Thème : Variables aléatoires

Master 2 EADM 2012-2013
UE 12
DOSSIER PS 4
Capes Externe
Epreuve sur dossier
Thème : Variables aléatoires
L’exercice proposé au candidat
Le lièvre est plus rapide que la tortue : il faut
un pas au lièvre pour arriver au but, alors qu’il
faut six pas à la tortue.
Une partie se déroule ainsi : on lance un dé ; si
on obtient un 6, le lièvre atteint directement
l’arrivée et gagne, et si on obtient 1, 2, 3, 4 ou
5, la tortue avance d’une case et on
recommence jusqu’à ce que l’un des deux
atteigne l’arrivée.
Quel est le nombre moyen de lancers de dés pour une partie ?
Pour résoudre ce problème, on définit la variable aléatoire X égale au nombre de pas
nécessaires pour arriver au but.
1.
Réaliser un arbre pondéré traduisant le problème du lièvre et de la tortue.
2.
A l’aide des propriétés des arbres pondérés, déterminer la probabilité que la tortue
gagne. En déduire celle que le lièvre gagne.
3.
Déterminer la loi de probabilité de X.
4.
Calculer l’espérance mathématique et l’écart – type de X.
La solution proposée par deux élèves à la question 2
Elève A
J’ai dessiné le début de l’arbre.
La tortue gagne si on prend toutes les branches
5
qui contiennent : il y en a 6, donc la
6
probabilité est ( ) = 0,334.
Le lièvre gagne avec toutes branches qui
s’arrêtent : il y en a 5 et elles contiennent
donc ça donne
1
,
6
5
.
6
Elève B
Puisque X est le nombre de pas à faire, X suit la loi binomiale de paramètres n = 6 et p=
5
.
6
La tortue gagne quand il y a 6 pas, donc c’est P (X = 6) = ( ) ( ) ( ) = ( ) .
Le lièvre gagne quand il y a un, deux, trois, quatre, cinq pas, donc P (X = 1) + P (X = 2) +
P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5)  0,665 avec la calculatrice.
13/11/2012
Master 2 EADM 2012-2013
UE 12
Capes Externe
Epreuve sur dossier
Le travail à exposer devant le jury
1. Analyser les productions des deux élèves à la question 2, en précisant les connaissances et
savoir – faire mis en œuvre en probabilités.
2. Elaborer un algorithme qui simule cette expérience aléatoire, et qui permet de conjecturer le
nombre moyen de lancers de dés d’une partie.
On programmera cet algorithme sur le matériel de son choix.
3. Proposer une correction de la question 3, telle qu’on l’exposerait devant une classe de
Première.
4. Présenter deux ou trois exercices sur le thème « Variables aléatoires ».
13/11/2012