Sous-algèbres de Cartan

Sous-algèbres de Cartan
M.RAOUYANE
E.N.S. Université Mohammed V Agdal
RABAT
[Cinquième école de Géométrie
19-23 Novembre 2013]
2
Si g est une algèbre de Lie complexe ; pour toute sous-algèbre nilpotente h, il est possible de décomposer g en une somme directe de sous-espaces propres simultanément à la
famille des endomorphismes de g, {adx; x ∈ h} , et chaque sous-espace propre est invariant
par cette famille. h est une sous-algèbre de Cartan ,si elle est la plus grande sous-algèbre
nilpotente qui donne une telle décomposition de g.
Dans ce cours nous dégageons les rudiments d’algèbre linéaire , qui permettent d’arriver
à la définition et à la mise en évidence d’une sous-algèbre de Cartan dans une algèbre
de Lie de dimension finie sur C. Ensuite on établit les principales propriétés d’une telle
algèbre.
Dans le dernier chapitre, on présente des algèbres de Lie de dimension infinie, en vue de
prolonger la théorie élaborée en dimension finie. Le premier problème qui se pose est d’introduire une définition adéquate, appropriée à toute algèbre de Lie. Ce qu’une synthèse
de plusieurs articles publiés dans la dernière decennie permet d’obtenir. Nous donnons
enfin quelques propriétés d’une sous-algèbre de Cartan ainsi définie.
La partie concernant les sous-algèbres de Cartan en dimension finie, ainsi que l’introduction des algèbres de Kac-Moody seront traités par Pr.M. Ait-Benhaddou dans son cours.
Enfin une bibliographie sommaire se trouve à la fin du texte.
2
Table des matières
1 Décomposition primaire et décomposition de Fitting
1.1
décomposition d’un espace vectoriel par rapport à un endomorphisme : . .
1.2
décomposition d’un espace vectoriel par rapport à une famille d’endomor-
5
5
phismes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3
Cas d’une représentation linéaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4
Décomposition d’une repésentation d’une algèbre de Lie nilpotente . . . . . 20
2 Algèbres de Lie de dimension infinie
25
2.1
Algèbres de Lie libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2
Algèbres de matrices infinies : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Sous-algèbres de Cartan en dimension infinie
3.1
29
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3
4
TABLE DES MATIÈRES
4
Chapitre 1
Décomposition primaire et
décomposition de Fitting
1.1
décomposition d’un espace vectoriel par rapport à
un endomorphisme :
Dans ce paragraphe ; V désigne un espace vectoriel sur C de dimension n ; et u un
endomorphisme de V.On pose
V0u :=
[
Keruk
et
V1u :=
k∈N?
\
Imuk .
k∈N?
On a alors
Théorème 1.1
1. V0u et V1u sont des sous-espaces vectoriels de V, invariants par u et
V = V0u ⊕ V1u .
2. La restriction de u à V0u est nilpotente , et la restriction de u à V1u est un isomorphisme.
Preuve.
Pour tout k, Keruk et Imuk sont des sous-espaces vectoriels de V, et
0 ⊆ Keru ⊆ Keru2 ⊆ ... ⊆ Keruk ⊆ Keruk+1
5
6
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
V ⊇ Imu ⊇ Imu2 ⊇ ... ⊇ Imuk ⊇ Imuk+1
Comme V est de dimension finie, il existe un entier n0 tel que
Kerun0 = Kerun0 +k ;
∀k.
et
Imun0 = Imun0 +k ;
∀k.
par suite ;
V0u = Kerun0 et V1u = Imun0
(*)
1. Les inclusions u(V0u ) ⊆ V0u et u(V1u ) ⊆ V1u sont évidentes.D’autre part ,si
x ∈ V0u ∩ V1u , il existe y ∈ V tel que x = un0 (y), et puisque u2n0 (y) = un0 (x) = 0,
on a y ∈ Kerun0 , d’où x=0.
Si x ∈ V, on a un0 (x) ∈ Imun0 = Imu2n0 , donc il existe y ∈ V tel que
u2n0 (y) = un0 (x), d’où
x = (x − un0 (y)) + un0 (y)
avec un0 (x − un0 (y)) = 0. Donc x ∈ V0u ⊕ V1u
2. Les égalités (∗) montrent que la restriction de u à V0u est nilpotente , et u(V1u ) = V1u ,
donc la restriction de u à V1u est un isomorphisme.
Définition 1.1
La décomposition
V = V0u ⊕ V1u .
est dite la décomposition de Fitting de V par rapport à u.
Dans le cas où V est de dimension infinie, ce théorème se généralise en utilisant ce qui
précède, sous la forme suivante (cf.[L.A.Simonian])
Théorème 1.2
Si V est un espace vectoriel de dimension quelconque, et u un endomorphisme de V . Si
V /V0u est de dimension finie, alors
V = V0u
6
M
V1
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
7
où V1 est un sous-espace vectoriel de dimension finie, et la restriction de u à V1 est un
isomorphisme.
