PGCD et FRACTIONS

PGCD et FRACTIONS
I – DIVISEURS
Un nombre a plusieurs diviseurs, c’est à dire plusieurs nombres avec lesquels la division
donne un nombre entier.
Exemple : 5 est un diviseur de 45 car 45 ÷ 5 = 9 qui est entier
Remarques :
- On dit aussi que 45 est un multiplie de 5.
- 9 est aussi un diviseur de 45
- Tout nombre a au moins 2 diviseurs : 1 et lui-même
II – PGCD
2 nombres peuvent avoir des diviseurs en commun.
Le PGCD est le plus grand d’entre eux ( Plus Grand Commun Diviseur )
Exemple : Les diviseurs de 15 sont : 1-3-5-15
Les diviseurs de 18 sont : 1-2-3-6-9
Leurs diviseurs communs sont donc 1 et 3.
Le PGCD est donc : 3
Algorithme d’Euclide : Il s’agit d’une méthode qui permet de trouver le PGCD de
2 nombres en effectuant des divisions euclidiennes
( c’est à dire sans virgules ) successives.
Exemple : Recherche du PGCD de 738 et 287 :
738
- 574
164
287
2
287
- 164
123
164
1
164
- 123
41
123
1
123
- 123
0
41
3
Chaque division suivante est composée du diviseur et du reste.
Le diviseur de la dernière division ( celle dont le reste est 0 ) est le PGCD.
Donc le PGCD de 738 et 287 est : 41
Remarque : * On dit que deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1.
* Il existe une autre méthode par soustractions successives
III – UTILISATIONS DU PGCD
1°) Simplification de fractions
Le fait de trouver le PGCD de deux nombres permet de simplifier une fraction
( composée de ces 2 nombres ) en une seule simplification.
La fraction ainsi simplifiée est dite irréductible ( on ne peut pas plus la simplifier )
Exemple :
738
41 x 18
18
=
=
287
41 x 7
7
Remarque : Si une fraction est formée de deux nombres premiers entre eux, c’est qu’elle
est irréductible
2°) Autres exemples
Le PGCD est également utilisé dans des énoncés comme celui-ci :
ENONCE : Un philatéliste possède 429 timbres français et 273 timbres
étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots
identiques, c’est à dire comportant le même nombre de timbres et la
même répartition de timbres français et étrangers.
1°) Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser.
2°) Quel est le nombre minimum de lots qu’il pourra réaliser ? ( autre que 1 )
3°) Quelle sera la composition des lots dans chaque cas ?
REPONSE : 1°) Recherche du PGCD de 429 et 273 :
-
429
273
156
273
1
273
- 156
117
156
1
156
- 117
39
117
1
117
- 117
0
39
3
Le PGCD est 39, donc il pourra réaliser 39 lots au maximum
2°) En cherchant les diviseurs de 39, le plus petit, autre que 1 est 3
donc il peut faire au minimum 3 lots.
3°) Avec 39 lots :
429 ÷ 39 = 11 et 273 ÷ 39 = 7
donc chaque lot aura 11 timbres français et 7 timbres étrangers.
Avec 3 lots :
429 ÷ 3 = 143 et 273 ÷ 3 = 91
donc chaque lot aura 143 timbres français et 91 timbres étrangers.