TES IE1 fonctions exponentielles – algorithme suites S1 2013

TES
IE1 fonctions exponentielles – algorithme suites
NOM :
S1
2013-2014
Prénom :
Note :
10
Exercice 1 : (3 points)
Ecrire chacun des nombres ci-dessous sous la forme 2y ou 3y ou 5y (y désigne un nombre
réel).
A = (5x)²×253
B=
A=
B=
(3x)5×9x+2
27
C=
4x×23 – x
16
C=
Exercice 2 : (3 points)
a) Montrer que l’équation (E) : 2x² - 6x = 128 est équivalente à l’équation x² - 6x – 7 = 0.
b) En déduire les solutions de (E).
Exercice 3 : (2 points)
Résoudre dans Y l'inéquation : ex² > e.
1
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IE1 fonctions exponentielles – algorithme suites
S1
2013-2014
Exercice 4 : (2 points)
On considère l'algorithme suivant :
Initialisation
V prend la valeur -2
S prend la valeur -2
Traitement
Pour i = 1 à 3
V prend la valeur V + 5
S prend la valeur S + V
Fin Pour
Sortie
Afficher S
1) Décrire ce que permet d'obtenir cet algorithme en utilisant un tableau donnant
l'évolution du contenu des variables utilisées.
Quelle est la valeur affichée ?
2) Comment modifier l'algorithme précédent afin qu'il calcule et affiche la somme des 10
premiers termes de la suite géométrique (vn) de premier terme v0 = 2 et de raison 5.
n
2
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IE1 fonctions exponentielles – algorithme suites
NOM :
S2
2013-2014
Prénom :
Note :
Exercice 1 : (3 points)
10
Ecrire chacun des nombres ci-dessous sous la forme 2y ou 3y ou 5y (y désigne un
nombre réel).
A = 25 ×(5 )
4x×2 7 – x
B=
32
9x-3×(3x)3
C=
9
A=
B=
C=
2
x 3
Exercice 2 : (3 points)
a) Montrer que l’équation (E) : 3x² + 2x = 27 est équivalente à l’équation x² + 2x – 3 = 0.
b) En déduire les solutions de (E).
Exercice 3 : (2 points)
Résoudre dans Y l'inéquation : ex²- 1 ≤ 1.
3
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IE1 fonctions exponentielles – algorithme suites
S2
2013-2014
Exercice 4 : (2 points)
On considère l'algorithme suivant :
Initialisation
V prend la valeur 3
S prend la valeur 3
Traitement
Pour i = 1 à 3
V prend la valeur V - 2
S prend la valeur S + V
Fin Pour
Sortie
Afficher S
1) Décrire ce que permet d'obtenir cet algorithme en utilisant un tableau donnant
l'évolution du contenu des variables utilisées.
Quelle est la valeur affichée ?
2) Comment modifier l'algorithme précédent afin qu'il calcule et affiche la somme des 8
premiers termes de la suite géométrique (vn) de premier terme v0 = -1 et de raison 2.
n
4
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IE1 fonctions exponentielles – algorithme suites
CORRECTION
S1
2013-2014
Exercice 1 : (3 points)
Ecrire chacun des nombres ci-dessous sous la forme 2y ou 3y ou 5y (y désigne un
nombre réel).
x
(3x)5×9x+2
B=
27
3
A = (5 )²×25
4x×23 – x
C=
16
a) A = 5x×2×(52)3 = 52x + 2×3 = 52x + 6
b) B =
3x×5×(3²)x+2 35x×32(x + 2) 35x×32x+4
=
=
= 35x+2x+4-3 = 37x+1
33
33
33
c) C =
(2²)x×23 – x 22x×23 – x
=
= 22x + 3 – x – 4 = 2x – 1
24
24
Exercice 2 : (3 points)
a) Montrer que l’équation (E) : 2x² - 6x = 128 est équivalente à l’équation
x² - 6x – 7 = 0.
b) En déduire les solutions de (E).
a) (E)
2x² - 6x = 27
x² - 6x = 7
a
b
On utilise la propriété 2 = 2
x² - 6x – 7 = 0
a = b.
b) On obtient une équation du second degré.
Discriminant : ∆ = (-6)² - 4×1×(-7) = 36 + 28 = 64 = 8²
Les 2 solutions sont :
6–8
6+8
= -1 et
= 7.
2
2
Les solutions de l’équation (E) sont donc -1 et 7.
S = {-1;7}
Exercice 3 : (2 points)
Résoudre dans Y l'inéquation : ex² > 1.
ex² > 1
ex² > e1
x² > 1
car la fonction exponentielle est strictement
croissante sur Y.
(x + 1)(x – 1) > 0
x < -1 ou x > 1
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc S = ]- ∞;-1[ ∪ ]1; + ∞[.