Preuve.
Soit W un sous-espace vectoriel de V de dimension finie n, supplémentaire de V0u ; et
(e1 , e2 , ..., en ) une base de W ; pour tout i, on a
u(ei ) =
X
aij ej + vi
1≤j≤n
Avec vi ∈ V0u . Il existe donc un entier ni tel que uni (vi ) = 0.Soit X le sous-espace vectoriel
de V engendré par
[
{vi , u(vi ), u2 (vi ), ..., uni −1 (vi )}
1≤i≤n
X est un sous-espace invariant par u qui est de dimension finie, et on a u(W ) ⊂ W + X.
Donc le sous-espace vectoriel,de dimension finie
K := W + X
admet une décomposition de Fitting par rapport à u
K = K0u ⊕ K1u
et par suite
V = K0u + K1u + V0u
comme K0u ⊂ V0u , on a
V = K1u + V0u
d’autre part la restriction de u à K1u est un automorphisme. Donc il suffit de montrer
que K1u ∩ V0u = {0}.
Puisque K est de dimension finie, il existe un entier m tel que
um (y) = 0 pour tout y ∈ K ∩ V0u
et il existe un entier s tel que
K1u = u(K) = us+1 (K) = ...
7
8
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
Soit r := max(m, s), on a K1u = ur (K) et ur (y) = 0 pour tout y ∈ K ∩ V0u .
Soit x ∈ K1u ∩ V0u , il existe y ∈ K tel que x = ur (y), d’où
0 = ur (x) = u2r (y)
Donc y ∈ K ∩ V0u ce qui entraine que 0 = ur (y) = x.
Soit maintenant mu le polynôme minimal de u. Si
mu = (X − λ1 )k1 ...(X − λr )kr ;
est la décomposition de mu en polynômes irréductibles , où {λ1 , ..., λr } est le spectre de
u ; pour tout j , en posant
V λj (u) := Ker(u − λj I)kj
on obtient une autre décomposition de V ;
Théorème 1.3
1. Chaque V λj (u) est un sous-espace vectoriel de V, invariant par u, et la restriction de
u à V λj (u) a pour polynôme minimal (X − λj )kj , et pour polynôme caratéristique
(X − λj )dimV
λj
(u)
.
2. Pour tout j
V λj (u) = {v ∈ V / il existe un entier positif r tel que (u − λj I)r v = 0}
3.
V =
M
V λj (u)
j
4. V1u =
P
λj 6=0
V λj (u) , et si u admet 0 pour valeur propre ,alors V0u = V 0 (u)
Preuve.
1. La première assertion est évidente.
On a
V λj (u) ⊆ {v ∈ V / il existe un entier positif r tel que (u − λj I)r v = 0}
Soit v ∈ V et r un entier tel que
(u − λj I)r v = 0
8
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
9
on peut supposer r > kj ; le polynôme (X − λj )kj est un diviseur commun de mu et
de (X − λj )r , donc il existe deux polynômes p et q tels que
(X − λj )k1 = p.(X − λj )r + q.mu
Puisque
(u − λj I)r v = 0
et
mu (u) = 0
on a
(u − λj I)kj v = 0.
2. Pour tout j , posons
pj :=
Y
(X − λs )ks .
s6=j
Les polynômes p1 , p2 , ..., pr sont deux à deux premiers entre eux ; il existe des polynômes q1 , q2 , ..., qr tels que
p1 .q1 + p2 .q2 + ... + pr .qr = 1.
Soit alors, pour tout j,
ej := pj (u) ◦ qj (u).
Les endomorphismes e1 , e2 , ..., er vérifient les propriétés suivantes :
– a)ei ◦ ej = ej ◦ ei = 0 si i 6= j , et ei 2 = ei pour tout i,
– b) e1 + e2 + ... + er = I
– c) Pour tout x ∈ V, et pour tout j , ej x ∈ V λj (u)
D’où résulte l’égalité V = ⊕j V λj (u)
3. Si λj 6= 0 , la restriction de u à V λj (u) est un isomorphisme, donc u(V λj (u)) =
V λj (u), ce qui montre que
V λj (u) ⊆ V1u
et par suite
X
V λj (u) ⊆ V1u
λj 6=0
comme
V = V0u
MX
λj 6=0
on a l’égalité du théorème.
9
V λj (u) = V0u ⊕ V1u
10
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
Définition 1.2
La décomposition
V =
M
V λj (u)
(1.1)
j
est dite la décomposition primaire de V par rapport à u.
Remarque 1.1
Le polynôme minimal mu , intervient dans le développement précédent uniquement par
deux propriétés :mu (u) = 0, et le fait que ses racines sont éxactement les valeurs propres
de u. Comme le polynôme caractéristique de u vérifie les mêmes propriétés (en fait ce qui
les différencient c’est la multiplicité des racines !).On peut remplacer dans ce qui précède,
mu par le polynôme caractéristique de u.
