TD: Cinématique du point matériel xy OCM θ R r
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TD: Cinématique du point matériel Exercice 1 : mouvement d’un point matériel sur un cercle Dans le référentiel terrestre R, un point M décrit une trajectoire circulaire de centre C et de rayon R dans le plan de la figure (Oxy). Il est repéré en coordonnées polaires comme l’indique la figure ci-dessous et se déplace avec une vitesse angulaire eθ y + M r O 1. 2. 3. θ C er R x Déterminer l’équation en polaire de la trajectoire de M en coordonnées polaires. Exprimer, dans la base (er, eθ,ez) , les vecteurs vitesse et accélération de ce point par rapport au référentiel R. Quelles sont leurs normes respectives ? Montrer que le vecteur accélération de ce point peut s’exprimer simplement en fonction de ω0 et du vecteur CM ? En déduire que le mouvement de M est circulaire uniforme et qu’il s’effectue avec une vitesse angulaire que vous préciserez. Exercice 2 : Trois chiens se poursuivent A l’instant t=0, trois chiens A, B, C sont situés aux trois sommets d’un triangle équilatérale de côté a et se mettent en mouvement. Le module de leur vitesse, identique pour les trois, est v . Le chien A se dirige constamment vers B, qui se dirige constamment vers C, qui, lui-même, se dirige constamment vers C, qui, lui-même, se dirige constamment vers A. 1. Quelle figure forment les trois chiens à chaque instant t ? 2. Déterminer la trajectoire suivie par chaque chien ainsi que les lois horaires définissant le mouvement sur ces trajectoires. On utilisera les coordonnées polaires. Déterminer r(t) et θ(t) et r=f(θ). 3. A quel instant les trois chiens se rencontrent-ils ? Quelle distance auront-ils parcouru ? Exercice 3: Mouvement circulaire Un point M se déplace sur un cercle de rayon R. A t=0 M est en O. Son accélération radiale est à tout instant égale à -3t. Déterminer à l'instant t la position, la vitesse et l'accélération. Exercice 4: Accélération dépendant de la position Une particule, initialement au repos en x0, se déplace rectilignement avec une accélération . Calculer la vitesse de la particule au point d’abscisse x. Exercice 5: Etude d'un mouvement sur une cycloïde Une roue de rayon R roule sans glisser sur un rail rectiligne Ox. Un point M à la périphérie de la roue coïncide à la date t=0 avec l’origine O du repère, le centre C de la roue a une vitesse V0 positive, constante, parallèle à Ox, dans le plan xOz. Roulement sans glissement : Le point de contact I de la roue avec le rail a une vitesse nulle. 1. Déterminer les coordonnées x et z du point M : on introduira l’angle θ(t), angle dont la roue a tourné depuis la date t=0. Déterminer la vitesse du point M (dθ/dt=ω vitesse angulaire). Exprimer la condition de roulement sans glissement et en déduire θ(t) en fonction du temps t. Déterminer l’accélération du point M. 2. Représenter la trajectoire z=f(x) en notant sur ce schéma quelques points caractéristiques (points de vitesse nulle et points de vitesse maximale). 3. Déterminer la longueur L d’un arc de cycloïde. z C M O θ x Exercice 6: Mouvement d’un point matériel sur une conique. Hodographe Dans le plan orthonormé (OXY) de vecteurs unitaires , on considère une particule M telle que les composantes de son vecteur vitesse suivant OY et suivant la perpendiculaire à OM sont valent respectivement a et b; avec a et b des constantes au cours du mouvement. On utilisera les coordonnées polaires 1. Déterminer la trajectoire de M dans le cas général où a≠0 et b≠0. Etudier les 3 cas particuliers: a=0, b=0 et a=b≠0. 2. Déterminer l’hodographe du mouvement. Exercice 7: Un promeneur et son chien Un promeneur A suit son chemin rectiligne avec une vitesse constante V0. A l'instant initial, son chien M se trouve à une distance d sur la même perpendiculaire au chemin. Puis il court vers son maitre à la vitesse v (v=cte). On cherche à déterminer la durée de la poursuite. Soit x et y les coordonnées de M, r=AM et θ défini sur le schéma. 1. Exprimer dx/dt et dy/dt en fonction de v et de θ, puis x et y en fonction de v0, r, θ et t. En déduire deux équations différentielles en r(t) et θ(t). 2. En déduire une équation différentielle en r(θ). Vérifier que est la solution qui tient compte des conditions initiales. 3. Quelle condition v et v0 doivent-elles vérifier pour que le problème ait une solution? Quelle est la valeur finale de θ? Ecrire l'équation différentielle de θ(t). 4. Sachant que , déterminer la durée t de la poursuite en fonction de d, v et v0. Eléments de réponse : Ex.1 : Ex.2 :Les trois chiens forment un triangle équilatéral à chaque instant t. Ex.3 : Ex.4 : Ex.5 : Ex.6 : Ex.7 :
