FICHE METHODE SYSTEMES LINEAIRES d`INEQUATIONS I) A

FICHE METHODE SYSTEMES LINEAIRES d’INEQUATIONS
I) A quoi sert un système linéaire à 2 inéquations et 2 inconnues ?
a) Exemples :
On veut transporter au moins 100 personnes avec des véhicules à 2 places et d ’autres
à 4 places ! sans dépasser 30 véhicules au total !
 2x + 4y ≥ 100
Quels sont les 2 nombres de véhicules possibles ?  x + y ≤ 30

On cherche combien on peut acheter d ’articles à 1 euro ou 2 euros pour ne pas dépasser
 x + y ≥ 100
400 euros mais pour avoir au moins 100 articles !  1x + 2y ≤ 400

Les lots A à 6 euros contiennent 2 boissons et 3 casse-croûtes.
Les lots B à 9 euros contiennent 4 boissons et 5 casse-croûtes.
Combien de lots de chaque sorte prendre pour avoir au moins
 2x + 4y ≥ 10
10 boissons et 20 casse-croûtes sans dépasser 50 euros  3x + 5y ≥ 20
 6x + 9y ≤ 50
b) Remarques :
Parmi tous les problèmes que l’on peut rencontrer, il en est une infinité qui peuvent être résolus de
la même façon par la résolution d’un système linéaire d’inéquations à 2 inconnues.
Quels sont ces problèmes ? qu ’ont-ils de commun ? Comment les résoudre ?
II) Qu’est ce qu’un système linéaire d’inéquations à 2 inconnues ?
Définition 1: ( SYSTEME LINEAIRE D’ INEQUATIONS A 2 INCONNUES )
Un système linéaire de 2 inéquations à 2 inconnues x et y est de la forme :
 ax + by < e

 cx + dy > f
où a, b, c, d, e et f sont 6 nombres réels connus et non tous nuls.
x et y deux réels inconnus. (on peut avoir <, >, ≥ ou ≤ ).
Exemples :
 2x + 4y ≥ 100
 x + y ≤ 30

 x + y ≥ 100
 1x + 2y ≤ 400

 2x – 1 y < π
3

 -0,125x –3y >
.
2
Définition 2 : ( COUPLE SOLUTION )
 ax + by < e
Soit :  cx + dy > f un système linéaire.

Un couple de nombres réels ( x0 ;y0 ) est un couple-solution du système si et seulement si
les inégalités obtenues en remplaçant x par x0 et y par y0 sont des inégalités vraies.
Exemples et contres-exemples :
 x + y < 110
 105 + 2 = 107 < 110 : vrai
(105;2) est un couple-solution du système  x – y > 100 car  105 – 2 = 103 > 100 : vrai


 x + y < 110
 100 + 5 = 105 < 110 : vrai
(100;5) n’est pas un couple-solution de  x – y > 100 car  100 – 5 = 95 > 100 : Faux


III) Comment résoudre un système linéaire ?
Définition 3 : ( RESOUDRE UN SYSTEME )
Soit :
 ax + by < e