Définition 1.3
Pour tout scalaire λ, on pose ;
V λ (u) := {v ∈ V ; il existe un entier naturel m tel que
(u − λ)m v = 0}
(1.2)
et
Vλ (u) := {v ∈ V ; u(v) = λ.v}
(1.3)
En remarquant que, lorsque λ n’est pas une valeur propre , ces espaces se réduisent à {0},
on a alors la proposition suivante ; dont la preuve se trouve dans ce qui précède
Proposition 1.1
La somme
X
V λ (u)
(1.4)
λ∈C
est directe ;et
V =
M
V λ (u)
λ∈C
Lemme 1.2
Si u est semi-simple, pour tout polynôme P ; P(u) est nilpotent si et seulement si
P(u)= 0.
10
(1.5)
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
11
Preuve.
Supposons que P(u) est nilpotent et soit k son degré de nilpotence. KerP (u)k−1 est un
sous-espace invariant par u, donc il existe un sous-espace vectoriel F de V, tel que
E = KerP (u)k−1 ⊕ F
on a P (u)(F ) = 0, car
P (u)(F ) ⊆ KerP (u)k−1
et
P (u)(F ) ⊆ F
Donc P(u) = 0.
Proposition 1.2
Soient us et un la partie semi-simple et la partie normale respectivement , dans la décomposition de Jordan de u .Pour tout scalaire λ on a
V λ (u) = V λ (us ) = Vλ (us )
et
V λ (un ) = Vλ (un ) = 0
siλ 6= 0
Preuve.
La dernière assertion résulte du fait que
Vλ (un ⊂ V λ (un
et que un et λ − un sont nilpotents sur V λ (un . Montrons les deux autres égalités.
D’après le lemme 1.1 ci-dessus, on a
V λ (us ) = {v ∈ V ; us (v) = λv} = Vλ (us )
D’autre part, si v∈ V λ (us ), u - us étant nilpotent, il existe un entier m tel que (u − us )m v =
0 , et par suite (u − λ)m v = 0. Donc v ∈ V λ (u).
Réciproquement, sur V λ (u), (u − λ) est nilpotent, et , on a us = λ, ce qui montre que
V λ (u) ⊆ V λ (us ).
11
12
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
1.2
décomposition d’un espace vectoriel par rapport à
une famille d’endomorphismes :
V étant un espace vectoriel sur le corps des complexes ,de dimension n.
Si F est une partie de End(V),elle peut être considérée comme l’image dans End(V) d’une
application r définie sur un ensemble S. Et pour tout s ∈ S,en notant par λ(s) une valeur
propre de r(s),on a une application λ de S dans C, on pose alors
\
V λ (S) :=
V λ(s) (r(s))
(1.6)
s∈S
et
Vλ (S) :=
\
Vλ(s) (r(s))
(1.7)
s∈S
Mais, en tenant compte du paragraphe précédent, on voit qu’on peut prendre dans ces
définitions pour λ une application quelconque de S dans C .
Pour tout λ, V λ (S)(resp. Vλ (S)) est dit le sous-espace primaire (resp. propre)de V
relativement à λ et à r. V0 (S) est dit le nilespace ; et si Vλ (S) 6= 0 , λ est dit un poids
de S.
Remarquons aussi que si pour tout entier naturel n ,on pose
Vn λ(s) (r(s)) := {v ∈ V ; (r(s) − λ(s)I)n (v) = 0}
(1.8)
alors ,pour tout s ∈ S
V λ(s) (r(s)) =
[
Vn λ(s) (r(s))
(1.9)
n
Proposition 1.3
1. V λ (S) et Vλ (S) sont des sous-espaces vectoriels de V ; et pour tout s ∈ S
Vλ (S) ⊆ V λ (S) ⊆ V λ(s) (r(s))
(1.10)
2.
X
V λ (S)
(1.11)
Vλ (S)
(1.12)
λ∈CS
et
X
λ∈CS
sont des sommes directes dans V.
12
13
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
3.
V λ (S) =
[ \
( Vn λ(s) (r(s)))
n
(1.13)
s∈S
Preuve.
1. Ceci résulte de la définition.
2. On utilise 1. et le fait que, pour tout s∈ S
X
V λ(s) (r(s))
(1.14)
λ∈CS
est une somme directe d’après le paragraphe précédent.
3. Pour montrer l’égalité (1.13),il suffit de remarquer que ; si u ∈ End(V ) et mu est son
polynôme minimal ;pour tout polynôme p ; si d est le plus grand commun diviseur
de p et mu , alors
Kerd(u) = Kerp(u)
(1.15)
Proposition 1.4
Soient U,V,W des espaces vectoriels de dimensions finies sur C ;S un ensemble non vide ;l,
r et q des applications de S dans End(U) ;End(V) et End(W) respectivement.
