Homologie et cohomologie singulières

Séminaire Henri Cartan
J. D IXMIER
Homologie et cohomologie singulières
Séminaire Henri Cartan, tome 1 (1948-1949), exp. no 5, p. 1-8.
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1948-1949__1__A5_0>
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Séminaire H. CARTAN
5-01
E.N.S., 1948/49. Topologie algébrique.
HOMOLOGIE ET COHOMOLOGIE
(Exposé
SINGULIÈRES.
DIXMIER, le 20.12.1948,
complété par H. CARTAN).
fait par
Changement de notation : dans
un
complexe simplicial
sous-complexe L , le groupe des chaînes relatives
graphe 6) sera désormais noté C(K mod L) pour éviter
pe d’homologie correspondant sera noté H(K mod L) .
et la cohomologie relatives (exposé 4, paragraphe
et H (K mod L) .
un
K
où l’on considère
C(K/L) exposé
2, paragrou-
haines
5) : on écrira (K mod L)
l.-
Chaînes singulières, homologie singulière.
Rappelons (exposé 1, paragraphe 1) qu’un simplexe euclidien de dim. p a
été canoniquement identifié à un sous-espace d’un cube de dim. p+1 ~ à savoir
le sous-espace dos systèmes de nombres réels (03BBo,...,03BBp) tels que 03BBi 0 ,
= 1
; c’est un espace topologique muni également d’une structure linéai-
03A3i 03BBi
re-affine. Un tel simplexe est "ordonné" par la relation d’ordre des indices
0.....p
Ào ...../BP .
des variables
E
Soit alors
topologique quelconque.
Un simplexe singulier (ou "simplexe continu") de dimension p de l’espace E est, par définition, une application continue (non
nécessairement biunivoque) d’un simplexe euclidien ordonnée de dimension p ~
dans l’espace E. C’est donc une fonction continue x , à valeurs dans E ~ de
1 . L’égalité de deux simplexes
p+1 variables ~. ~. 0 telles que ~. À .
singuliers de même dimension se définit par l’identité des fonctions. Un simplexe singulier de dimension 0 s’identifie à un point de l’espace E . On appelle support d’un simplexe singulier x l’ensemble des valeurs de la fonction
un
espace
=
c’est
x(A ~...~X) :
Soit
que
0
tels que
dans cet
rons
x
x
i
un
p .
A.
0
=
un
sous-ensemble compact de
simplexe singulier
La restriction de la fonction
est une fonction des
ordre ; c’est donc
x
. Le support de
Soit,
pour
de dimension
chaque
un
entier
p
~.l ~
et
x(03BBo,...,03BBp)
i
un
aux
est contenu
S
entier tel
systèmes
p
P
simplexe singulier
p ~,0 ~
E.
de dim.
dansle support
(E)
p-1 ,
de
que
nous
(/B. )
prises
note-
x.
le groupe libre ayant pour base
simplexes singuliers de dim, p de l’espace E ; les éléments de
s’appellent chaînes singulières (de dim, p ) de l’espace E ; ce sont les
combinaisons linéaires finies, à coefficients entiers, de simplexes singuliers
l’ensemble des
S (E)
.
(de
dim.
gradué.
E . Le groupe S(E) ? somme directe des
On y définit un opérateur de dérivation (5 ~ appelé
p)
suivante : si
c~x
=
ôx =
0 ;
S p {E) !
de
si
est
x
est
x
~_
un
un
bord,
est
est de
degré
-1 ,
groupe
de la manière
simplexe singulier de dim. 0 (point de E ),
simplexe singulier de dim. p ~ 1 , on pose
L’endomorphisme d
un
on
pose
et il satisfait bien
i==0
a
ôô = (3 .
support d’une chaîne singulière est, par définition, la réunion des supports de ceux de ses simplexes dont le coefficient n’est pas nul. C’est un ensemble com act. Si x est une chaîne singulière, le support de ôx est contenu dans
le support de x .