5
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IE1 fonctions exponentielles – algorithme suites
CORRECTION
S1
2013-2014
Exercice 4 : (2 points)
On considère l'algorithme suivant :
Initialisation
V prend la valeur -2
S prend la valeur -2
Traitement
Pour i = 1 à 3
V prend la valeur V + 5
S prend la valeur S + V
Fin Pour
Sortie
Afficher S
1) Décrire ce que permet d'obtenir cet algorithme en utilisant un tableau donnant
l'évolution du contenu des variables utilisées.
Quelle est la valeur affichée ?
i
.
Etape 1
1
Etape 2
2
Etape 3
3
Le programme affiche alors 22.
V
-2
-2 + 5 = 3
3+5=8
8 + 5 = 13
S
-2
3–2=1
8+1=9
13 + 9 = 22
Cet algorithme calcule et affiche les 4 premiers termes de la suite arithmétique (vn)
de premier terme v0 = -2 et de raison 5.
S = v0 + v1 + v2 + v3 = 22
2) Comment modifier l'algorithme précédent afin qu'il calcule et affiche la somme des 10
premiers termes de la suite géométrique (vn) de premier terme v0 = 2 et de raison 5.
Initialisation
V prend la valeur 2
S prend la valeur 2
Traitement
Pour i = 1 à 9
V prend la valeur V × 5
S prend la valeur S + V
Fin Pour
Sortie
Afficher S
6
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IE1 fonctions exponentielles – algorithme suites
CORRECTION
S2 2013-2014
Exercice 1 : (3 points)
Ecrire chacun des nombres ci-dessous sous la forme 2y ou 3y ou 5y (y désigne un nombre réel).
a) A = 252×(5x)3
b)
B=
4x×2 7 – x
32
c)
C=
9x-3×(3x)3
9
a) A = (5²)²×5x×3 = 52×2×5x×3 = 54+3x
b) B =
(2²)x×27 – x 22×x×27 – x
=
= 22x + 7 – x - 5 = 2x + 2
25
25
(3²)x - 3×3x×3 32(x – 3) + 33x
c) C =
=
= 32x – 6 + 3x – 2 = 35x – 8
3²
3²
Exercice 2 : (2 points)
a) Montrer que l’équation (E) : 3x² + 2x = 27 est équivalente à l’équation x² + 2x – 3 = 0.
b) En déduire les solutions de (E).
a) (E)
3x² + 2x = 33
x² + 2x = 3
a
b
On utilise la propriété 3 = 3
x² + 2x – 3 = 0
a = b.
b) On obtient une équation du second degré.
Discriminant : ∆ = 2² - 4×1×(-3) = 4 + 12 = 16 = 4²
Les 2 solutions sont :
-2 – 4
-2 + 4
= -3 et
= 1.
2
2
Les solutions de l’équation (E) sont donc -3 et 1.
Exercice 3 : (2 points)
Résoudre dans Y l'inéquation : ex²- 1 ≤ 1.
ex²- 1 ≤ 1
ex²- 1 ≤ e0
x² - 1 ≤ 0
car la fonction exponentielle est croissante sur Y.
(x + 1)(x – 1) ≤ 0
x ≥ -1 et x ≤ -1
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc S = [-1;1].
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IE1 fonctions exponentielles – algorithme suites
CORRECTION
S2 2013-2014
Exercice 4 : (2 points)
On considère l'algorithme suivant :
Initialisation
V prend la valeur 3
S prend la valeur 3
Traitement
Pour i = 1 à 3
V prend la valeur V - 2
S prend la valeur S + V
Fin Pour
Sortie
Afficher S
1) Décrire ce que permet d'obtenir cet algorithme en utilisant un tableau donnant
l'évolution du contenu des variables utilisées.
Quelle est la valeur affichée ?
i
.
Etape 1
1
Etape 2
2
Etape 3
3
Le programme affiche alors 0.
V
3
3-2=1
1 - 2 = -1
-1 - 2 = -3
S
3
3+1=4
-1 + 4 = 3
-3 + 3 = 0
Cet algorithme calcule et affiche la somme des 4 premiers termes de la suite
arithmétique (vn) de premier terme v0 = 3 et de raison -2.
S = v0 + v1 + v2 + v3 = 0
2) Comment modifier l'algorithme précédent afin qu'il calcule et affiche la somme des 8
premiers termes de la suite géométrique (vn) de premier terme v0 = -1 et de raison 2.
Initialisation
V prend la valeur -1
S prend la valeur -1
Traitement
Pour i = 1 à 7
V prend la valeur V × 2
S prend la valeur S + V
Fin Pour
Sortie
Afficher S
8