1. Si f est une application linéaire de V dans W,telle que pour tout (s, v) ∈ S × V
q(s)f (v) = f (r(s)v)
(1.16)
Alors, pour tout λ ∈ CS
f (V λ (S)) ⊆ W λ (S)
et
f (Vλ (S)) ⊆ Wλ (S)
(1.17)
2. Si B : U × V −→ W est une application bilinéaire qui vérifie pour tout
(s, u, v) ∈ S × U × V
q(s)B(u, v) = B(l(s)u, v) + B(u, r(s)v)
(1.18)
Alors, pour tout (λ, µ, u, v) ∈ CS × CS × U × V , et pour tout entier naturel n
!
X
n
(q(s) − λ(s) − µ(s))n B(u, v) =
B((r(s) − λ(s))i u, (q(s) − µ(s))n−i v)
i
0≤i≤n
(1.19)
13
14
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
3. Si B : U × V −→ W est une application bilinéaire qui vérifie pour tout
(s, u, v) ∈ S × U × V
q(s)B(u, v) = B(l(s)u, r(s)v)
(1.20)
Alors, pour tout (λ, µ, u, v) ∈ CS × CS × U × V ,et pour tout n
!
X
n
n
(q(s) − λ(s)µ(s)) B(u, v) =
B(λ(s)n−i (r(s) − λ(s))i u, q(s)i (q(s) − µ(s))n−i v)
i
0≤i≤n
(1.21)
Preuve.
1. Il résulte de la linéarité de f que,pour tout entier naturel n et pour tout s ∈ S
(q(s) − λ(s))n f (v) = f ((r(s) − λ(s))n v)
2. Par récurrence sur n ; pour n=1 on a .
(q(s) − λ(s) − µ(s))B(u, v) = B((l(s) − λ(s))u, v) + B(u, (r(s) − µ(s))v)
Supposons que ceci est vrai pour n, alors
(q(s) − λ(s) − µ(s))n+1 B(u, v) =
X
n
0≤i≤n
i
!
(q(s) − λ(s) − µ(s))B((r(s) − λ(s))i u, (q(s) − µ(s))n−i v)
ce qui est égal à
X
n
0≤i≤n
i
!
B((r(s) − λ(s))i+1 u, (q(s) − µ(s))n+1−i v)+
X
n
0≤i≤n
i
!
B((r(s) − λ(s))i u, (q(s) − µ(s))n+1−i v)
et à
X
[
1≤j≤n+1
n
j−1
!
+
n
j
!
]B((r(s) − λ(s))j u, (q(s) − µ(s))n+1−j v)+
B(u, (q(s) − µ(s))n+1 v)
Ce qui prouve 1.19 pour tout n.
14
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
15
3. Par récurrence sur n. On a d’abord
(q(s) − λ(s)µ(s))B(u, v) = B(r(s)u, q(s)v) − B(λ(s)u, µ(s)v)
(1.22)
puis, si on suppose que l’égalité est vraie pour n ; alors
(q(s) − λ(s)µ(s))n+1 B(u, v) =
X
n
0≤i≤n
i
X
n
0≤i≤n
i
!
B(λ(s)n−i (r(s) − λ(s))i+1 u, q(s)i+1 q(s) − µ(s))n−i v)+
!
B(λ(s)n−i+1 (r(s) − λ(s))i u, q(s)i q(s) − µ(s))n−i+1 v)
ce qui est égal à
!
n
X
[
1≤j≤n
n
j−1
!
+
n
0
!
j
B(λ(s)n+1 u, q(s) − µ(s))n+i v)+
]B(λ(s)n+1−j (r(s) − λ(s))j u, q(s)j (q(s) − µ(s))n+1−j v)+
n
n
!
B(r(s) − λ(s)n+1 u, q(s)n+1 v)
D’où l’assertion ; en tenant compte du fait que
!
!
n
n
+
=
j−1
j
n+1
!
j−1
et que
n
0
!
=
n+1
!
=
0
n
!
n
=
n+1
!
0
Corollaire 1.3
Avec les hypothèses de la proposition précédente ; on a
1. Si B vérifie 1.18,Alors, pour tout (s, λ, µ) ∈ S × CS × CS
B(U λ(s) (l(s)), V µ(s) (q(s))) ⊆ W λ(s)+µ(s) (r(s))
(1.23)
B(Uλ(s) (l(s)), Vµ(s) (q(s))) ⊆ Wλ(s)+µ(s) (r(s))
(1.24)
et
15
16
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
2. Si B vérifie 1.20,Alors, pour tout (s, λ, µ) ∈ S × CS × CS
B(U λ(s) (l(s)), V µ(s) (q(s))) ⊆ W λ(s)µ(s) (r(s))
(1.25)
B(Uλ(s) (l(s)), Vµ(s) (q(s))) ⊆ Wλ(s)µ(s) (r((s))
(1.26)
et
Proposition 1.5
Les deux assertions suivantes sont équivalentes
(a) Pour tout (s,t)∈ S × S, il existe un entier naturel n tel que
(ad(r(s)))n r(t) = 0.