un système linéaire.
 cx + dy > f
Résoudre le système linéaire, c’est trouver , s’il y en a tous les couples-solution- du système.
■ Propriété 1 : ( REGIONNEMENT DU PLAN, DROITES OBLIQUES )
Soient a ≠ 0 et b ≠ 0 deux nombres réels non nuls
Soit (d) la droite d’équation y = ax + b.
1) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’inégalité y > ax +b est le ½ plan infini situé au dessus de la droite (d)
y
y > ax +b
6
4
2
0
0
2) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’inégalité y < ax +b est le ½ plan infini situé en dessous de la droite (d)
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
3) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’égalité y = ax +b est la droite (d) elle même.
Preuve : ( admis )
4
2
0
0
x
1
2
3
4
5
6
7
y < ax +b
Remarque : La propriété ci dessus signifie que l’inéquation y < ax + b admet une infinité
de couples-solutions qui forment un ½ plan sous une droite si on les place dans un repère.
Exemple :
y >–x+4:
On construit la droite d’équation y = –x + 4 (tableau de valeurs avec au moins 3 valeurs de x )
x 0 2 4
y 4 2 0
Puis on supprime le ½ plan qui ne convient pas en le hachurant et en « laissant propre »
le ½ plan qui convient : ( celui qui est au dessus de la droite dans le cas présent ).
y
4
3
y >–x+4
2
1
x
0
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
■ Propriété 2 : ( REGIONNEMENT DU PLAN, DROITES VERTICALES )
Soit a un nombre réel.
Soit (d) la droite parallèle à l’axe (oy) et d’équation x = a.
x<a
1) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’inégalité x < a est le ½ plan infini situé à gauche de la droite (d)
2) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’inégalité x > a est le ½ plan infini situé à droite de la droite (d)
3) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’égalité x = a est la droite (d) elle même.
y
4
3
2
1
-0,5
0
0
0,5
1
x
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
y
4
3
x>a
2
1
Preuve : ( admis )
Exemple : x < 2 :
On construit la droite ( qui est « verticale » , parallèle à l’axe (oy) )
Puis on supprime le ½ plan qui ne convient pas en le hachurant et en « laissant propre »
le ½ plan qui convient : ( celui qui est à gauche de la droite (d) dans le cas présent ).
-0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
x
3
3,5
4
4,5
6
7
8
9
6
7
8
9
y
4
x<2
3
x > 4
2
1
x
0
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
■ Propriété 3 : ( REGIONNEMENT DU PLAN, DROITES HORIZONTALE )
Soit a un nombre réel.
Soit (d) la droite d’équation y = a.
1) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’inégalité y < a est le ½ plan infini situé en dessous de la droite (d)
2) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’inégalité y > a est le ½ plan infini situé au dessus de la droite (d)
3) L’ensemble des points M(x ;y) du plan dont les coordonnées vérifient
l’égalité y = a est la droite (d) elle même.
y
6
4
2
0
0
-1
1
y <a
x
2
3
4
5
-2
y
y >a
6
4
2
0
0
-1
1
x
2
3
4
5
Preuve : ( admis )
Exemple : y < 4 :
On construit la droite ( qui est « horizontale » , parallèle à l’axe (ox) )
Puis on supprime le ½ plan qui ne convient pas en le hachurant et en « laissant propre »
le ½ plan qui convient : ( celui qui est en dessous de la droite (d) dans le cas présent ).
-2
y
4
3
x<4
x > 4
2
1
x
0
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
■ Propriété 4 : ( INEGALITE ET 4 OPERATIONS DE BASE ( + ; – ; × ; / )
Quels que soient les nombres réels a et b, et quel que soit le réel c on a :
1) a<b ⇔ a+c<b+c
2) a < b ⇔ a – c < b – c
( ajouter ou soustraire un même nombre aux 2 membres d’une inégalité donne une inégalité de même sens )
 Pour c > 0 : a < b ⇔ a × c < b × c
 POur c < 0 : a < b ⇔ a × c > b × c
3) .
4)
 Pour c > 0 : a < b ⇔ a < b
c c
.
a b
 Pour c < 0 : a < b ⇔ c > c
( multiplier ou diviser par un même nombre les 2 membres d’une inégalité donne une nouvelle inégalité
de même sens si le nombre est positif strict, de sens contraire si le nombre est négatif strict )
Application : On cherche à trouver l’ensemble des couples solution de : 2x + 4y < 10
Pour cela on isole y pour trouver une inéquation « réduite ». ( y … ax +b )
2x + 4y < 10
⇔ 2x + 4y – 2x < 10 – 2x
⇔ 4y < –2x + 10
4y –2x + 10
⇔ <
4
4
–2x 10
⇔ y<
+
4
4
⇔ y < – 0,5x + 2,5. donc l’ensemble des couples solutions de l’inéquation : 2x + 4y < 10
se trouve en dessous de la droite d’équation y = – 0,5x + 2,5.
Remarque : Pour résoudre un système linéaire d’inéquations à 2 inconnues, on procède
Graphiquement ainsi :
1) Pour chaque inéquation on isole y ( ou x s’il n’y a pas de y ) afin
d’obtenir une inéquation réduite ( propriété 4)
2) On supprime les ½ plans qui ne conviennent pas ( propriété 1,2 ou 3 )
3) On conclue en mettant en évidence sur le graphique l’ensemble des couples
solution du système s’il y en a !
Exemple :
 x + y < 10

 4x +2y > 20
 y > 0
équivaut à
 y < –x +10 → 1/2 plan en dessous
 y > –2x + 10 → 1/2 plan au dessus
 y > 0 → 1/2 plan au dessus
( à vérifier )
y
10
8
6
4
2
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L’ensemble des couples solutions correspond au triangle « laissé propre » ci dessus.