Etudions tout d` abord la progression 1 - Les

Etudions tout d’ abord la progression 1 (mod 4) : supposons par l’absurde
que cette progression ne contienne qu’un nombre fini de nombres premiers,
disons {p1 , ..., pk }. On considère le polynôme f (x) = 4x2 + 1 et l’entier A =
f (p1 ...pk ) = 4(p1 ...pk )2 + 1. Si q est un diviseur premier de A alors −1 est
un carré modulo q donc q ≡ 1 (mod 4). Si A n’est pas premier alors A est
divisible par un entier q ≡ 1 (mod 4) qui n’est pas dans {p1 , ..., pk } (sinon
p1 = 1 par exemple). Ainsi il existe une infinité de premiers dans cette
progression dès qu’il en existe un , ce qui est le cas ici avec 5.
Etudions à présent la progression 3 mod 4 : on suppose de même par
l’absurde que cette progression ne contient qu’ un nombre fini de nombres
premiers, disons {p1 , ..., pk }. On considère le polynôme g(x) = 4x − 1 et l’
entier B = g(p1 ...pk ) = 4(p1 ...pk ) − 1. B a un facteur congru à 1 ou 3 (mod 4)
puisqu’ il est impair. Si tous ses facteurs premiers sont congrus à 1 mod 4
alors B le serait aussi, ce qui est faux. Donc il existe q ≡ 3 (mod 4) tel que
q | B et il ne peut s’ agir de l’ un des pk , ce qui est absurde. Enfin 7 ≡ 3
(mod 4) ce qui permet de conclure.
Dans ces 2 preuves l’ argument-clef est l’ existence d’ un polynôme dont
les valeurs prises en des entiers sont divisibles par des nombres premiers dans
la progression voulue. Dans le premier cas , f (x) = 4x − 1 , chaque valeur
prise en un entier n’ est divisible que par des nombres premiers congrus à 1
(mod 4). Dans le deuxième cas , g(x) = 4x − 1 , chaque valeur prise en un
entier est divisible par au moins un nombre premier congru à 3 (mod 4). Ceci
justifie la définition suivante :
Définition 1 p est un diviseur premier d’ un polynôme f à coefficients dans
Z si il existe n ∈ Z tel que p | f (n).On notera p | f .
Etudions par exemple le cas du nième polynôme cyclotomique que l’ on
note φn .
Proposition 1 Supposons que p - n. Alors
p | φn
Démonstration.
bien connue :
si et seulememt si
p ≡ 1 (mod n).
Soit p tel que p|φn (a) et p - n. On a l’ identité suivante
Y
Xn − 1 =
φd (X).
(1)
d|n
On en déduit que an ≡ 1 (mod p). Soit k l’ ordre de a modulo p. Alors k|n.
Supposons que k < n. D’ après (1), ak ≡ 1 (mod p). Il existe donc d0 tel que
φd0 (a) ≡ 0 (mod p). Dès lors, comme d0 6= n, an − 1 ≡ 0 (mod p2 ). On a
1
également φn (a + p) ≡ φn (a) ≡ 0 (mod p) et de même pour d0 . Par différence
il vient : (a + p)n − 1 ≡ 0 (mod p) soit
0 ≡ (a + p)n − 1 ≡ an + npan−1 − 1 ≡ npan−1
(mod p2 ).
Mais p - na, on aboutit ainsi à une contradiction. Finalement a est d’ ordre
n modulo p et donc n|(p − 1).
Réciproquement si n|(p − 1), comme (Z/pZ)∗ est cyclique, il existe a d’
ordre n modulo p. Donc φd (a) ≡ 0 (mod p) pour un certain d qui divise n.
Mais si d < n l’ ordre de a serait plus petit que n d’ après ad −1 ≡ 0 (mod p).
Donc p|φn (a).
Théorème 1 (Schur) Tout polynôme f non constant de Z[x] possède une
infinité de diviseurs premiers.
Démonstration. Si f (0) = 0, alors tous les nombres premiers divisent
f . Supposons à présent que f (0) = c 6= 0. L’ équation f (x) = ±1 n’ a qu’ un
nombre fini de solutions. Donc f admet au moins un diviseur premier.
Supposons par l’ absurde que l’ ensemble des diviseurs de f soit fini.
Disons que P (f ) = {p1 , ..., pk }. Soit A = p1 ...pk .
f (Acx) =
n
X
ap (Acx)p = c(1 +
p=0
n
X
ap cp−1 (Ax)p ) = cg(x)
p=1
avec g(x) = c(1 + c1 x + ... + cn xn ). g est à coefficients entiers et A | ci pour
tout i. Si p est un diviseur premier de g alors c’ est un diviseur premier de f
donc p est l’ un des pi .Dès lors p | A | ci pour tout i. Comme p divise aussi
g(a) il vient p | 1 ce qui est absurde.
On peut remarquer que l’ on obtient ainsi, à la manière d’ Euclide, avec
l’ aide de la proposition 1, un cas particulier du théorème de Dirichlet.
Corollaire 1 Il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1
2
(mod k).