(1.27)
(b) Pour tout (s, t, λ) ∈ S × S × CS
r(t)(V λ(s) (r(s))) ⊆ V λ(s) (r(s))
Preuve.
(a) Soit U := End(V ) et soit B : U × V −→ V l’application bilinéaire définie par
B(u, v) := u(v) ,et l : S −→ End(U ), définie par l(s)(u) := ad(r(s))(u), alors
pour tout (s, u, v) ∈ S × U × V
r(s)B(u, v) = r(s)(u(v)) = l(s)(u)(v) + u(r(s)(v))
donc
r(s)B(u, v) = B(l(s)u, v) + B(u, r(s)(v))
et par suite ; pour tout s ∈ S
B(U λ(s) (l(s)), V µ(s) (r(s))) ⊆ V λ(s)+µ(s) (r(s))
en particulier
B(U 0 (l(s)), V λ(s) (r(s))) ⊆ V λ(s) (r(s))
L’hypothèse (a) entraine que , pour tout t ∈ S , r(t) ∈ U 0 (l(s)), d’où (b).
(b) Supposons l’assertion est vérifiée. Soient s,t ∈ S et posons x := r(s) et y := r(t),
pour tout scalaire a on a
y(V a (x)) ⊆ V a (x).
16
(1.28)
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
17
Comme V a (x) = V 0 (x − aI), et la restriction de x − aI à V a (x) est nilpotente,
on a
(ad(x − aI))2dimV
a (x)−1
= 0.
or ad(x − aI) = ad(x),donc, pour tout v ∈ V a (x)
(ad(x)2dimV
Enfin, le fait que V =
P
a
a (x)−1
y(v) = 0.
V a (x) et la propriété 1.27 entrainent que
ad(x)2dim(V )−1 y = 0.
Théorème 1.4
Supposons que (V,S,r) vérifient la propriété a) ou b) de la proposition 1.5. Alors
1. V admet la décomposition primaire généralisée
V =
X
V λ (S).
(1.29)
λ∈CS
2. V admet la décomposition de Fitting : On a
V = V 0 (S) ⊕ V + (S).
(1.30)
où
V + (S) :=
X\
(
i≥1
λ
r(s)i V λ(s) (r(s))).
Pour tout s ∈ S, la restriction de r(s) à V 0 (S) est nilpotente, et sa restriction à V + (S)
est un isomorphisme.
Preuve.
1. Pour tout s∈ S, V s’écrit
V =
X
V λ(s) (r(s))
(1.31)
λ
Si pour tout s, r(s) admet une seule valeur propre ; on a V = V λ(s) (r(s)) et V λ (S) =
T λ(s)
(r(s)) = V .
sV
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Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
Supposons qu’il existe s ∈ S tel que r(s) admette au moins deux valeurs propres
distinctes λ(s) et µ(s),alors
M
V = V λ(s) (r(s)) ⊕ V µ(s) (r(s))
V γ(s) (r(s)).
γ ∈{λ,µ}
/
Si, maintenant, pour γ et s, on pose W := V γ(s) (r(s)). Du fait que chaque V γ(s) (r(s))
est invariant par r(S), on voit que pour tout λ ∈ CS
W λ (S) = W ∩ V λ (S)
Ce qui permet, en raisonnant par récurrence sur la dimension de V, d’établir 1.29.
2. Si λ(s) = 0, on a
\
i≥1
r(s)i V λ(s) (r(s)) = 0.
Si λ(s) 6= 0, on a
\
i≥1
r(s)i V λ(s) (r(s))
\
V 0 (S) = {0}
V est la somme directe
V =
X
V λ (S),
λ
S
λ
et pour tout (s, λ) ∈ S × C , V (S) est stable par r(s), et le polynôme caractéristique de la restriction de r(s) à V λ (S) est P := (X − λ(s))dimV
λ (S)
, pour tout i les
polynômes P et X i sont premiers entre eux , donc il existe q1 , q2 ∈ C[X] tels que
q1 P + q2 X i = 1
D’où
V λ (S) ⊆
\
i≥1
r(s)i V λ(s) (r(s))
Ce qui montre 1.30.La dernière assertion est immédiate.
Corollaire 1.4
Soient V et V 0 deux espaces vectoriels sur C, de dimension finie. r : S −→ End(V ) et
r0 : S −→ End(V 0 ) deux applications , qui vérifient la propriété (1.27). Si f est une
application linéaire surjective de V sur V 0 , telle que
f (r(s)v) = r0 (s)f (v)
∀(s, v) ∈ S × V.
Alors, pour tout λ ∈ CS
λ
f (V λ (S)) = V 0 (S).
18
19
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
1.3
Cas d’une représentation linéaire :
On suppose que S est un espace vectoriel sur C, et que r est une application linéaire
de S dans End(V).D’autre part on suppose que pour tout λ ∈ CS et pour tout s ∈ S
r(s)(V λ (S)) ⊆ V λ (S).
