DM 1 : corrigé Exercice 1 : A = 3 4 – 1 3 + 2 5 – 5 2 = 3 × 15 4 × 15

3ème
DM 1 : corrigé
Exercice 1 :
A
=3–1+2–5
4 3 5 2
= 3 × 15 – 1 × 20 + 2 × 12 – 5 × 30
4 × 15 3 × 20 5 × 12 2 × 30
20 + 24 – 150
= 45 –
60 60 60 60
fraction simplifiée
= – 101
60
B
2
C
= 4 – 5
5 6
2
4
×
6
5
×
5


=
–

 5 × 6 6 × 5
2
25
24


= – 
30 30
2
1


= – 
 30
(– 1)2
=
302
= 1
fraction simplifiée
900
D
= 13 – 25 × 3
7 21 10
= 13 – 25 × 3
7 21 × 10
5
13
= –
7 14
5
= 13 × 2 –
7 × 2 14
= 26 – 5
14 14
= 21
14
fraction simplifiée
=3
2
= 2 + 2 ÷4 – 2
3 5 3

2 × 3 2 4 × 3 2 × 5
+ ÷
–
= 

1 × 3 3 5 × 3 3 × 5
2
12 10
= 6 +  ÷  – 
3 3 15 15
2
=8÷
3 15
= 8 × 15
3 2
= 8 × 15
3×2
20
fraction simplifiée
=
1
= 20
Exercice 2 :
1°) Le dictionnaire Larousse donne :
« aliquote : adj. et n. f. Math. Qui est contenu un nombre entier de fois dans un tout (trois est
une partie aliquote de douze) [Syn. Diviseur] »
D’autres dictionnaires sont plus précis et par « nombre entier de fois », il faut comprendre
aussi plusieurs fois ! C’est-à-dire que les parties aliquotes d’un entier sont ses diviseurs sauf
lui-même… Pendant le cours, ces nombres ont été appelés oralement diviseurs propres.
Ainsi, en reformulant :
« Un nombre entier est parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres ».
2°) Recherchons les diviseurs de 496 :
496 = 1 × 496
= 2 × 248
= 4 × 124
= 8 × 62
= 16 × 31
La recherche s’arrête à 22 < 496 < 23.
L’ensemble des diviseurs de 496 est
{1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 31 ; 62 ; 124 ; 248 ; 496}.
Calculons :
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
= 496
Conclusion : 496 est un nombre parfait.
3°) Les deux seuls entiers parfaits que l’on trouve entre 1 et 30 sont 6 et 28 ! Preuves :
L’ensemble des diviseurs de 6 est
Recherchons les diviseurs de 6 :
6
=1×6
{1 ; 2 ; 3 ; 6}.
=2×3
Calculons :
La recherche s’arrête à 2 < 6 < 3.
1+2+3=6
Conclusion : 6 est un nombre parfait.
L’ensemble des diviseurs de 28 est
Recherchons les diviseurs de 28 :
6
= 1 × 28
{1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28}.
= 2 × 14
=4×7
Calculons :
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
La recherche s’arrête à 5 < 28 < 6.
Conclusion : 28 est un nombre parfait.
Exercice 3 :
1°) Voici des exemples de nombres entiers qui ont exactement trois diviseurs :
4 = 1 × 4 = 22
dont les diviseurs sont : 1 ; 2 ; 4
9 = 1 × 9 = 32
dont les diviseurs sont : 1 ; 3 ; 9
25 = 1 × 25 = 52
dont les diviseurs sont : 1 ; 5 ; 25
49 = 1 × 49 = 72
dont les diviseurs sont : 1 ; 7 ; 49
121 = 1 × 121 = 112
dont les diviseurs sont : 1 ; 11 ; 121
169 = 1 × 169 = 132
dont les diviseurs sont : 1 ; 13 ; 169
…
On observe que ce sont tous des carrés !
Soit n, un entier qui possède exactement trois diviseurs : 1 ; d ; n
(d n’a pas d’autres diviseurs que 1 et lui-même car ses diviseurs sont aussi des diviseurs de n)
La recherche s’écrit nécessairement n = 1 × n = d2
On peut donc énoncer la propriété :
« Si un entier possède exactement trois diviseurs, alors c’est un carré ».
2°) Une réciproque serait :
« Si un entier est un carré, alors il possède exactement trois diviseurs ».
Cet énoncé est faux et il suffit d’un contre-exemple pour le prouver.
36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 62
dont les diviseurs sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 12 ; 18 ; 36
3°) Voici des exemples de nombres entiers qui ont exactement cinq diviseurs :
16 = 1 × 16 = 2 × 8 = 42
dont les diviseurs sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16
81 = 1 × 81 = 3 × 27 = 92
dont les diviseurs sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81
2
625 = 1 × 625 = 5 × 125 = 25
dont les diviseurs sont : 1 ; 5 ; 25 ; 125 ; 625
2401 = 1 × 2401 = 7 × 343 = 492
dont les diviseurs sont : 1 ; 7 ; 49 ; 343 ; 2401
…
On a encore la propriété :
« Si un entier possède exactement cinq diviseurs, alors c’est un carré ».
La recherche s’écrit nécessairement n = 1 × n = d × d3 = (d2)2
La réciproque est encore fausse et la question 2 suffit à le prouver.
4°) Une réciproque que l’on peut conjecturer est :
« Si un entier est un carré, alors il possède un nombre impair de diviseurs ».