Muni de sa graduation et de l’endomorphisme c~ ~ le groupe S(E) est un
groupe gradué à dérivation, auquel on peut appliquer les notions de l’exposé 2
(paragraphe 4). On obtient ainsi le groupe d’homologie sin ulière de l’espace E !
noté H(E) . C’est un groupe gradué ; le groupe d’homologie singulière pour la
Le
.
dimension
p
se
note
H
Interprétation de
P (E) .
H (E)
c’est le
du groupe libre
ayant pour base
l’ensemble des points de E 9 par le sous-groupe des bords des simplexes singuliers de dimension 1 . Or appelons composante connexe d’un point M de E
l’ensemble des points P de E qui peuvent être joints à M par un "arc",
c’est-à-dire tels qu’il existe un simplexe singulier de dim, 1 dont le bord
soit la différence entre le point P et le point M . L’ensemble des composantes connexes des points de E constitue une partition de E , et le groupe
d’homologie Ro(E) , pour la dimension 0 ~ s’identifie au groupe libre ayant
pour base l’ensemble des composantes connexes de E . Ainsi l’homologie pour la
dimension 0 est liée aux propriétés de connexion (par arcs) de l’espace E .
s
quotient
complexe simplicial localement fini, et K l’espace topologique
(localement compact) qu’il définit (exposé 1) , On définira plus tard un isomorphisme (canonique) de
H(K) (groupe d’homologie simpliciale du complexe K ) sur
H(K) (groupe d’homologie singulière de l’espace K ). Il en résultera que H(K)
est un invariant topologique de l’espace K.
Soit
K
un
~~
,.,,,
2.- Cochaînes singulières, cohomologie singulière.
Soit Y
un
groupe
abélien donné
une
fois pour toutes
(cf. exposé 4).
Hom(S(E),03B3)
Le groupe
n’est à craindre. On
bigüité
S*(E,03B3) ,
noté
sera
S*(E)
simplement
ou
aucune am-
singulières
le groupe des cochaînes
l’appelle
si
de
l’espace E (à valeurs dans y ). Il s’identifie au groupe des fonctions de
simplexes singuliers, à valeurs dans v . D’après l’expose 4, paragraphe 2,
S (E)
dérivation $ l’opérteur de dérivation 8 , transposé de c~ , s’appelle cobord. Une cochaine de degré p (fonction f des simplexes singuliers de dimension p ) a son cobord ~f qui est une fonction des
est
un
groupe
gradué
de
dim. p+1
simplexes sing,
à
donnée par la formule
Le groupe dérive de
(relativement à y )
E
pace
degré
s’anpelle
se
p
mension
et
note
groupe de
composante
sa
cohomologie singulière
homogène
E
de
de
de
pour la di-
p .
Les cochaînes de
valeurs
degré
Les
dans ~ .
s’identifient
0
degré
de
cocycles
connexe
pe de
pour la dimension
cohomologie
valeurs
aux
fonctions d’un
constantes
sur
0
point
de
degré
s’identifie
au
chaque composante
à
E ,
sont les fonctions constantes
0
E. Tout cobord de
de
chaque composante
(à
H~~E, ) p
note
se
singulière
de cohomologie
groupe
sur
étant nul, le grou-
0
groupe des fonctions
connexe
de
E .
complexe simplicial localement fini, on définira plus tard un
isomorphisme canonique H*(K) ~~ H (K) du groupe de cohomologie singulière de
l’espace K sur le groupe de cohomologie simpliciale du complexe K .
Si
Ce
et
gie
K
est
un
qui a été dit (exposé 4, paragraphe 4) sur 1’accouplement entre homolocohomologie vaut pour l’homologie et la cohomologie singulières.