Proposition 1.6
Si λ est tel que V λ (S) 6= {0},alors pour tout s ∈ S on a
1. la restriction u de r(s) à V λ (S) vérifie
(dimV λ (S)).λ(s) = T r(u).
(1.32)
2. Pour tout s , r(s) et λ(s) sont reliés par la relation suivante :
(dimV ).λ(s) = T r(r(s)).
(1.33)
Preuve.
Soit m la dimension de V λ (S) ; le polynôme caractéristique de u est
(X − λ(s))m = (−1)m X m + mλ(s)(−1)m−1 X m−1 + ... + λ(s)m .
Comme
det(u − XI) =
k=m
X
T r(
^k
u)(−1)m−k X m−k
k=0
en comparant, on obtient 1.32.
L’égalité 1.33 résulte de 1.32 et du fait que V =
P
λ
V λ (S).
Proposition 1.7
g l’endomorphisme de V /V 0 (s)
Soit Se := {s ∈ S; V 0 (s) = V 0 (S)}, et pour tout s ∈ S, r(s)
définie par r(s) ;, alors
g 6= 0}
1. Se = {s ∈ S; detr(s)
e on a V + (s) = V + (S)
2. Se est non vide, et pour tout s ∈ S,
Preuve.
1. Pour tout s ∈ S on a V 0 (S) ⊆ V 0 (s) et les deux ensembles coincident si et seulement
g est bijective.En effet ;
r(s)
19
20
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
– i) Si V 0 (S) = V 0 (s) et si v ∈ V est tel que
r(s)v + V 0 (S) ⊆ V 0 (S)
g est injective.
on a r(s)v ∈ V 0 (S) et par suite v∈ V 0 (s) = V 0 (S). Donc r(s)
g bijective. S’il existait v∈ V 0 (s) \ V 0 (S),il existerait w ∈ V tel
– ii)Supposons r(s)
que w∈
/ V 0 (S) et r(s)w - v ∈ V 0 (S),et un entier m tel que r(s)m+1 w ∈ V 0 (S), ce
g est injective et on aurait w ∈ V 0 (S)
qui serait absurde, puisque r(s)
2. Puisque V est de dimension finie il existe λ1 , λ2 , ..., λm tels que λi 6= 0 , V λi (S) 6= {0}
pour i=1,2,...,m ; et
0
V = V (S)
i=m
MX
V λ1 (S).
i=1
D’autre part, pour tout i, V λi (S) ∩ V 0 (S) = {0}, il existe s ∈ S tel que λi (s) 6= 0
pour tout i.On a alors
0
V = V (s)
i=m
MX
V λi (S)
i=1
et par suite
V 0 (s) = V 0 (S).
Donc Se n’est pas vide. Si maintenant s ∈ S, alors
V 0 (s) ⊕ V + (S) = V 0 (S) ⊕ V + (S) = V = V 0 (s) ⊕ V + (s)
, où la dernière égalité resulte du Théorème 1.3. D’où V + (s) = V + (S).
1.4
Décomposition d’une repésentation d’une algèbre
de Lie nilpotente
Soit h une algèbre de Lie de dimension finie sur C, qui est nilpotente.M un h-module
de dimension finie, et r l’application de h dans End(M) définie par l’action de h sur M,
qu’on notera pour tout (x, v) ∈ h × M
r(x)v := x.v
20
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
21
Proposition 1.8
1. Pour tout λ ∈ Ch , M λ (h) est un sous-h module de M et
M=
X
M λ (h)
(1.34)
λ∈Ch
2. Si λ ∈ Ch et M λ (h) 6= {0} alors λ est une forme linéaire sur h ,nulle sur [h, h] et
Mλ (h) 6= {0}
3. Il existe x ∈ h tel que M 0 (x) = M 0 (h)
4. Si f : M −→ N est un homomorphisme de h-modules de dimension finies, qui est
surjectif, pour tout λ ∈ Ch ,on a
f (M λ (h)) = N λ (h)
(1.35)
5. Si N est un h-module de dimension finie et f une forme bilinéaire sur M × N telle
que, pour tout (x, v, w) ∈ h × M × N
f (x.v, w) + f (v, x.w) = 0
alors, pour tout λ, µ tels que λ + µ 6= 0, on a
f (v, w) = 0
∀(v, w) ∈ M λ (h) × N λ (h).
De plus, si f est non dégénérée, sa restriction à M λ (h) × N λ (h) est non dégénérée.
Preuve.
1. M λ (h) est un sous-espace vectoriel de M, puisque h est nilpotente,la propriété (1.27)
est vérifiée et on a
x.M λ (h) ⊂ M λ (h)
pour tout x ∈ h.Donc M λ (h) est un h -module, et d’après le Théorème (1.3) on a
(1.34).
2. La première assertion résulte de la proposition (1.6) ; la dernière assertion résulte
du Théorème d’Engel en effet, il existe v ∈ M non nul tel que x.v = 0 pour tout
x ∈ h.
