Terminale S – Spécialité maths – Devoir en temps libre n° 11 pour le mercredi 27 avril 2016. On définit les suites (un) et (vn) sur l’ensemble N des entiers naturels par : un vn un1 2 u0 0 ; v0 1, et v un 2vn n1 3 Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (un) et (vn). 1. Calculer u1 et v1. 2. On considère l’algorithme suivant : Variables : u, v et w des nombres réels N et k des nombres entiers Initialisation : u prend la valeur 0 v prend la valeur 1 Début de l’algorithme Entrer la valeur de N Pour k variant de 1 à N w prend la valeur u u prend la valeur (w + v) / 2 v prend la valeur (w + 2v) / 3 Fin du Pour Sortie Afficher u Afficher v Fin de l’algorithme a. On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme. k w u v 1 2 b. Pour un nombre N donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ? 1 1 u n 3. Pour tout entier naturel n on définit le vecteur colonne Xn par Xn = et la matrice A par A = 2 2 . vn 1 2 3 3 a. Vérifier que, pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn. b. Démontrer par récurrence que Xn = AnX0 pour tout entier naturel n. 1 4 6 1 1 0 5 5 2 2 4. On définit les matrices P, P′ et B par P ; P' ;B 0 1 6 6 1 1 6 2 3 5 5 a. Calculer le produit PP′. On admet que P′BP = A. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, An = P′BnP. 1 0 n b. On admet que pour tout entier naturel n, B = 1 0 6 En déduire l’expression de la matrice An en fonction de n. 3 3 1 n 5 5 6 5. a. Montrer que Xn = pour tout entier naturel n. n 3 2 1 5 5 6 En déduire les expressions de un et vn en fonction de n. b. Déterminer alors les limites des suites (un) et (vn). n Corrigé APMEP (Antilles juin 2013) Erratum : dans le tableau de valeur du 2° lire 0.611 pour dernière valeur (et non 0.917) dans le premier coefficient de An il y a un + (et pas un -)