Université de Rouen L3-Mathématiques 2012–2013 Analyse numérique I. DANAILA [email protected] TD 1 : Espaces vectoriels et matrices Rappels sur les espaces vectoriels : Espace vectoriel sur IR Espace métrique Espace normé E pré-hilbertien (*) E de Hilbert (**) Espace de Banach Principales définitions : • Soit E un espace vectoriel sur IR. On définit (∀x, y, z, w ∈ E et α, β, µ, λ ∈ IR) : distance d(x, y) : E 2 → IR+ norme ||.|| : E → IR+ d(x, y) ≥ 0 ||x|| ≥ 0 d(x, y) = 0 ⇔ x = y ||x|| = 0 ⇔ x = 0 d(x, y) = d(y, x) ||λx|| = |λ| ||x|| d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| produit scalaire < ., . >: E 2 → IR < αx + βy, µz + λw > = αµ < x, z > +αλ < x, w > +βµ < y, z > +βλ < y, w > < x, y >=< y, x > < x, x >≥ 0; < x, x >= 0 ⇔ x = 0 • E. de Hilbert = E. pré-hilbertien + complet • E. de Banach = E. normé + complet Justification : √ < x, y > produit scalaire → ||x|| = < x, x > norme → d(x, y) = ||x − y|| distance. (*) Exemple d’espace pré-hilbertien qui n’est pas un espace de Hilbert : l’espace des polynômes P (x) de degré quelconque. (**) Exemple d’espace de Banach qui n’est pas pré-hilbertien : IR avec la norme ||x|| = |x|. Résultats sur les espaces vectoriels de dimension finie / applications linéaires : Soient E, F espaces vectoriels de dimension finie sur le corps K (IR ou C) et L(E, F ) l’ensemble des applications linéaires U : E → F (v1) Si n=dim(E), E est isomorphe avec K n et toutes les bases ont le même cardinal. (v2) E, F de même dimension ⇐⇒ E, F isomorphes. (v3) Si U ∈ L(E, F ) =⇒ dim(Im(U))+dim(Ker(U))=dim(E), avec Im(U)={y∈ F | ∃ x∈ E, U(x)=y} Ker(U)={x∈ E | U(x)=0} (v4) Si U ∈ L(E) : U bijectif ⇐⇒ U injectif ⇐⇒ U surjectif ⇐⇒ ∃V tq U V = IE ou V U = IE (v5) Soit E∗ =L(E, K) le dual de E =⇒ dim(E∗ )=dim(E), (v6) G sous-espace vectoriel (s.e.v) =⇒ dim(G)+dim(G⊥ )=dim(E) (v7) Pour U ∈ L(E, F ) il existe une unique application transposée U t ∈ L(F ∗ , E ∗ ) tq U t (y), x E ∗ ,E = (y, U (x))F ∗ ,F (v7.1) dim(Im U)=dim(Im Ut )=rang de U (v7.2) Ker(Ut )=(Im U)⊥ (v7.3) (Ker U)⊥ =Im Ut 1 Résultats sur les espaces pré-hilbertiens de dimension finie : E espace vectoriel de dimension finie sur IR, muni du produit scalaire < ., . > (ph1) ∀ une famille libre, il existe une base orthonormale unique associée (Gram-Schmidt). (ph2) E est un espace de Hilbert (isomorphe avec IRn , n=dim(E)). (ph3) F s.e.v de E =⇒ E=F ⊕ F⊥ , ou F⊥ = {y ∈ E| < x, y >= 0, ∀x ∈ F } (ph4) On peut identifier E à E∗ (Riesz) ∀f ∈E∗ , ∃ un unique y ∈ E tq (f, x)E ∗ ,E =< y, x >, ∀x ∈ E (ph5) Pour U ∈ L(E) il existe une unique application adjointe U ∗ tq < U (x), y >=< x, U ∗ (y) >, ∀x, y ∈ E (ph6) Inégalité de Cauchy-Schwartz | < x, y > | ≤ kxkkyk NB Ces résultats sont également valables pour E espace pré-hilbertien complexe, à condition de remplacer le produit scalaire par un produit