3. Résulte de la proposition 1.7.
21
22
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
4. Résulte du corollaire(1.4)
5. On applique la proposition (1.4), en considérant sur C la structure de h-module
triviale, on a alors Cλ+µ (h) = {0} lorsque λ + µ 6= 0.
Proposition 1.9
g étant une algèbre de Lie de dimension finie sur C, et h est une sous-algèbre nilpotente
de g. g est alors considérée comme un h-module et r est la représentation adjointe.
1. Si λ et µ sont deux formes linéaires sur h, on a
[g λ (h), g µ (h)] ⊂ g λ+µ (h)
(1.36)
g 0 (h) est une sous-algèbre de Lie de g contenant h. g λ (h) est stable par ad(g 0 (h)) et
Ng (g 0 (h)) = g 0 (h), où
Ng (g 0 (h)) := {v ∈ g; [v, g] ⊂ g 0 (h)}
est le normalisateur de g 0 (h) dans g
2. Si M est un g-module ,et si λ,µ sont deux formes linéaires sur h,alors
g λ (h)M µ (h) ⊂ M λ+µ (h).
En particulier chaque M λ (h) est un g 0 (h)-module.
3. Si B : g × g −→ C est bilinéaire et vérifie pour tout (x, y, z) ∈ g × g × g
B([x, y], z) + B(y, [x, z]) = 0
Alors g λ (h) et g µ (h) sont orthogonaux par rapport à B lorsque λ + µ 6= 0 .Si B est
non dégénérée,alors pour tout λ ∈ h∗ , la restriction de B à g λ (h) × g −λ (h) est non
dégénérée.
4. Si λ 6= 0 et si x ∈ g λ (h), alors ad(x) est nilpotent.
22
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
23
Preuve.
1. L’égalité (1.36) résulte du corollaire 1.3. Pour tout x ∈ h on a
(ad(x))dimh (v) = 0
∀v ∈ h
donc h ⊂ g 0 (h).
Montrons que g 0 (h) coincide avec son normalisateur ; il suffit de montrer que
Ng (g 0 (h)) ⊂ g 0 (h)
Soit v ∈ Ng (g 0 (h)), pour tout x ∈ h, on a [v, x] ∈ g 0 (h), donc il existe un entier
naturel n tel que (ad(x))n (v) = 0, donc v ∈ g 0 (h).
2. Résulte du corollaire 1.3
3. Résulte de la proposition 1.8 , l’action étant la représentation adjointe.
4. Le sous-ensemble des formes linéaires µ sur h pour lesquelles g µ (h) 6= {0} est fini.
et pour tout (µ, n) ∈ h∗ × N on a
(adx)n g µ (h) ⊂ g µ+nλ (h)
Donc , pour n assez grand g µ+nλ (h) = {0}, comme g est une somme directe des
espaces g µ (h), ceci montre l’assertion.
23
24
Décomposition primaire et décomposition de Fitting ;M.Raouyane
24
Chapitre 2
Algèbres de Lie de dimension infinie
2.1
Algèbres de Lie libres
Soit X un ensemble et K un anneau unitaire. Quitte à remplacer X par un un magma,
on peut supposer que X est muni d’une loi de composition interne (en fait lui-ême un
magma !). Soit
K(X) := {ϕ ∈ KX ; supp(ϕ) est fini}
l’algèbre de X sur K, et α : X −→ K(X) définie par α(s) := es , où
(
1, s = t
es (t) :=
0, s 6= t
(es )s∈X une base canonique de K(X) , et la multiplication est définie par
es .et = es.t
En particulier si
P
s αs es et
βt et sont deux éléments de K(X) , alors
X
X
X
(
αs es ).(
βt et ) =
γr er
P
t
s
t
s
où
γr :=
X
αs βt .
st=r
Soit maintenant A l’idéal bilatère de K(X) engendré par l’ensemble
[
{x.(y.z) + z.(x.y) + y.(z.x); x, y, z ∈ K(X) } {x.x; x ∈ K(X) }
25
26
Algèbres de Lie de dimension infinie ; M.Raouyane
L’algèbre de Lie libre sur X est
L(X) := K(X) /A
Munie de la structure d’algèbre quotient, le produit de deux éléments x et y de L(X) sera
noté [x, y]. On a alors
Proposition 2.1
1. (L(X), [, ]) est une algèbre de Lie sur K, et si σ est la surjection canonique de K(X)
sur L(X), alors β := σ ◦ α est une injection de X dans L(X).
2. Pour toute algèbre de Lie G, et pour toute application f : X −→ G il existe un
unique homomorphisme d’algèbres de Lie F : L(X) −→ G telle que
F ◦ β = f.
3. (σ(ex ))x∈X est une base de L(X) sur K.En identifiant β(X) avec X ; X est une base
de L(X).
4. Pour toute algèbre de G, il existe un ensemble I et un idéal bilatère A de L(I) tels
que G soit isomorphe à l’algèbre de Lie L(I)/A.
2.2
Algèbres de matrices infinies :
Soient F et G deux espaces vectoriels , B une forme bilinéaire sur F × G pour laquelle
F et G sont en dualité séparante.
