Cours ordre et opérations

ORDRE ET OPERATIONS
I) Définition :
1) Symboles :
a
a
a
a
<
>
≤
≥
b
b
b
b
signifie que a est strictement inférieur à b
signifie que a est strictement supérieur à b
signifie que a est inférieur ou égal à b
signifie que a est supérieur ou égal à b
On dit que les symboles > , < , ≤ et ≥ caractérisent une relation d’ordre.
Exemples :
a) 5 < 8
−3 > −7
x ≥ 2 signifie que x est supérieur ou égal à 2.
x ≤ −1 signifie que x est inférieur ou égal à −1.
b) Les relations suivantes sont-elles vraies ?
7 ≥ 6
−1 ≤ −5
3 ≤ 3
c) Que signifient les relations suivantes ?
x <0
x > 0
x ≥ 0
x ≤ 0
1
−4 > −4
Remarque :
a < b signifie que a est strictement inférieur à b mais aussi que b est
strictement supérieur à a.
2) Définition :
Une inégalité compare deux nombres à l’aide d’un des symboles : > , < , ≤
et ≥ .
Les expressions ou les nombres situés de part et d’autres d’un symbole sont
appelés les membres de l’inégalité.
L’expression ou le nombre situé à gauche du symbole est appelé le premier
membre.
L’expression ou le nombre situé à droite du symbole est appelé le second
membre.
Exemples :
x – 8 ≤ 5 est une inégalité.
x – 8 est le premier membre et 5 est le second membre.
Application :
a) Comparer les fractions suivantes
5
9
et .
4
2
b) Comparer les nombres suivants 23 × 10 3 et 5 × 10 4 .
c) Conclusion.
2
II) Signe d’une différence :
1) Propriété :
Soit a et b deux nombres relatifs
Si a > b alors a – b > 0
Cette propriété reste vraie avec les trois symboles < , ≤ et ≥ .
Justification :
Soit a et b deux nombres relatifs
Si a > b alors a = b + c
où c est un nombre relatif strictement
positif
a – b = c or c > 0
donc a – b > 0
Exemple :
5 > −3 donc 5 – (−3) > 0
x ≥ 2 donc x – 2 ≥ 0
2) Propriété :
Soit a et b deux nombres relatifs
Si a – b > 0 alors a > b
Cette propriété reste vraie avec les trois symboles < , ≤ et ≥ .
Justification :
Soit a et b deux nombres relatifs
Si a – b > 0 alors a – b = c où c est un nombre relatif strictement
positif
a = b + c or c > 0
donc a > b
Exemple :
7 – 4 ≥ 0 donc 7 ≥ 4
x – 5 < 0 donc x < 5
3
Exercice :
x est un nombre relatif tel que x + 9 ≤ 0.
En déduire une inégalité dont x est le premier membre.
III) Ordre et opérations :
1) Ordre et addition :
a) Propriété :
Soit a, b et c trois nombres relatifs
Les nombres a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que les
nombres a et b.
Si a > b alors a + c > b + c
Cette propriété reste vraie avec les trois symboles < , ≤ et ≥ .
Justification :
Soit a, b et c trois nombres relatifs
Si a > b alors
a–b>0
a–b+c–c>0
a+c– b–c>0
a+c–(b+c)>0
a+c > b+c
Exemple :
x – 15 < 3
x – 15 + 15 < 3 + 15
x < 18
4
2) Ordre et soustraction :
a) Propriété :
Soit a, b et c trois nombres relatifs
Les nombres a – c et b – c sont rangés dans le même ordre que les
nombres a et b.
Si a > b alors a – c > b – c
Cette propriété reste vraie avec les trois symboles < , ≤ et ≥ .
Justification :
Soit a, b et c trois nombres relatifs
Si a > b alors
a–b>0
a–b+c–c>0
a–c– b+c>0
a–c–(b–c)>0
a–c > b–c
Exemple :
x + 21 ≥ 16
x + 21 – 21 ≥ 16 – 21
x ≥ −5
3) Exemples :
a) Soit x un nombre relatif tel que x – 3 < 8
En déduire une inégalité dont x est le premier membre.
Soit x un nombre relatif tel que x + 4 > 5
En déduire une inégalité dont x est le premier membre.
5
Sachant que x vérifie à la fois x – 3 < 8 et x + 4 > 5, donner un
encadrement de x.
b) Martin possède plus d’argent de poche que son frère Thomas.
A Noël, ils reçoivent 50 € chacun de leurs grands-parents.
Quel est celui qui aura le plus d’argent de poche ? Justifier.
Pour la fête des mères, ils dépensent chacun 20 €.
Après cette dépense, lequel aura le plus d’argent de poche ? Justifier.
4) Ordre et multiplication :
a) Propriété 1:
Soit a, b et c trois nombres relatifs
Si c > 0 alors les nombres a × c et b × c sont rangés dans le même
ordre que les nombres a et b.
Si a > b et c > 0 alors a × c > b × c
Cette propriété reste vraie avec les trois symboles < , ≤ et ≥ .
6
Justification :
Soit a, b et c trois nombres relatifs
Si a > b alors
a–b>0
Si c > 0
c×(a–b) >0
car quand on multiplie deux nombres strictement positifs
on obtient un nombre strictement positif
c×a – c×b >0
a×c – b×c >0
a×c > b×c
Exemple :
x
2x ≥ 5
<−3
4
1
1
x
2x × ≥ 5 ×
× 4 < − 3× 4
2
2
4
5
x ≥
x < − 12
2
L’ordre est conservé.
L’ordre est conservé.
b) Propriété 2:
Soit a, b et c trois nombres relatifs
Si c < 0 alors les nombres a × c et b × c sont rangés dans l’ordre
contraire des nombres a et b.
Si a > b et c < 0 alors a × c < b × c
Cette propriété reste vraie avec les trois symboles < , ≤ et ≥ .
Justification :
Soit a, b et c trois nombres relatifs
Si a > b alors
a–b>0
Si c < 0
c×(a–b) <0
car quand on multiplie un nombre strictement positif
et un nombre strictement négatif on obtient un nombre
strictement négatif
c×a – c×b <0
a×c – b×c <0
a×c <b×c
7
Exemple :
5
− x >3
2
5
 2
 2
− x × −  < 3× − 
2
 5
 5
6
x <5
L’ordre est changé.
c) Exemples :
Soit x un nombre relatif tel que 5x < − 30
En déduire une inégalité dont x est le premier membre.
3
x ≤ 21
4
En déduire une inégalité dont x est le premier membre.
Soit x un nombre relatif tel que −
Soit x un nombre relatif tel que − 3 x + 8 > − 19
En déduire une inégalité dont x est le premier membre.
8
5) Ordre et opposé :
a) Propriété :
Les opposés de deux nombres relatifs sont rangés dans l’ordre
contraires de ces nombres.
Soit a et b deux nombres relatifs
Si a < b alors
−a > −b
Cette propriété reste vraie avec les trois symboles < , ≤ et ≥ .
Justification :
Soit a et b deux nombres relatifs
Si a < b alors
a ×(−1) > b ×(−1) car -1 est négatif
−a > −b
Exemple :
4 < 9
donc
−4 > −9
−2 ≥ −5
donc
2 ≤ 5
−x ≤ 1
donc
x ≥ −1
x >−3
donc
−x < 3
9