Exercices d`arithmétique - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

1
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2012-2013
Exercices d’arithmétique
Exercice 1 (Une équation diophantienne mignonne)
1. Démontrer que pour tout n ∈ N, 8 ne divise pas (3n + 1).
2. En déduire toutes les solutions (m, n) ∈ (N∗ )2 de l’équation 2m − 3n = 1.
Exercice 2 Nous sommes le mercredi 6 avril 2011. Quel jour de la semaine serons-nous le 6 avril
2012 ?
Exercice 3 (Un vrai-faux) Soit a, b, u, v, n des entiers.
1. Si au + bv = 5, on peut en déduire que a ∧ b = 5.
2. Si a = b mod n alors ua = ub mod n.
3. Si u | bc et que b et c sont premiers entre eux, alors u | b ou u | c.
4. L’équation 51x + 39y = 1 admet une infinité de couple d’entiers (x, y) solutions.
7
Exercice 4 Déterminer le chiffre des unités de 7(7 ) .
Exercice 5 Soita, b, c des entiers. Montrer que si 7 | a3 + b3 + c3 alors 7 | abc.
Exercice 6 Soit n ∈ N Déterminer le pgcd de n2 + n et 2n + 1.
Exercice 7 (Calcul de pgcd par l’algorithme des différences)
1. Soit a et b des entiers. Démontrer que pgcd(a, b) = pgcd(a − b, b).
2. Soit n ∈ N. Déterminer le pgcd de 3n + 2 et 2n + 1.
3. Écrire en langage français, un algorithme récursif permettant de calculer le pgcd en utilisant
la propriété précédente.
Exercice 8 (Sous-groupes de Z) Soit a et b des entiers. On note d leur pgcd et m leur ppcm.
Démontrer que
aZ + bZ = dZ et aZ ∩ bZ = mZ.
Exercice 9 Soit p > 5 un nombre premier. Démontrer que p2 − 1 est divisible par 24.
Exercice 10 Déterminer le nombre de diviseurs de l’entier n = 2a 3b 4c où a, b et c sont des entiers
naturels.
Exercice 11 (Repet-unit) On note u la suite d’entiers 1, 11, 111, 1111, . . ..
1. La suite u peut-elle contenir des carrés parfaits ?
2. Démontrer que si n est composé alors un est composé.
On ignore toujours s’il existe une infinité de repet-units premiers.
Exercice 12 (Racines rationnelles d’un polynôme) Soit P = a0 + a1 X + . . . + an X n un
polynôme à coefficients entiers avec an 6= 0. Soit pq une racine rationnelle de P avec (p, q) =
1. Montrer que q | an et p | a0 . En déduire une factorisation des polynômes X 3 − X − 1 et
3X 3 − 2X 2 − 2X − 5.
Exercice 13 (Nombres premiers dans une progression arithmétique) On veut montrer qu’il
existe une infinité de nombres premiers congrus à −1 modulo 4. On raisonne par l’absurde, il existe
alors un nombre fini de nombres premiers congrus à −1 modulo 4 que l’on note p1 , . . . , pk . On pose
alors N = 4p1 · · · pk − 1.
1. 2 divise t-il N ?
2. Montrer que N possède au moins un diviseur premier congru à −1 modulo 4. Conclure.
Exercice 14 (Équation diophantienne linéaire) On veut trouver tous les couples d’entiers
(x, y) tels que 62x + 43y = 1 (E).
1. Déterminer le PGCD d de 62 et 43 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
2. Déterminer un couple d’entiers (u, v) tel que d = 62u + 43v.
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2012-2013
2
3. Démontrer que si (x, y) et (x0 , y0 ) sont solutions de (E), alors 62 divise (y − y0 ). En déduire
toutes les solutions de (E).
4. Interpréter graphiquement votre résultat. On pourra parler d’équation homogène et de solution particulière.
5. Résoudre l’équation diophantienne 744x + 516y = 12.
Exercice 15 (Petit théorème de Fermat) Soit p un nombre premier. On veut montrer que
pour tout a ∈ N, si (a, p) = 1, alors ap−1 ≡ 1 mod (p).
1. Soit k ∈ {1, . . . , p − 1}, démontrer que p | kp . En déduire que pour tout entier a on a
(a + 1)p ≡ ap + 1 mod (p).
2. En déduire par récurrence que pour tout a ∈ N, on a ap ≡ a mod (p).
3. En déduire le petit théorème de Fermat.
Exercice 16 (Chiffrement affine) On numérote les lettres de l’alphabet de 0 à 25. On va coder
ces nombres à l’aide d’une fonction de chiffrement. On pose A = {0, . . . , 25}, si x ∈ A, on note
f (x) le reste de 17x + 22 dans la division euclidienne par 26 (ou f (x) ≡ 17x + 22 mod (26)). Cela
définit ainsi une application f de A dans A.
1. Chiffrer le mot BAC.
2. Déterminer un entier u tel que 17u ≡ 1 mod 26. En déduire que l’application f est inversible,
déterminer son inverse.
3. Déchiffrer alors le mot BEC.
Exercice 17 (Rationnels tout puissants) Déterminer tous les rationnels a tels que pour tout
n ∈ N, il existe un rationnel b tel que a = bn .
Exercice 18 (Une équation diophantienne) oit n > 2 un entier. Chercher tous les entiers x
et y vérifiant xn + y n = 1 (on pourra remarquer que a − b divise an − bn ).
Exercice 19 (Une équation diophantienne) Ssoit p un nombre premier. Chercher tous les
entiers x et y vérifiant xp + y p = p (on pourra remarquer que a − b divise an − bn ou utiliser le
petit théorème de Fermat).