3.- Structure multiplicative.
complexe simplicial (exposé 4, paragraphe 8),
cochaines une multiplication, lorsque 03B3 est
produit d’une cochaîne singulière de degré p
Comme pour les cochaînes d’un
on
peut définir dansl’ensemble
un
anneau. Il suffit de définir le
des
et d’une
cochaîne
degré
cela, associons
simplexe singulier x’ ,
x(03BBo,...,03BBp+q
)
aux
simplexe singulier x" ,
aux
de
degré
systèmes
cochaîne de
~~. ~
degré
tels que
p
et
de
g
sera une
cochaîne
singulier
x
singulière
de
de dimension
dim. p , obtenu par restriction de la fonc-
(X. )
systèmes
de
q ~ qui
à chaque simplexe
p+q. Pour
p+q , le
tion
singulière
tels que
03BBi = 0
i >
pour
p ; et le
dim, q ! obtenu par restriction de la fonction
À. =
une
0
pour
cochaîne de
i
p . Cela
degré
étant,
q, leur
si
produit
f
est
sera
x
une
la
cochaîne
h ~ fonction
des
h(x)
le
ce
qui
devient
été dit
a
dim. p+q , définie par
de
f(x’) g(x") ,
du second membre s’entendant
produit
Tout
=
simplexes sing,
un anneau
au
sens
de la
multiplication
(exposé 4, paragraphe 8) peut
se
répéter
dans l’an-
ici :
gradué à dérivation, qui satisfait notaient à
6(fg) =
(notations
+
de
l’exposé 4,
paragra-
phe 8).
est muni d’une structure d’anneau
Donc
singulière
On
l’espace
de
phisme
H~ (~i~
~
relativement à l’anneau
E,
est
K
que si
verra
H*(K)
gradué :
un
est
anneau
de cohomoloie
y .
complexe simplicial localement fini, l’isomoraussi un isomorphisme pour la structure multipli’
cative.
4. Effet d’uneapplicationcontinue.
E’
topologiques, cp une application continue
de E dans E’ . Si x est un simplexe singulier de l’espace E, l’application composée ox est un simplexe singulier de l’espace
L’application
-wa
x
03C6 ox de l’ensemble des simplexes singuliers de E dans l’ ensemble des
simplexes singuliers de E’ définit, par linéarité, un homomorphisme f de
On en déduit
S(E) dans S(E’ ) . C’est un homom, permis,
un homom,
f du groupe d’homologie singulière H(E) dans le groupe d’homologie
Soient
E
et
deux espaces
*
s
singulière H(E’ ) . Propriété évidente c’e transitivité, dans le cas de 3 espaces
E , Et, E" , d’une application continue 03C6 de E dans E’ , d’une applic. conde E dans
tinue 03C8 de E’ dans E" , et de l’application composée 03C8 o 03C6
E" .
L’homomorphisme transposé
mis,
et c’est
un
f*
de
{3 (E’ )
homom, d’anneau. Il définit
dans
S*(E)
est
un
homom, per-
f~ de l’anneau
cohomologie singulière
un
homom.
mologie singulière H*(E’) dans l’anneau de
a le diagramme de compatibilité relatif à l’accouplement
de cohoOn
5.- Homologie et cohomologie relatives.
Soit
être
F
fermée
un sous-espace
un
sous-groupe
le
support
S(E
C’est
et
un
groupe d’homologie
s’appellora
Hom(S(E
Le groupe
groupe
s’annulent
sur
mod
les
singulièrede
S*(E
noté
F),~) ,
S~{E,~) :
de
permis
à dérivation. Son groupe dérivé
gradué
groupe
notera
F?~) ,
le sous-groupe des cochaînes
dont le
simplexes singuliers
notera
se
module F .
E
H(E
mod
F)
module F .
E
mod
se
dcnt
E
sig. de
F . Le groupe quotient S(E)/S(F)
le groupe des chaînes singulières de
s’appellera
et
s’identifie à
le sous-groupe des chaînes
S(E) :
de
est contenu dans
F)
mod
(permis)
pourra notamment
singulières S(F)
ouvert. Le groupe des chaînes
ou
F
l’espace topelogique E ;
de
support
s’identifie à
singulières
sous-
un
E
de
q-~.
