouvert bordé par une
droite passant par l’origine, par exemple U dé…ni par x > 0, et f3
(a) J(x;y) f3 =
3
est un C 1 di¤éomorphisme de U sur f3 (U ), complémentaire de la
demi-droite v = 0, u 0.
(b) L’arc image d’une droite verticale x = a > 0, y 2 R, est paramétré
par
(y) = (X; Y ) = a2 y 2 ; 2ay .
Les points de appartiennent donc à la courbe d’équation cartésienne
Y2
X = a2 4a
est une parabole entièrement décrite, contenue dans
2 , c’
f3 (U ) (courbes en rouge sur la …gure de l’énoncé).
De même, f3 transforme les demi-droites horizontales x > 0, y = b
en demi-paraboles, et pour deux valeurs opposées de b, la réunion est
une parabole (courbes en bleu sur la …gure de l’énoncé).
4