Sur F ⊗ G on définit une structure d’algèbre associative, en posant :
(u ⊗ v).(u0 ⊗ v 0 ) := B(u0 , v)u ⊗ v 0 .
Pour l’algèbre de Lie associée Lie(F ⊗ G), F est un module à gauche avec
(u ⊗ v).u0 := B(u0 , v)u.
et G est un module à droite avec
v 0 .(u ⊗ v) := B(u, v 0 )v.
Lorsque F et G sont de dimensions dénombrables. Il existe une base (en )n de F et une
base (fn )n de G qui sont biorthonormales.
26
Algèbres de Lie de dimension infinie ; M.Raouyane
27
Si F := CN et G := C(N) , l’existence de bases biorthonormales, prmet d’identifier l’algèbre
de Lie Lie(F ⊗ G) avec les opérateurs de rang finis, qu’on note gl∞ (C). On pose alors
sl∞ (K) = [gl∞ (C), gl∞ (C)]
Lorsque B est symétrique( resp. antisymétrique), on définit so∞ (K) et sp∞ (K)
27
28
Algèbres de Lie de dimension infinie ; M.Raouyane
28
Chapitre 3
Sous-algèbres de Cartan en dimension
infinie
3.1
Définition
Proposition 3.1
Soit g une algèbre de Lie de dimension finie sur le corps des complexes.Une sous-algèbre h
est une sous-algèbre de Cartan, si elle vérifie l’une des propriétés équivalentes suivantes :
1. Il existe un élément régulier x de g, tel que h = g 0 (x).
2. h est nilpotente et coincide avec son normalisateur Ng (h).
3. h est nilpotente et
h = {y ∈ g; (adx)s (y) = o
pour tout x ∈ h}
4. h est nilpotente et ,pour tout idéal k de g tel que g/k est nilpotente, on a
g =k+h
5. h est nilpotente, et pour toute sous-algèbre k de g telle que h ≤ k ≤ g, on a
k = Ng (k)
Lorsque l’algèbre de Lie g est de dimension infinie, pour toute sous-algèbre h de g, on
considère les propriétés suivantes, :
29
30
Sous-algèbres de Cartan en dimension infinie ;M.Raouyane
I) h = g 0 (h)
II) h est localement nilpotente et
h = Ng (h)
III) h est une sous-algèbre maximale localement nilpotente de
L := {y ∈ g; [ady, (adx)s ] = o
pour tout x ∈ L ∩ gf ini }
IV) Pour toute sous-algèbre L de g, telle que h ≤ L, si k est un idèal de L tel que L/k
est nilpotente, alors
L=k+h
V) Pour toute sous-algèbre k de g telle que h ≤ k ≤ g, on a
k = Ng (k)
On a les relations suivantes :
1. En général
IV ) ⇐⇒ V ) ⇐⇒ II)
2. Pour les algèbres de Lie de racines réductives :
III) ⇐⇒ II) + nilpotente
3. Pour les algèbres de Lie idéalement finies :
II) ⇐⇒ III) ⇐⇒ V )
On est amené ainsi à choisir comme définitio (III), et on montre qu’une telle algèbre existe
, pour une grande famille d’algèbres de Lie de dimension infinie. voir [11]
30
Bibliographie
[1] Y.Billig and A.Pianzola :
On Cartan subalgebras. Journal of Algebra 171, 397-412 (1995)
[2] Bourbaki, Nicolas. Groupes et algèbres de Lie. Chapitre 1. Masson, Paris, 1971.
[3] Bourbaki, Nicolas. Groupes et algèbres de Lie. Chapitres 4, 5 et 6. Masson, Paris,
1981.
[4] Bourbaki, Nicolas. Groupes et algèbres de Lie. Chapitres 7 et 8. Masson, Paris, 1975.
[5] E.Dan-Cohen, I.Penkov, N.Snyder :
Cartan subalgebras of root réductive Lie algebras, Journal of Algebra 308,583611(2007)
[6] Dixmier, Jacques. Algèbres enveloppantes. Cahiers Scientifiques, Fasc. XXXVII.
Gauthier-Villars Éditeur, Paris-Brussels-Montreal, Que., 1974
[7] Jacobson, Nathan. Lie algebras. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 10 Interscience Publishers, New York-London 1962.
[8] K.H.Neeb, I.Penkov :
Cartan subalgebras of gl∞ , Canad.Math.Bull.46(2003) 597-616
[9] Serre, Jean-Pierre. Lie algebras and Lie groups. 1964 lectures given at Harvard University. Second edition. Lecture Notes in Mathematics, 1500. Springer-Verlag, Berlin,
1992.
[10] Serre, Jean-Pierre. Algèbres de Lie semi-simples complexes. W. A. Benjamin, inc.,
New York-Amsterdam 1966.
[11] Urmie Ray :
On Cartan subalgebras, Journal of Algebra 332(2011)14-34.
31