F . En
est contenu dans
outre, puisque S(F) est facteur direct de S{E) ~ on peut identifier
mod F, ~ ) . On aura donc (cf. exposé ~~ paraau quotient de
par
graphe 7, et exposé 4, paragraphe 5) les deux suites exactes suivantes
avec
les
En
S*(E
mod
compatibilités d’accouplement qu’indique
qui
ce
F)
est
fie à l’anneau
cohomologie
concerne les structures
un
ce
diagramme.
(si ~ est un
S*(E) ; S*(F)
multiplicatives
sous-anneau, et même
un
idéal de
s’identi-
Deux des trois homom. de la suite exacte des groupes de
quotient.
sont des homomorohismes d’anneaux
Remarque.-
H(E
F)
mod
H*(E
et
mod
F)
ne
sont pas,
en
générale
des inva-
l’espace différence E--F , Par exemple, envisageons le
F est le complémentaire d’un point Iw de E. Les groupes
cas où
H(E mod F) et H*(E mod F) expriment alors non des propriétés d’un espace
réduit à un point I~~~ 3 mais des propriétés locales de l’espace ambiant E au
voisinage du po5nt r-j ; on les appelle parfois groupe d’homologie (resp. de
cohomologie) de E au point M. Lorsque E est une variété de dimension ’
nod F) est nul pour tout p ~ saufpour
n , on verra plus tard que
p = n
(auquel cas il est isomorphe au groupe additifdes entiers).
riante
topologiques
de
H p (E
Si
dans
E’ ,
et
on a
deux espaces
E’ , qui applique
on en
H(E
mod
un
E’ ,
et
une
sous-espace
F
de
E
et
déduit des homomorphismes de
F)
dans
H(E’
mod
F’ ) ,
H(E)
application continue 03C6
E
dans
dans
un
sous-espace
H (E’ ) ~ H (F)
Ces homom. donnent lieu
au
de
E
F’
de
dans
diagramme
H (~‘’ ) ,
de
compatibilités
On
des
hcmonorphismes analogues
(rosp. anneaux) de cohomologie.
a
6.- Homologie
et
espèce.
do deuxième
cehomologie singulières
et
peur les groupes
dicgrc.n;w;.e analogue
un
l’espace E soit localement compact. On va définir
d’autres groupes d’homologie et de cohomologie, qui se réduiront aux précédents
lorsque E est un espace compact.
Supposons désormais
était le groupe
(E)
entiers tous nuls sauf
S
Le groupe
coefficients
liers
(de
voici :
un
p)
dim.
une
que
de
l’espace
des combinaisons linéaires
nombre
E. C’est
un
fini,
de tous les
formelles, à
simplexes singu-
sous-groupe du groupe
S (15)
que
combinaison linéaire à coeff. entiers des
simplexes singuliers (de
compact F de E , les coef-
appartient à S
si, pour tout
ficients des simplexes singuliers dont le support rencontre F sont nuls sauf
un nombre fini. Le support d’une chaîne singulière de deuxième espèce (élément
est, par définition, la réunion des supports des simplexes singuliers dent le coefficient est
~ 0 ; c’est un ensemble fermé.
dim.
p)
de
On
prendra garde
La
somme
E
(E)
S
que
directe
lières de deuxième
notera
de
E.
U2 ,
on
compactes
U2)
pro-jective
"
tels
H(E) ,
et
l’espace
en
a
dans
des
S
(E
mod
p
manière,
et si
effet
s’appellera
localement
si
un
Son groupe dérivé
le groupe d’homologie singu-
compact
E.
homomorphisme canonique qp 12
mod
U.) ;
U.i)
est
on
pour
De la même
compactes,
défini de
singumanière
s’identifie canoniquement à la limite projective ("inverse limit’’)
S (E nod U) , où U parcourt l’ensemble des complémentaires de
Si
"
groupe libre.
constitue le groupe des chaînes
des
lière de deuxième espèce
tics
un
en
espèce de E ; l’opérateur bord y est
de
S (E) un groupe gradué à dérivation.