hermitien. Représentation matricielle : Mn (C) l’ensemble des matrices carrées (n × n) complexes. (Uij )i,j=1···n caractérise complètement l’application linéaire U ∈ L(E, F ), où E, F sont deux espaces vectoriels de dimension n sur C ! n n n X n X X X ∀x ∈ E, U (x) = U xi ei = xi U (ei ) = xi Uij fj i=1 i=1 i=1 j=1 (ei ) base de E, (fj ) base de F, (Uij ) coord de U (ei ) dans la base (fj ) 2 (rM1) (Mn (C), +, ·) est un espace vectoriel isomorphe à Cn (· = multiplication par un scalaire). (rM2) (Mn (C), +, ×) est un anneau non commutatif (× = multiplication matricielle). (rM3) Les matrices inversibles forment un groupe pour la multiplication matricielle(×). 0 (rM4) P matrice inversible ≡ matrice de changement de base de B en B , et M atB 0 (U ) = P −1 M atB (U ) P (rM5) (matrice adjointe) A∗ = At (pour C) et A∗ = At (pour IR) (rM6) A matrice de changement de base orthonormale ⇐⇒ A unitaire (A−1 = A∗ ). (rM7) (définitions) A normale (AA∗ = A∗ A) ; A hermitienne (A = A∗ ) ; A unitaire (A−1 = A∗ ). (rM7) A inversible ⇐⇒ det(A) 6= 0. det(AB)=det(BA)=det(A) det(B) ; det(At )=det(A) Exercice 1 . Démontrer le résultat (v7.2) : Si U ∈ L(E, F ) =⇒ Ker(Ut )=(Im U)⊥ Exercice 2 . Calculer le noyau et l’image des applications linéaires suivantes : 1. f : IR3 7→ IR3 (x, y, z) 7→ f (x, y, z) = (x, y, 0) 2 2. 3. f : IR2 7→ IR3 (x, y) 7→ f (x, y, z) = (x − y, x + y, x + 2y) 3 f : IR 7→ IR (x, y, z) 7→ f (x, y, z) = x − 3y + 2z Exercice 3 . Normes de vecteurs. Soit x ∈ Cn . 1. Trouver les plus petites constantes ci telles que ||x||1 ≤ c1 ||x||2 , ||x||1 ≤ c2 ||x||∞ , ||x||2 ≤ c3 ||x||1 , ||x||2 ≤ c4 ||x||∞ , ||x||∞ ≤ c5 ||x||1 , ||x||∞ ≤ c6 ||x||2 . 2. Montrer que lim ||x||p = ||x||∞ , p→∞ ∀x ∈ Cn . ∀x ∈ Cn , 3. Montrer l’inégalité (de Jensen) ||x||q ≤ ||x||p 4. Montrer que l’application x 7→ ||x||p = n X p | xi | 1/p 1 ≤ p < q. n’est pas une norme sur Cn lorsque i=1 0 < p < 1 et n ≥ 2. (On montrera que l’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée) Exercice 4 . Soit la matrice A définie par 1 A= 3 −1 2 4. 4 Pour p ≥ 1 entier, on note Ip la matrice identité dans IRp . Existe-t-il des matrices B à coefficients réels ou complexes telles que BA = Ip ? Telles que AB = Ip ? Exercice 5 . Soit la matrice A définie par 1 A= 0 0 2 1 0 0 3, 1 et soit B = A − I. Calculer B n pour n ≥ 1, en déduire An , puis calculer A−1 en fonction de B. Exercice 6 . Construire à partir des vecteurs a1 , a2 et a3 ci dessous, une base orthonormée u1 , u2 et u3 (par le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt) 1 −1 2 a1 = −1 , a2 = 1 et a3 = 0 . 0 −2 1 Exercice 7 . 1. Soit (ui )1≤i≤k une famille orthonormée de vecteurs de IRn , et soit M la matrice définie par M= k X ui · uTi i=1 Quel est le rang de M ? 2. Même question pour la matrice A = (Aij )i,j=1,..,n avec Aij = cos(θi + θj ). 3