évidente, et fait
(qui est gradué) se
des groupes
n’est pas,
(E)
par
un
définition,
un
élément de
système d’éléments
03B1. 6- S
i
ait
U. et U2
U2 , S*(E mod
de
(E
p
limite
mod
U.r)
=
sont des
complémentaires
s’identifie à
un
de
parties
sous-groupe de
S~(E
mod
S*(E,03B3) ;
qui
s’identifient à des sous-groupes de 5
Ui,03B3)
mod
s’identifie à
réunion.
est la
en
do toutes les cochaînes :
pe
s’il existe
le
support
no
,~ ~ (E~ ~ ~
d’anneau
F
compact
un
E
de
cochaîne
une
F
tel que
F.
est muni
structure de groupe
à
est
dérivation, si
f
s’annule
rencontre pas
gradué
groupes
ces
se
notera
.
S*(E
les
de
("direct
le. "limite inductive"
U 2 ~~ ~ .
gradué
un anneau.
un
(E,03B3) ,
sous-groupe du grou-
appartient à ~~(E,?~~
sur tout simplexe dont
à dérivation et même
Son groupe
dérivé H*(E,03B3)
s’appellera le groupe de cohomologie singulière de deuxième espèce de l’espace
E (resp. l’anneau de cohom, sing, de deuxième espèce de E ) ; on l’appelle aussi le groupe de cohomologie compacte de E ; on verra plus tard pourquoi.
On
groupes
On
accouplement évident entre 5(E) et ~~ (E~x ~ ! donc
d’homologie et de cohorologie de deuxième espèce : ~(E)
a un
verra
K
que, si
est
im
complexe simplicial
localement
entre les
et ’~~(E’,~~ .
fini,
canoniquement isomorphe au groupe de cohomologie des "cochaînes fi nies"
du complexe K (cf. exposé 4, paragraphe 7), ou groupe de cohomologie compacte de K ; l’isomorphisme est d’ailleurs un isomorphisme pour la structure
d’anneaux. Quant au groupe H(K) , il est canoniquement isomorphe au groupe
d’homologie que l’on obtiendrait à l’aide des "chaînes infinies" du complexe
est
K ; le groupe d’homologie des chaînes infinies
topologique do l’espace localement compact K .
de
K
est donc
un
invariant
-
.
complexe simplicial fini, et L un souscomplexe de K y le groupe d’homologiu relative H(K mod L) est canoniquement isomorphe au groupe d’homologie singulière de deuxième espèce de l’esnace
mod
le groupe de cohomologie simpliciale
loc, compact K-L . De
est canoniquement isomorphe au groupe de cohomologie compacte
H* (K-L,03B3) . Ceci prouvera que H(K mod L) et H (A mod L) sont des invariants topclogiques de l’espace localement compact K-L , lorsque K est un
complexe fini et L un sous-complexe de K . Ceci permettra aussi de déterles groupes d’homologie singulière de deuxième espèce
miner, par
On
verra
aussi que si
sauf pour
E
E
un
dans
E’
et
est
E’
n
ils sont nuls pour toute dimension
:
p ~
n .
=
dans
pacte de E’
de
p
E
Soient
de
est
ouverte de dimension
d’une
nue
K
E’
une
deux espaces localement
propre si
sera
partie compacte
définit
un
compacts.
Une
l’image réciproque
de
homomorphisme
E. Toute
permis
application conti-
de toute
application
partie
continue propre
5-08
un
homomorphisme
(E)
permis
dans
dans
(E’) .
S* (E) ,
un
On obtient aussi
homomorphisme
un
homomorphisme
H* (E’)
de
dans
- (E~ .
Si
F
sous-groupe
dans
F
tout
au
et de
est
un
fermé
sous-espace
(permis) de S (E)
(il
de
E ,
le
des éléments dont le
(F)
s’identifie
support
est contenu
n’en serait pas de
noins
lorsque E est
cohomologie relatifs de
ainsi que des suites exactes
au
Mène, en générale si F était ouvert dans E ,
non conpact). On en déduit des
groupes d’homologie
deuxième espèce : H (E
mod F ) et H*(E nod F,03B3),
d’homomorphismes,
.à la manière habituelle.